DSC07029 (4)

46

***

licj

W miejscu oznaczonym (•) korzystałiśmy ze wzoru a^a — ^ (^fl *° + ń). d) Mamy

ta({/n^-n) = Bm -^=3^^^+^+^    ^

I n^ł +3n)-"^ł_--

— lim "    -ł- n²

ⁿ-°° </(n³ + 3n)^J + n ^{+ J}

— (V(^T3^^, + nyS^T^ ^{+ nS})

= lim -

^Ts + en+jp

W miejscu oznaczonym (•) korzystaliśmy ze wzoru o³-6 -"f®    ^    ^

e)    Mamy

f)    Mamy

- 2°° = oo.

_ta ateft&gSi

*> V ”• + ¹ /    ⁿ-°° \ 1 + ^2

Granice dolna i górna ciągów

Przykład 1.13

Znaleźć zbiory punktów skupienia (właściwych i niewłaściwych) podanych ciągów:

717T

a) x„ = 3 + 2 • (—l)ⁿ;    b) y_n = nsin —;

Rozwiązanie

Liczbą rzeczywistą nazywamy punktem skupienia ciągu. Jeżeli istnieje jego podciąg zbieżny do tej liczby. Podobnie symbol oo(-oo) nazywamy niewłaściwym punktem skupienia ciągu, jeżeli istnieje podciąg tego ciągu zbieżny do oo(—oo).

a) Zbiór punktów skupienia ciągu (*_n) ma postać 5 = {1,5}. Podciągami ciągu (xn) o granicach 1 i 5 są odpowiednio:

xi =*3*-i -3 + 2-C-l)²*'¹ =3-2=1, a£»x_M = 3 + 2.(-l)^afc = 3 + 2 = 5.

inne podciągi zbieżne ciągu (x_B) różnią się od podciągów (*'*.) i (_XJ) jedynie dla skończonej liczby indeksów Ar lub też są podciągami tych podciągów. Podciągi te mają oczywiście

te same granice: 1 i 5.

b)    Zbiór punktów skupienia ciągu (y„) ma postać S . {-00.O.00}. Podciągami ciągu (y«) o granicach — co, 0. oo są odpowiednio:

Vh = 2/4*-1 = (4fc - l)ain ^ -⁾- - (4* - 1)(-|) = 1 - 4*.

Vk = 1/2* = 2* sin    = 2* 0 = O.

Vi" = i/4fc-3 *= (4k - 3) sin (⁴*"**— = (4* - 3) - I = .|k - 3.

Inne podciągi zbieżne ciągu (y_n) różnią się od podciągów (y'_k). (y* ), (yj,") jedynie dla skończonej liczby indeksów k lub też są podciągami tych podciągów- Podciągi te mają oczywiście te same granice; —oo. 0, oo.

c)    Zbiór punktów skupienia ciągu (z*) ma postać S * {0.2). Podciągami ciągu (z„) o granicach 0 i 2 są odpowiednio:

*; = *«-. = (i+(-o**-)    - o. =■*« = (!. (-«“)    - drr

Inne podciągi zbieżne ciągu (z«) różnią się od podciągów (zj,), (z*) jedynie dla skończonej liczby indeksów k lub też są podciągami tych podciągów. Podciągi te mają oczywiście te same granice 0 i 2.

£T(5)

d)    Zauważmy najpierw, że ciągi a_n = (“i)" oraz 6_n — 5 • (—1)    są okresowe od

pewnego miejsca. Ciąg (a„) ma okres 7j = 2, a ciąg (k») okres Ta »®. Oąg (v„) • który jest sumą ciągów (a„) i (6n). jest także okresowy i ma okres T = 6. Obliczymy teraz kilkanaście początkowych wyrazów ciągu («»») - Mamy

n	I i	2	3	4	5	6	7 i	8	0	10	11 -	12	13
an	-I ,	; i T	-i i	1	—1 J	1	-1	1 j	[ -1 ]	1 ]	-l	1 ?	ZiJ itd.
6n	5	5	—5 '	-6	—5	5	5	5	-6 \	-6	-5	5	5 '
Vn	4	6	-6	—4	-6 i	6	4	6	-6	-4	-6	0	4

Stąd S = {—6, -4,4,6}.

• Przykład 1.14

Znaleźć granice dolne i górne podanych ciągów: a) *„ =    b) _Vn = [(-»" ~ ²]^n+l-

c) Zn = sin + cos    ~ ⁵" tg —.

Rozwiązanie

Granicą dolną (górną) ciągu nazywamy najmniejszy (największy) demem zbmru punk-tów skupienia tego ciągu.    -    _

a) Zbiór punktów skupienia ciągu (r»») ^ma Wp ^    ■^MpC AJ

H_m e 27 oroi "" lim x„ Ł240- | |J sl