Akademia Górniczo-Hutnicza
im. Stanisława Staszica w Krakowie
Teoria Maszyn i Mechanizmów
Analiza Mechanizmu Dz
wigniowego wg Schematu:
Teoria Maszyn i Mechanizmów- projekt nr.2A
1 Synteza strukturalna i geometryczna mechanizmu - 3 -
1.1 Zdefiniowanie wymiarów mechanizmu, oraz parametrów jednego jego poło\
enia - 3 -
1.2 Wyznaczenie ruchliwości mechanizmu, podział na grupy strukturalne oraz klasyfikacja
mechanizmu. - 4 -
2 Analiza kinematyczna mechanizmu. - 5 -
2.1 Analiza kinematyczna mechanizmu metoda grafoanalityczna. - 5 -
2.1.1 Grafoanalityczna analiza prędkości mechanizmu. - 5 -
3 Prędkość członu napędzającego - 5 -
3.1.1 Grafoanalityczna analiza przyśpieszeń mechanizmu - 8 -
3.2 Analiza kinematyczna mechanizmu metoda analityczna. - 11 -
3.2.1 Wyznaczenie nieznanych parametrów konstrukcyjnych mechanizmu - 12 -
3.2.2 Analiza prędkości mechanizmu. - 13 -
3.2.3 Analiza przyspieszeń mechanizmu - 14 -
3.3 Analiza kinematyczna mechanizmu za pomocÄ… programu SAM4.2 - 15 -
3.4 Schemat mechanizmu zamodelowany w programie SAM 4.2 - 15 -
3.5 Wyniki analizy kinematycznej w programie - 15 -
3.6 Podsumowanie analizy kinematycznej mechanizmu, oraz zestawienie wyników. - 16 -
4 Analiza kinetostatyczna mechanizmu. - 17 -
4.1 Zało\
enia analizy: - 17 -
4.1.1 Wyznaczenie sił bezwładności działających na mechanizm: - 17 -
4.1.2 Wyznaczenie sil grawitacji działających na mechanizm: - 18 -
4.1.3 Odrzucenie członu napędzającego, oraz uwolnienie układu od więzów - 18 -
4.1.4 Równanie wektorowe równowagi sił działających na grupę strukturalną - 18 -
4.1.5 Wyznaczenie nieznanych reakcji z równań momentów i planu sił - 18 -
4.1.6 Wyznaczenie siły równowa\
Ä…cej - 19 -
4.2 Wyznaczenie siły równowa\
ącej działającej na człon metoda mocy chwilowych - 20 -
4.3 Podsumowanie analizy kinetostatycznej - 20 -
- 2 -
Teoria Maszyn i Mechanizmów- projekt nr.2A
1 Synteza strukturalna i geometryczna mechanizmu
1.1 Zdefiniowanie wymiarów mechanizmu, oraz parametrów jednego jego
poło\
enia
W poni\
szym podpunkcie zostały przyjęto, wymiary mechanizmu oraz ograniczenia
warunkujące jego prawidłową prace i działanie. Równie\
zało\
yłem początkowe
poło\
enie mechanizmu, oraz prędkości i przyspieszenie członu napędzającego.
A A1 A2 A3
Rys. 1 . Schemat mechanizmu
Przyjęto wymiary:
|AB|= 0,12005 [m]
|BC|= 0,025[m]
oraz dla jednego poło\
enia mechanizmu:
Ć =88[°]
1
Zdefiniowano prędkość i przyspieszenie członu napędzającego:
1
= 43 = const.
É
1
s
1
= 0
µ
1
s2
- 3 -
Teoria Maszyn i Mechanizmów- projekt nr.2A
1.2 Wyznaczenie ruchliwości mechanizmu, podział na grupy strukturalne oraz
klasyfikacja mechanizmu.
Podział na grupy strukturalne.
