DSC07115 (5)

160

Badanie funkcji

VUI. Na podstawie tabeli sporządzamy wykres funkcji.

Uwaga. Aby lepiej zaprezentować kształt wykresu funkcji, na osiach układu nie zachowano skali.

, _%    x(ś*-+'10) .    „

f) L Dziedziną funkcji s(x) = - ^    — jest R.

IL Funkcja badana jest ciągła w dziedzinie, bo jest funkcją elementarną. Jedynym miejscem zerowym tej funkcji jest x = 0. Funkcja a jest nieparzysta, mamy bowiem

₄₍__{x) =}    =_*(*i±}q)₌ __a(x)

*^x) mm i *^a+i ^a{x)

dla x € R. Dlatego dalsze badanie funkcji możemy ograniczyć do przedziału / = [0, oo). HI. Obliczamy granicę funkcji na prawym „krańcu" przedziału /. Mamy

lim a{x) — lim

x’ + I

= lim

1 +

Nie wyznaczaliśmy granicy lim $(x), gdyż punkt 0 należy do wnętrza dziedziny.

*—0+ ** • ■

IV. Z przeprowadzonych w poprzednich punktach rozważań wynika, żc funkcja a nie ma asymptot pionowych ani poziomych. Sprawdzimy teraz, czy ma ona asymptotę ukośna y = A.x + B. w oo. Mamy

.    .. *tx) .. *1*

A, = lim = Km , ,    !

»—«b X    * z(z^ł+ 1)

*~oo X* + 1

oraz

B. = lim (s(x) - A x) = lim

i»ee

z (z³ + 10)

*^a + I

= lim

9*

-oo + ł

= 0.

Zatem prosu v = x jot asymptotą ukcćną funkcji a w oo. V. Zbadamy obecnie pierwszą pochodną funkcji «, Mamy

- 7x* +10 ^_C*» + i)^a ■

przykłady

161

Pochodna a' jest funkcją określoną na przedziale /, do którego ograniczyliśmy badania. Korzystając z warunku koniecznego istnienia ekstremum ustalimy, gdzie funkcja a może mW ekstrema w przedziale /. Dla x € / mamy

#'(z) =a o <=> ^x    “ ^{= 0} <==> 1 = ^ *^uł> * = >/s*

Pierwszą pochodną wykorzystamy jeszcze do zbadania monotoniczności funkcji a na przedziale /. Dla x 6 / mamy

*'(z) > 0 <=o —    ^{> 0 <==> x €} (°»U (>/5,oo)

«'(*)<0<=> £L-2£lj^l2<0<==»*€(V2.V5).

Zatem funkcja a jest rosnąca na przedziałach (0, n/2). (V^,co) oraz malejąca na przedziale (n/2, >/5) . Z rozważań tych wynika, że w punktcie z = y/2 funkcja s ma maksimum

lokalne właściwe równe -lv/5, a w punkcie z = >/Ś ma minimum lokalne w właściwe —. VI. Pozostała jeszcze do zbadania druga pochodna. Mamy

18x(x*-3)

Druga pochodna a" także jest funkcją określoną na przedziale /, do którego ograniczyliśmy badania. Korzystając z warunku koniecznego wyznaczamy miejsca, w których funkcja * może mieć punkty przegięcia w przedziale /. Dla z € / mamy

a"(x) = 0 <=>    = 0 <=> x = 0 lub x = y/3.

^K1    (*^a + i r

Badanie znaku drugiej pochodnej wykorzystamy do ustalenia wypukłości i wklęsłości na przedziale /. Dla x € / mamy

•"(X) > 0

18x (x^a - 3)

(*» + iF

> 0 <=> x € (v/5,oo)

oraz

l&s (x* - 3)    /sx

* (*) < 0 <=>    - _xy ⁹ <0<=>x€(0.x/3).

Zatem funkcja a jest ściśle wypukła na przedziale (\/3,oo) oraz ściśle wklęsła na prze-dziale (0, \/3) . Z rozważań tycłi wynika, że w punkcie x = y/3 badana funkcja zmienia rodzaj wypukłości, więc punkt (v^3,a (>/5)) == f>/3_t-j->/3j jest punktem przegięcia wykresu funkcji a. Ponadto z nieparzystoścl funkcji a wynika, że takie (0,/(0)) as (0,0) jest punktem przegięcia jej wykresu

VII. Uzyskano w poprzednich punktach wyniki, ograniczono do przedziału / = [0,oo),