Zadania z aproksymacji
1. Znalez
ć wielomian interpolacyjny Lagrange a przechodzący przez
punkty:
x 1 3 4 5
y 1 9 16 25
2. Znalez
ć błąd interpolacji w przedziale [-1,1] dla f(x)=sinhx
wielomianem 12-go stopnia.
3. Znalez
ć prostą aproksymującą w sensie najmniejszych kwadratów
układ punktów:
x 0 1 3 4 6
y 0 0 1 1 2
4. Znalez
ć funkcję postaci a�0 +� a�1x2 aproksymującą w sensie
najmniejszych kwadratów układ punktów:
x 0 1 3 4 6
y 0 0 1 1 2
5. Znalez
ć naturalną funkcję sklejaną 3-go stopnia interpolująca
punkty:
x 0 1 4
y 20 7 25
6. Znalez
ć współczynniki wielomianu Czebyszewa st. 5.
��
��
x , x �� (-�Ą�,1],
��
1 3
��
7. Sprawdzić, że funkcja: f (x) =� (2 -� x)2 +� , x ��[1,2], określa
��-�
2 2
��
3
��
, x ��[2,Ą�).
��
�� 2
funkcję sklejaną st. 2.
8. Sprawdzić, czy naturalna funkcja sklejana 3-go stopnia 3
interpolująca punkty
x 0 1 2 3
y 1 1 0 1
��
1+� x -� x2 , x ��[0,1],
��
jest określona wzorem: f (x) =� 2(x -�1) -� 3(x -�1)2 +� 4(x -�1)3 , x ��[1,2],
��1-�
��
4(x -� 2) -� 9(x -� 2)2 -� 3(x -� 2)3 , x ��[2,3].
��
9. Sprawdzić dla jakich parametrów a, b, c, d, e
��
a(x -� 2)2 +� b(x -�1)3 , x �� (-�Ą�,1],
��
f (x) =� c(x -� 2)2 , x ��[1,3], określa funkcję sklejaną st. 3
��
��d(x -� 2)2 +� e(x -� 3)3 , x ��[3,Ą�).
��
10. Sprawdzić dla jakich wartości parametrów występujących w
definicji poniższej funkcji jest ona funkcją sklejaną sześcienną dla
trzech węzłów, które są końcami podanych
��
3 +� x -� 9x2, x ��[0,1],
przedziałów f (x) =�
��
��a +� b(x -�1) +� c(x -�1)2 +� d(x -�1)3, x ��[1,2].
Ą�
5
11. Znalez
ć nośnik B3 , {�ti}� .
i=�-�Ą�
12. Znalez
ć B12 , w przedziale (t2,t3).
13. Wyprowadzić wzory na Bi1 w ich nośniku.
ti+�k +�1 -� t
k
14. Wyprowadzić wzór.. =� 1-�Vi+�1.
ti+�k +�1 -� ti+�1
15. Wypisać wszystkie B3 funkcje różne od zera w przedziale
j
(t2,t3).
16. Wypisać wszystkie B2 funkcje różne od zera w przedziale
j
(t2,t4).
17. Wyprowadzić wzory na pochodne liniowej kombinacji;
Ą�
0, j Ł� i,
��
f (x) =� �� c Bk , gdzie c =�
��
j j j
j=�-�Ą�
j -� i, j >� i.
��
Ą�
18. Wykazać, że �� Bk =� 1.
j
j=�-�Ą�
3 3
19. Znalez
ć nośnik B2.B3 . .
3 2
20. Znalez
ć nośnik B2 +� B3 ..
21. Znalez
ć krzywą Beziera aproksymującą punkty P0=(1,1),
P1=(3,4), P2=(2,2)
22. Znalez
ć krzywą Lagrange a interpolującą punkty P0=(1,1),
P1=(3,4), P2=(2,2)
23. Niech wektor węzłów T={t0. t0. t0., t1. t1. t1}={0,0,0,1,1,1}.
Znalez
ć funkcje B2j dla j=0,1,2.