Czlon napedzajacy
Grupa strukturalna
Rys. 2 . Podział mechanizmu
Grupa strukturalna analizowanego mechanizmu jest klasy II
Ruchliwość mechanizmu:
5
w = 3Å" n - - 3)Å" pi
"(i
i=4
w- ruchliwość mechanizmu
n- liczba członów mechanizmu
i- klasa par występujących w łańcuchu kinematycznym
p
4- para kinematyczna klasy czwartej
p
5- para kinematyczna klasy piÄ…tej
Wyznaczenie ruchliwości analizowanego mechanizmu
n= 3
p =0
4
p =4
5
w = 3Å"3- 2Å" 4 =1
Ruchliwość mechanizmu w=1
- 4 -
Teoria Maszyn i Mechanizmów- projekt nr.2A
2 Analiza kinematyczna mechanizmu.
2.1 Analiza kinematyczna mechanizmu metoda grafoanalityczna.
Analiza kinematyczna wykonana jest dla jednego wybranego poło\
enia mechanizmu.
A A1 A2 A3
Rys. 3 . Schemat rozkładu prędkości
2.1.1 Grafoanalityczna analiza prędkości mechanizmu.
3 Prędkość członu napędzającego
É =43[1/s]
1
Wyznaczenie prędkości VA1
m
PrÄ™dkość V =É |OA|= 3,01
A 1
s
Wyznaczenie prędkości VA2 =VA3
VA2 = VA1 +VA2 A1
Wektor prędkości V jest jest prostopadły |0A|
A1
Wektor prędkości V jest równoległy |OA|
A2A1
Wektor prędkości V jest prostopadły |AB|
A2
- 5 -
Teoria Maszyn i Mechanizmów- projekt nr.2A
Wyznaczenie prędkości VC
V =É3 ×| BC |
C
| BC |
VCA2 = É3Å" | BC |= Å"VA3 = 0,2082 Å"VA3
| AB |
Prędkość (m2) środka masy
V =É3 ×| BS3 |
S 3
| S3B |
VS 3 = É3Å" | S3B |= Å"VA3 = 0,5Å"VA3
AB |
Przyjęcie podziałki rysunkowej dla planu prędkości:
m
1 = 1[mm]
s
m
kV = 1
mm Å" s
Ä„V
Rys. 4 . Plan prędkości
- 6 -
Teoria Maszyn i Mechanizmów- projekt nr.2A
Z planu prędkości odczytano następujące wartości:
m
(VA2)= 5,433[mm] VA2 = 5,433îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
s
ðÅ‚ ûÅ‚
m
(VA3)= 5,433[mm] VA3 = 5,433îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
s
ðÅ‚ ûÅ‚
m
(VC )= 1,13[mm] VC = 1,13îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
s
ðÅ‚ ûÅ‚
m
(VA2 A1)= 4,523[mm] VA2 A1 = 4,523îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
s
ðÅ‚ ûÅ‚
m
(VS 3)= 2,716[mm] VS 2 = 2,716îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
s
ðÅ‚ ûÅ‚
Wyznaczenie prędkości kątowej członu trzeciego
VA3 =É3 ×| AB |
VA3 5,433 1
îÅ‚ Å‚Å‚
É3 = = = 45,256
ïÅ‚ śł
| AB | 0,12005 s
ðÅ‚ ûÅ‚
- 7 -
Teoria Maszyn i Mechanizmów- projekt nr.2A
3.1.1 Grafoanalityczna analiza przyśpieszeń mechanizmu
