Połączenia
Obliczenia wytrzymałościowe.
śrubowe
Rdzeń śruby ściskanej i skręcanej.
II przypadek obciążenia śruby (2b)
Długie śruby pracujące pod obciążeniem ściskającym oblicza się na
wyboczenie i sprawdza się w nich złożony stan naprężeń.
F
s� Ł� kcj(�kc)�
Mt
Z
��
F
MS
l
Wyboczenie
MC
Wyboczenie
Stateczność
I. Równowaga stateczna
II. Równowaga niestateczna chwiejna
III. Równowaga obojętna
Wyboczenie
Stateczność
Równowaga chwiejna przy
Równowaga stała
małej stateczności
Wygięcie pręta spowodowane przekroczeniem przez siłę
ściskającą wartości krytycznej nazywamy wyboczeniem.
Równanie Eulera
Wyboczenie
d2 y
d2 y
EI =� -�Mg
Mg =� Py �� EI =� -�Py
dx2
dx2
d2 y P
+� y =� 0
dx2 EI
P d2 y
2 2
k =� �� +� k y =� 0
EI dx2
y =� Asinkx +� Bcoskx
yx=�0 =� 0 �� B =� 0 �� y =� Asinkx
yx �� Asin kl
1�=�l 4�4�2�4�4�4�=�
4�=� 04� 4�0
3�
��
1. A =� 0 �� x, y =� 0 �� pręt zawsze prosty
2. sinkl =� 0 �� kl =� np� n =� 0,1,2,3...
2. sin kl =� �� n =� 0 1,
1�4�4�4�4�0 4�=� 4� 4�
4�4�kl 2�np�4�4�4�4�,4�2,3...
3�
Wyboczenie
��
2
P n2p� EI
kl =� l =� np� �� P =�
EI l2
1�4�4�4�4�4�2�4�4�4�4�4�3�
4� 4�
2
��
p� EI
2. n =� 1 �� Pkr =�
1. n =� 0 �� P =� 0 oraz
l2
2
Siła krytyczna:
p� EI
Pkr =� �� lr =� a� �� l
lr2
2
Naprężenie
Pkr p� EI
s� =� =�
kr
2
krytyczne:
A lr A
I lr
Promień bezwładności
=� i2 , =� l�
A i
przekroju i smukłość:
1�4�4�2�4�4�
3�
��
2
p� E
s� =�
kr
l�2
Naprężenie i smukłość
2
p� E
s� =� s� �� l�gr =�
krytyczna:
kr s
s�
s
Wyboczenie
Teoretyczna oś
ugięta dla wyższej
wartości sił
krytycznych n=2
oraz n=3
Wpływ zamocowania na
Wyboczenie
wielkość współczynnika ą
2
p� EI
Pkr =� �� lr =� a� �� l
lr2
Wyboczenie
Wyboczenie
Przykład 1
Obliczyć smukłość graniczną dla której obowiązuje opis siły krytycznej
Eulera, jeśli pręt wykonano ze stali o granicy proporcjonalności 220 MPa
oraz module Younga
E =� 2.06��1011Pa?
2 2
p� E p� �� 2.06��1011
l�gr =� =� =� 96.13
s� 220��106
s
Sprężysto-plastyczne
Wyboczenie
wyboczenie pręta
s� =� a -� bl�
Wzór Tetmajera-Jasińskiego:
kr
Wzór Johnsona-Ostenfelda:
s� =� A -� Bl�2
kr
Wyboczenie
Współczynniki przy wyboczeniu [MPa]
Wzór Tetmajera- Wzór Johnsona-
Jasińskiego Ostenfelda
Materiał
l�gr l�gr
a b A B
Stal niskowęglowa 105 310 1.14 116 310 0.0116
Stal o zawartości 100 464 2.62 94 464 0.0260
0.28-0.37% C
Stal niklowa (do 5% Ni) 86 470 2.30 94 470 0.0266
Drewno miękkie (świerk) 100 29.3 0.194 90 29.3 0.002
Obliczenia wytrzymałościowe
Wyboczenie
śrub roboczych na wyboczenie
1. Obliczenie przekroju rdzenia na ściskanie siłą P i powiększenie go
o 25%
P
Ar =� 1,25
kc( j )
2. Dobór gwintu ( np. trapezowego) z normy
3. Obliczenie kąta wzniosu linii śrubowej g� i sprawdzenie naprężeń
ds
P tg(�g� +� r�')�
P 4P
Ms
2 2
2
t� =� =� s� =� =�
s� =� s�c +� 3t�s
s c
3 2 z
Wo p�d3
Ar p�d3
16
s� Ł� kcj(�kc)�
Z
4. Obliczenie smukłości w zależności od rodzaju zamocowania
lw lw
l� =� =�
i
Jx
Ar
Obliczenia wytrzymałościowe
Wyboczenie
śrub roboczych na wyboczenie
5. Długość obliczeniowa  np. dla prasy lw=0,7l, dla podnośnika lw=2l,
Moment bezwładności dla przekroju rdzenia lub jak dla śrub drążonych
2
to wytrzymałość na wyboczenie-
p� E
l� >� l�kr
6. Jeśli
s� =�
kr
wzór Eulera :
l�2
s� =� a -� bl�
7. Jeśli wzór Tetmajera: kr
l� <� l�kr
8. Po obliczeniu wytrzymałości krytycznej sprawdza się współczynnik
bezpieczeństwa Xdop
Pkr s� s� Ar
kr kr
X =� =� =� ł� Xdop
P s� P
Wartości Xw od 4��8 (9) jeśli s�kr ze wzoru Eulera, mniejsze w prasach
większe w podnośnikach. Jeśli s�kr wg Tetmajera, to Xw=1,75 ��4,
elementy współśrodkowe drążone, z luzem, Xw do 8. Jeśli:
l� <� 10 �� 15(25) obliczenia na wyboczenie zbędne!
