egz 11, rząd B

Rząd B.

Egzamin z topologii 2011 - czerwiec

W kratce wpisz odpowiedź Tak lub NIE. 2p za poprawną, 0 brak, -1 za błędną, +2 bonus za komplet poprawnych.

Zadanie 1. Niech (X.d) będzie przestrzenią metryczna. Definiujemy d, : X X X R wzorem <l\{x,y) = ln(l + d(x,y)). Wtedy I a) </] jest metryką w X\

| b) di nie zawsze spełnia warunek trójkąta;

I I c) odwzorowanie i: (X,d) -+ (X, d\), /(*) = x, jest homeomorfizmem;

| d) przestrzeń (X, di) może być ograniczona.

Zadanie 2. Niech f : X Y będzie homeomorfizmem. Wtedy §D] a) jeżeli Y jest zupełna, to X jest zupełna;

[3 b) jeżeli V' jest zwarta, to X jest zwarta;

I I c) jeżeli A C || jest otwarty, to f(A) jest otwarty w Y\

I I d) | spełnia warunek Lipschitza.

Zadanie 3 Niech B\,B₂.... C X będą zbiorami zwartymi. Wtedy I    I a)    .4 = U“, §§ jest    zbiorem zwartym;

I    I b)    B = fj“, Bi jest    niepusty;

I I c) istnieje pokrycie zbioru .4 = (J“i fc, z którego nie można wybrać pokrycia skończonego;

I I d) istnieje pokrycie zbioru B — S||| Bi, z którego nie można wybrać pokrycia skończonego;.

Zadanie 4. Rozpatrzmy prostą (EJ |) jako przestrzeń metryczną. Oznaczmy K(x₀,r) := {x I R;|x - x₀| < r}, K(x₀,r) := {a: | R; \x - x_a\ < r}.

I    I a)    jeżeli K{xi, r,) n    I<(x₂, r₂) 11 to^l®, - x₂\ < i i r₂\

I    I b)    dla każdego ar₀ I    R , A'(xo, 1) C A'(xo. 1);

1    1 ci z inkluzji A(x₀,»i) C K(x₀,r₂) wynika, że n < r₂;

I I d) dla każdego pjj 6 R, K(xo, 1) = K(xn, 1).

Rozwiązania poniższych zadań oddajemy na osobnych kartkach

Zad 5.(8p) Proszę udowodnić, że odcinek (-1,1) ze zwykłą metryką jest przestrzenią spójną.

Zad 6.(10p) Rozpatrzmy płaszczyznę z metryką żzekaóraz rodzinę jej podzbiorów A„ = {(*, y): (x — 1 - 1)* +1j¹ = (£)*}. Proszę zbadać, czy

a)    zbiór B = (JSi -4„ jest domknięty , zwarty, spójny?

b)    zbiór B zawiera ciąg(6„)f^., zbieżny w Si taki ,że b„ p 6,„ dla »i g m.

Zad 7.(6p) Proszę podać definicję przestrzeni lokalnie spójnej i przestrzeni spójnej.

Proszę podać przykład

a)    przestrzeni lokalnie 6pójnej i niespójnej,

b)    przestrzeni spójną), ale nie lokalnie spójnej.