Przyspieszenie kątowe członu napędzającego zostało zdefiniowane w punkcie pierwszym i
wynosi:
1
= 0
µ
1
s2
Przyspieszenie punktu A1
t n
= +
a a a
A1 A1 A1
gdzie
at = µ1Å" | 0A |= 0 µ1 = 0
A1
m
îÅ‚ Å‚Å‚
n 2
aA1 = É1 Å" | 0A |= 129,43
ïÅ‚ śł
s2
ðÅ‚ ûÅ‚
Wektor przyspieszenia at jest prostopadły |0A|
A1
Wektor przyspieszenia an jest równoległy |0A|
A1
Wyznaczenie przyspieszenia pkt. A2 i A3
n
aA2 = at + aA2 = aA1 + at A1 + acorA1
A2 A2 A2
gdzie,
m
aA1 = 129,43îÅ‚ 2 Å‚Å‚
ïÅ‚s śł
ðÅ‚ ûÅ‚
m
n 2
aA2 = É3 Å" | AB |= 245,875îÅ‚ 2 Å‚Å‚
ïÅ‚s śł
ðÅ‚ ûÅ‚
cor
= 2 ×
a V É
A2 A1 A2 A1 1
m
cor
aA2 A1 = 2 Å" 4,523Å" 43 = 388,978îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
s2
ðÅ‚ ûÅ‚
Wektor przyspieszenia a jest równoległy do |AB|
A2n
Wektor przyspieszenia a jest prostopadły do |AB|
A2t
Wektor przyspieszenia a jest prostopadły do |OA|
A2A1cor
Wektor przyspieszenia a jest równoległy do |OA|
A2A1t
- 8 -
Teoria Maszyn i Mechanizmów- projekt nr.2A
Przyspieszenie pkt.C
n 1
2
= É3 Å" | BC |= 51,203
a
C
s
Ä Ä
Ä Ä
a a
C C
= µ2 = = 0,2082 Å"
a a
C C
| BC | | AB |
Ä n
= +
a a a
C C C
Przyspieszenie (m3) środka masy
n 1
2
= É3 Å"| S3B |=122,94
a
S 3
s
Ä Ä
Ä Ä
a a
s3 C
= µ = = 0,5 Å"
2
a a
S 3 C
| S3B | | AB |
Ä n
= +
a a a
S 3 S 3 S 3
Przyjęcie podziałki rysunkowej dla planu przyśpieszeń:
m
1 = 0,1[mm]
s2
m
ka = 10
mm Å" s2
Ä„A
Rys. 5 . Plan przyspieszeń
- 9 -
Teoria Maszyn i Mechanizmów- projekt nr.2A
Z planu przyspieszeń odczytano następujące przyspieszeni:
m
(a )= 41,364[mm] = 413,64
a
A2 A2
s2
m
(a )= 41,364[mm] = 413,64
a
A3 A3
s2
m
(a )= 27,01[mm] = 270,1
a
A2 A1 A2 A1
s2
m
(a )= 8,61[mm] = 86,1
a
C C
s2
m
= 206,8
a
S 3
s2
Wyznaczenie przyspieszenia kątowego członu trzeciego
Ä
aA3 =µ3 ×| AB |
aÄ 1
A3
µ3 = = 2770,51îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
| AB | s2
ðÅ‚ ûÅ‚
- 10 -
Teoria Maszyn i Mechanizmów- projekt nr.2A
3.2 Analiza kinematyczna mechanizmu metoda analityczna.
Ć2
A A1 A2 A3
Ć4
Ć1
Ć0
Rys. 6 . Schemat mechanizmu do analizy metodÄ… analitycznÄ…
Ć1(t) definiuje ruch członu napędzającego:
l1(t) , Ć2(t), są funkcjami zmiennymi w czasie
Poni\
sze funkcje są funkcjami stałymi i nie zale\
ą od czasu, przyjmują zawsze stalą wartość:
l (t)=0,12005[m]
2
Ć (t)=180 ć% l (t)= 0,1 [m]
0 0
Dla zadanego poło\
enia mamy
" " "
1 1