Wyboczenie
Przykład 2:
Określić minimalną średnicę rdzenia śruby roboczej
podnośnika samochodowego o długości l=15 cm obciążonej
ciężarem P = 35 kN (materiał: stal St5, wsp. bezp. X=4).
2
p� EI Pkr
Pkr =� �� X =� �� P =� Pdopw
lr2 P
2 2
4
p� EImin. XPlr
p�d
XP =� �� Imin. =� ;
2 lr =� 2l;
I =� ;
lr2 p� E
64
2
64XPlr2 64 �� 4 �� 35000 �� (�0.3)�
4
4
dmin. =� =� =� 0.0188m.
3 3
p� E p� �� 2.06 �� 1011
lr lr lr 4�� 2l
l� =� =� =� =� =� 63.7 �� l� <� l�gr
4
I
i dr
p�dr �� 4
2
A
64��p�dr
Przykład 2  c.d.:
Wyboczenie
s� =� a -� bl�
kr
4lr
s� =� a -� b
kr
s� =� s� �� X
kr dr
4X �� P 4lr
4P
�� =� a -� b
4X �� P
s� =�
p� dr2 dr
{�
s� =�
p�dr2
kr
p�dr2
{�
4 �� 2lr
l� =�
dr
2
a �� p�dr -� b �� 4p� lrdr -� 4XP =� 0
2 2 2 2
D� =� 16p� b2lr +� 16p� aXP; D� =� 4 p� b2lr +� p� aXP =� 57.59 �� 106
4p�blr +� D�
dr =� =� 0.0233m.
2
2p�a
Wyboczenie
Dobór wysokości nakrętki
P
ł� pr
n �� Azwoju
p�
2 2
Azwoju =� (�d -� D1 )�
4
4P 4P
n ł� �� h ł� Ph ��
2 2
pr �� p�(�d2 -� D1 )� pr �� p�(�d2 -� D1 )�
Dobór średnicy
Wyboczenie
zewnętrznej nakrętki
s� =� E��e�
s� s�
ś n
e�ś =� e�n �� =�
Eś En
4 �� P
4 �� P
s� =�
s� =�
ś
n
2
2
(�
p� �� Dz -� D2 )�
p� �� d3
4 �� P 4 �� P
=�
2 2
(� )�
p� �� d3 Eś p� �� Dz -� D2 En
2
d3 �� Eś
Dz =� +� D2
En
Wyboczenie
Przykład 3:
Dobrać gwint oraz obliczyć średnicę zewnętrzną i
wysokość nakrętki z brązu Bk7 śruby ze stali St5
podnośnika samochodowego z poprzedniego
przykładu .
Moduły Younga:
Brąz 1.1*105 MPa
Stal 2.06* 105 MPa
Współczynnik tarcia stal po brązie 0.08.
Dopuszczalne naciski ruchowe dla brązu Bk7:
15 MPa
Wyboczenie
Wyboczenie
" Gwint trapezowy symetryczny o rdzeniu
ponad 23.3 mm to TR 32x6
" Istotne parametry tego gwintu:
Wyboczenie
Przykład 3  c.d.:
" Sprawność gwintu:
tgg�
h� =�
tg(g� +� r�')
6
ć� �� ��
h
g� =� 3.768��
=� arctgć� ��
arctg(g� ) =� arctg�� �� �� ��
p� �� 29
Ł� ł�
Ł�p� �� ds ł�
ć� 0.08 ��
ć� m� ��
r�'=� 3.735��
=� arctg ��
arctg(r�') =� arctg �� ��
�� ��
cos(15��)ł�
cos(15��)ł�
Ł�
Ł�
h� =� 0.44
Wyboczenie
Przykład 3  c.d.:
" Wysokość nakrętki:
4P 4P
n ł� �� h ł� Ph ��
2 2
(� (�
pr �� p� d2 -� D1 )� pr �� p� d2 -� D1 )�
4�� 35000
h ł� 6��
15��p�(�322 -� 262)�
h ł� 51.2mm.
Wyboczenie
Przykład 3 c.d.:
" Średnica nakrętki:
2
d3 �� Eś
Dz =� +� D2
En
23�� 2.06��1011
Dz =� +� 332
1.1��1011
Dz =� 45.6mm.