egz 13 1

gnip»

ANALIZA. SEMESTR 2. EGZAMIN (20.06.2013) imię i nazwisko

I) Uzasadnić równość J^HLLdt = ^    ^. Sformułować wykorzystane twierdzenia.

Ile wyrazów szeregu należy zsumować, aby obliczyć jego sumę z dokładnością 0.001?

Jarccte x

—t-t=—. Sformułować

i

odpowiednie twierdzenia.

3) Sformułować i udowodnić twierdzenie Green’a. Obliczyć

jyty^{1 2 3 4} +2z aretg(.>')}&-

TT7^+,V"

li

gdzie L jest krzywą zamkniętą ograniczającą obsar

D = \x-y)z R³. o³ S X³ +yl i 2ay\ skierowaną zgodnie z ruchem wskazówek zegara.

4)    Stosując zamianę zmiennych ( x = r cos⁵!, y = rsin*l) znaleźć pole obszaru ograniczonego krzywymi: -Jx+Jy =1, •Jx + Jy = 2, y = x, y=9x.

5)    Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami: r = fe-Z2L-). _x = J_x^: + y⁶ . Sporządzić rysunek tej bryły.

zdxdydz

^!+y³

6) Obliczyć całkę fff-------, gdzie bryła 1'jest ograniczona powierzchniami:

^Jr, l + * +y +z

1

x⁷ +y^J +x^J =4, x³ +y³ +z^J =1,3=.

,^J+y³

,z = ^3x⁸ +3y³

grapa

ANALIZA. SEMESTR 2. EGZAMIN (20.06.2013)

\ + Jx‘ +y‘ + z" x³ +y³ + z³ =?. * = Jx³ *y³. z = ^3x³ *3y³

1

imię i nazwisko_

2

Podać definicję szeregu potęgowego. Korzystając z odpowiednich twierdzeń wykazać. Ze y —^ (x+1)" jest zbieżny dla każdego ie(-2,0). Sformułować te twierdzenia.

3

Uzasadnić równość J —-- dr = ^    . Sformułować wykorzystane twierdzenia.

Ile wyrazów szeregu należy zsumować, aby obliczyć jego sumę z dokładnością 0.001?

4

   Wykazać, Ze pole obszaru D ograniczonego krzywą L- regularną, zamkniętą, skierowaną dodatnio wyraża się wzorem j£>| = ^-^xdy -ydx. Korzystając z tego wzoru obliczyć pole figury ograniczonej prostymi y^sx,y =—,x+y = 2

5

   Stosując zamianę zmiennych obliczyć całkę JJ— dx dy, gdzie obszar G jest ograniczony prostymi

c *

x+y = \,x+y = 2,y = x,y = 2x.

6

   Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami: z = 2^c³ +y³\ z = 3 - Jx³ + y³ . Sporządzić tysunek tej btyły.

7

Obliczyć całkę f ff-.    -• gdzie bryła Kjest ograniczona powierzchniami:

8

•»» >    / i i 2

K