Õ(t) = 88[°] Õ(t) = É1 = 43 [ ] Õ(t) = µ1 = 0 [ ]
s s2
Wyznaczenie ogólnych równań ruchu
l1 + l2 + l0 = 0
Po zrzutowaniu na osie układu wsp. otrzymujemy
OX : l1 Å" cosÕ1 + l2 Å" cosÕ2 + l0 Å" cosÕ0 = 0
OY : l1 Å" sin Õ1 + l2 Å"sin Õ2 + l0 Å"sin Õ0 = 0
- 11 -
Teoria Maszyn i Mechanizmów- projekt nr.2A
3.2.1 Wyznaczenie nieznanych parametrów konstrukcyjnych mechanizmu
Nieznany parametr Ć2(t)
Obracając układ wsp. o kąt Ć1
OY : l1 Å"sinÕ1 + l2 Å"sinÕ2 + l0 Å"sinÕ0 = 0
l2 Å"sin(Õ2 -Õ1)+ l0 Å"sin(Õ0 -Õ1)= 0
l0 Å"sin(Õ0 -Õ1)
sin(Õ2 -Õ1)= -
l2
îÅ‚ Å‚Å‚
l0 Å"sin(Õ0 -Õ1)
Õ2 = Õ1 + arcsinïÅ‚-
l2 śł
ðÅ‚ ûÅ‚
Po uwzględnieniu stałych parametrów otrzymujemy
îÅ‚ 0,1Å"sin(180 -Õ1)
Å‚Å‚
Õ2 = Õ1 + arcsinïÅ‚-
śł
0,12005
ðÅ‚ ûÅ‚
Õ2 = Õ1 + arcsin[- 0,833Å"sin(180 -Õ1)]
Dla jednego poło\
enia mamy:
Õ2 (t0 = 0) = 88° + 236,356°
Õ2 (t0 = 0) = 324,356° = -35,644°
Nieznany parametr l2(t)
OX l1 Å" cos(Õ1 -Õ1)+ l2 Å" cos(Õ2 -Õ1)+ l0 Å" cos(Õ0 -Õ1)= 0
l1 = -l2 Å" cos(Õ2 -Õ1)- l0 Å" cos(Õ0 -Õ1)
Po podstawieniu stałych parametrów mechanizmu otrzymujemy
l1 = -0,12005Å" cos(- 35,644 - Õ1)- 0,1Å" cos(180 - Õ1)
Dla jednego poło\
enia mamy:
l2(t0 = 0) = -0,12005Å"cos(- 35,644 - 88)- 0,1Å"cos(180 - 88)
l2(t0 = 0) = 0,07m
- 12 -
Teoria Maszyn i Mechanizmów- projekt nr.2A
3.2.2 Analiza prędkości mechanizmu.
Ró\
niczkując równania drogi po czasie otrzymamy zale\
ność odpowiednich
prędkości od czasu.
"
OX : l Å" cosÕ1 - l1 Å"É1 Å"sin Õ1 - l2 Å"É2 Å"sin Õ2 = 0
1
"
OY : l Å"sin Õ1 + l1 Å"É1 Å" cosÕ1 + l2 Å"É2 Å" cosÕ2 = 0
1
Nieznany parametr V1(t)
Obracając układ o kąt Ć2(t) wyznaczy nieznany parametr z równania OX
"
l Å" cos(Õ1 - Õ2)- l1 Å"É1 Å" sin(Õ1 - Õ2) = 0
1
"
l1 Å"É1 Å" sin(Õ1 - Õ2)
l = = l1 Å"É1 Å" tg(Õ1 - Õ2)
1
cos(Õ1 - Õ2)
"
l = 0,07 Å" 43 Å" tg(88 + 35,644)
1
"
m
l = -4,5229
1
s
Nieznany parametr É2(t)
Obracając układ o kąt Ć1(t) wyznaczymy nieznany parametr z równania OY
"
l Å"sin(Õ1 -Õ1)+ l1 Å"É1 Å" cos(Õ1 - Õ1)+ l2 Å"É2 Å" cos(Õ2 - Õ1)= 0
1
l1 Å"É1 + l2 Å"É2 Å" cos(Õ2 -Õ1)= 0
l1 Å"É1
É2 = -
l2 Å" cos(Õ2 - Õ1)
0,07 Å" 43
É2 = -
0,12005 Å" cos(-123,644)
1
É2 = 45,255
s
- 13 -
Teoria Maszyn i Mechanizmów- projekt nr.2A
3.2.3 Analiza przyspieszeń mechanizmu
Ró\
niczkując równania prędkości po czasie otrzymamy zale\
ność odpowiednich
przyspieszeń od czasu.
