130410_0027 dr hab. Wojciech Bijak  matematyczne modele ryzyka i ich zastosowania -
konspekt
Wykład 3.
1. Funkcja charakterystyczna
Funkcja charakterystyczna, to funkcja zmiennej rzeczywistej t o wartościach
zespolonych określona dla danej zmiennej losowej X o dystrybuancie F(x):
Uwaga: z definicji wynika, że
Własności funkcji charakterystycznej
1.
2.
3.
4.
5. Jeżeli istnieje moment k zmiennej losowe X, to funkcja charakterystyczna jest k-
krotnie różniczkowalna oraz
6. Jeżeli niezależne zmienne losowe, to
7.
2. Funkcja tworzÄ…ca (generujÄ…ca) momenty
Funkcja tworząca momenty, to funkcja zmiennej rzeczywistej t, określona dla danej
zmiennej losowej X o dystrybuancie F(x):
O dziedzinie wyznaczonej przez zbiór takich wartości t, dla których występująca we wzorze
całka istnieje i jest skończona.
Wartość k-tej pochodnej X funkcji tworzącej momenty w zerze jest równa k-temu
momentowi centralnemu zmiennej:
Å›ðkMX (t)
M(k) (0) =ð E(x -ð E(X))k =ð
X
k
Å›ðt
1
130410_0027 dr hab. Wojciech Bijak  matematyczne modele ryzyka i ich zastosowania -
konspekt
3. Funkcja tworzÄ…ca kumulanty
Funkcja tworząca kumulanty, to funkcja zmiennej rzeczywistej t, określona dla danej
zmiennej losowej X o dystrybuancie F(x):
Dla sumy niezależnych zmiennych losowych mamy
Kumulantą rzędu nazywamy
Dla kumulanty sumy niezależnych zmiennych losowych mamy
2