Nieznany parametr a2(t)
Nieznaną wartość przyspieszania wyznaczymy bezpośrednio z równania prędkości
od czasu przez wyznaczenie pochodnej tego równania
" "
l = l1 Å"É1 Å"tg(Õ1 -Õ2)
1
" " "
1
l = l Å"É1 Å"tg(Õ1 -Õ2)+ l1 Å"µ1 Å"tg(Õ1 -Õ2)+ l1 Å"É1 Å"(É1 -É2)Å"
1 1
cos2(Õ1 -Õ2)
" " "
1
l = l Å"É1 Å"tg(Õ1 -Õ2)+ l1 Å"É1 Å"(É1 -É2)Å"
1 1
cos2(Õ1 -Õ2 )
" "
1
l = -4,5229Å" 43Å"tg(123,644)- 2,255Å"0,07 Å" 43Å"
1
cos2(123,644)
" "
m
l = 270,1
1
s2
Nieznany parametr µ2(t)
Nieznaną wartość przyspieszania wyznaczymy bezpośrednio z równania prędkości
od czasu przez wyznaczenie pochodnej tego równania
l1 Å"É1
É2 = -
l2 Å"cos(Õ2 -Õ1)
"
ëÅ‚l Å"É1 + l1 Å"µ1 öÅ‚Å" Å"cos(Õ2 -Õ1))+ l1 Å"É1 Å"l2 Å"(É2 -É1)Å"sin(Õ2 -Õ1)
(l2
1
ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
µ = -
2
2
(l2 Å"cos(Õ2 -Õ1))
"
l Å"É1 Å"l2 Å"cos(Õ2 -Õ1)+ l1 Å"É1 Å"l2 Å"(É2 -É1)Å"sin(Õ2 -Õ1)
1
µ = -
2
2
(l2 Å"cos(Õ2 -Õ1))
- 4,5229Å" 43Å"0,12005Å"cos(-123,644)+ 0,07 Å" 43Å"0,12005Å" 2,255Å"sin(-123,644)
µ = -
2
2
(0,12005Å"cos(-123,644))
1
µ = -2770,74
2
s2
- 14 -
Teoria Maszyn i Mechanizmów- projekt nr.2A
3.3 Analiza kinematyczna mechanizmu za pomocÄ… programu SAM4.2
3.4 Schemat mechanizmu zamodelowany w programie SAM 4.2
Rys. 7 . Schemat mechanizu w SAMie
3.5 Wyniki analizy kinematycznej w programie
Rys. 8 . Wyniki analizy
- 15 -
Teoria Maszyn i Mechanizmów- projekt nr.2A
3.6 Podsumowanie analizy kinematycznej mechanizmu, oraz zestawienie
wyników.
Metoda Metoda
SAM
grafoanalityczna analityczna
Prędkości liniowe i kątowe mechanizmu
3,01 - 3,01
V
A1
5,43 - 5,433
V
A2
4,52 -4,5229 -
V
A2A1
5,43 - 5,433
V
A3
2,716 - 2,717
V
S3
1,13 - 1,132
V
C
45,256 45,255 -45,256
É
2
45,256 45,255 -45,256
É
3
Przyspieszenia liniowe i kÄ…towe mechanizmu
129,43 - 129,430
a
A1
413,64 - 413,625
a
A2
245,9 - -
an
A2
332,6 - -
at
A2
270,1 270,1 -
at
A2A1
413,64 - 413,625
a
A3
86,1 - 86,151
a
C
206,8 - 206,82
a
S3
122,9 - -
an
S3
166,3 - -
at
S3
2770,51 -2770,74 -2770,688
µ
2
2770,51 -2770,74 -2770,688
µ
3
- 16 -
Teoria Maszyn i Mechanizmów- projekt nr.2A
4 Analiza kinetostatyczna mechanizmu.
A A1 A2 A3
3
Rys. 9 . Mechanizm do analizy kienteostatycznej
4.1 Zało\
enia analizy:
Dla mechanizmu przyjmuje:
Wartości sił obcią\
ajÄ…cych mechanizm:
P =10N
3
M =720Nm
3
Człon drugi mechanizmu posiada: masę m3= 50kg
Moment bezwładności JS3
2
m Å" l 2 Å" 0,120052
= 0,06[kg Å" m2]
JS3 = =
12 12
m
Mechanizm znajduje siÄ™ w polu grawitacyjnym g = 9,81
s2
4.1.1 Wyznaczenie sił bezwładności działających na mechanizm:
B = m3 Å" as3
3
B3 = 206,8 Å" 50 = 10340N
M = J Å" µ
B3
S 3 3
M = 0,06 Å" 2770,51 = 166,2306 Nm
B3
- 17 -
Teoria Maszyn i Mechanizmów- projekt nr.2A
4.1.2 Wyznaczenie sil grawitacji działających na mechanizm:
G = m3 Å" g
3
G3 = 9,81Å" 50 = 490,5N
4.1.3 Odrzucenie członu napędzającego, oraz uwolnienie układu od więzów
3
Rys. 10 . Uwolnienie układu od więzów (odrzucenie członu napędzającego)
4.1.4 Równanie wektorowe równowagi sił działających na grupę strukturalną
Równanie dla gr.struktura ln ej :
N t
R12 + R03 + R03 + P3 + B3 + G3 = 0
Równanie dla człzło drugiego :
R12 + R32 = 0
Równanie dla człzło trzeciego :
t n
R23 + R03 + R03 + P3 + B3 + G3 = 0
4.1.5 Wyznaczenie nieznanych reakcji z równań momentów i planu sił
Wyznaczenie nieznanej reakcji M12 z równania momentów względem punktu B (dla członu
drugiego)
= 0 Ô! M12 = 0
"MiB
Wyznaczenie nieznanej reakcji R12 z równania momentów względem punktu B
= 0 Ô! - R12 Å"lR12 + MB3 - G3 Å"lG3 - B3 Å"lB3 + M3 + P3Å"| BC |= 0
"MiB
-R12 Å" 0,06651+166,2306- 490,5Å" 0,04878-10340Å" 0,04827+ 720+100Å"0,025= 0
R12 = 5498,304N
- 18 -
Teoria Maszyn i Mechanizmów- projekt nr.2A
Rys. 11 . Plan sił
Na podstawie planu sil wyznaczono
Ä n
R03 = 11759,81N R03 = 10337,76N R03 = 15657,67N
R12 = R23 = R32 = 5498,304N
4.1.6 Wyznaczenie siły równowa\
ącej, oraz sił reakcji działających na człon
napędzający
Plan sił dla czlonu napędzającego
R21 + R01 = 0
P =5498,304 [N]
01
Wyznaczenie momentu równowa\
Ä…cego MR1
Ô! -R21Å" | OA | +M = 0
"MiA R1
M = 384,88129Nm
R1
M =384,88129 [Nm]
R1
- 19 -
Teoria Maszyn i Mechanizmów- projekt nr.2A
4.2 Wyznaczenie siły równowa\
ącej działającej na człon metoda mocy
chwilowych
A A1 A2 A3
3
Rys. 12 . Mechanizm do analizy metodÄ… mocy chwilowych
m
" VA = 2
s
É1 o M + M o É3 + M3 oÉ3 + G3 oVS 3 + B3 oVS 3 + P3 oVC = 0
R1 B3
É1 Å" M Å" cos180° + M Å"É3 Å" cos 0° + M3 Å"É3 Å" cos 0° + G3 Å"VS 3 Å" cos144,36° +
R1 B3
B3 Å"VS 3 Å" cos143,529° + P3 Å"VC Å" cos 0° = 0
- É1 Å" M + M Å"É3 + M3 Å"É3 + G3 Å"VS 3 Å" cos144,36° + B3 Å"VS 3 Å" cos143,529° + P3 Å"VC = 0
R1 B3
- 43Å" M + (166,23 + 720)Å" 45,256 + 490,5Å" 2,716 Å" cos144,36°
R1
+10340 Å" 2,716 Å" cos143,529° +100 Å"1,13 = 0
M = 384,9Nm
R1
4.3 Podsumowanie analizy kinetostatycznej
Metoda Metoda mocy
wykreślna chwilowych
M 384,88 384,9
R1
- 20 -