KMB, WILiŚ, PG MECHANIKA BUDOWLI I (C16) Rok II, semestr IV (letni 2005)
Wykłady: P. Iwicki, M. K. Jasina
Ćwiczenia: M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada
Ćwiczenie 12
Zad. 12.1
Obliczyć kąt obrotu �
Rys. 12.1.1
Korzystamy z II twierdzenia redukcyjnego
M �" M
p
� = ds (12.1)
+"
EI
L
Rozwiązanie M - stan obciążenia zewnętrznego w układzie podstawowym metody sił:
p
Rys. 12.1.2
Rozwiązanie M - jednostkowe obciążenie wirtualne w układzie niewyznaczalnym  stosujemy
metodę sił
Rys. 12.1.3
l 2l
�10 =- , �11 = �! X1 = 0,5[-]
3EI 3EI
Rys. 12.1.4
M �" M
1 2 ql2 l ql3
p
� = ds = �" �"l �" �" =
+"
EI EI 3 8 4 48EI
L
C16-2005-cw12
94
KMB, WILiŚ, PG MECHANIKA BUDOWLI I (C16) Rok II, semestr IV (letni 2005)
Wykłady: P. Iwicki, M. K. Jasina
Ćwiczenia: M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada
Inny układ podstawowy (ze stanem obciążenia zewnętrznego):
Rys. 12.1.5
M �" M Ą#1 ql2 3 1 1 ql2 2 1 ś#ń# ql3 �# 1 1 ś# ql3
1 �# ś# �# ś#
� =p1 ds = �" �"ś# - �" �" + �"ś# - �" �"�# - = - + =
ó#3 2 4 2 2 2 3 2 Ą#
ź#�"l ź#�"l ś# ź# ś# ź#
+"
EI EI 16 12 48EI
�# # �# #�# #Ś# EI �# #
L Ł#
Zad. 12.2
Obliczyć kąt obrotu �
Rys. 12.2.1
Korzystamy z II twierdzenia redukcyjnego
M �" M
p
� = ds (12.2)
+"
EI
L
Jednostkowe obciążenie wirtualne w układzie podstawowym metody sił  wg rysunku:
Rys. 12.2.2
Obciążenie zewnętrzne w układzie niewyznaczalnym  rozwiązanie metodą przemieszczeń (ng =1)
Rys. 12.2.3
C16-2005-cw12
95
KMB, WILiŚ, PG MECHANIKA BUDOWLI I (C16) Rok II, semestr IV (letni 2005)
Wykłady: P. Iwicki, M. K. Jasina
Ćwiczenia: M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada
Momenty wyjściowe:
3�" 42
0
M =- =-4[kNm]
A1
12
0
M1A = 4[kNm]
3
0
M1B =- �"16�"3 =-9 [kNm]
16
1
0
M1C =- �"8 =-4 [kNm]
2
Sumaryczne momenty przywęzłowe:
Rys. 12.2.4
M =-4 + EI�
A1
M1A = 4 + 2EI�
M1B =-9 + EI�
M1C =-4 +1,5EI�
Równanie równowagi:
ŁM1 = M1A + M1B + M1C = 0
2
-9 + 4,5EI� = 0 �! � =
EI
Wartości momentów przywęzłowych
M =-4 + 2 =-2 [kNm]
A1
M1A = 4 + 4 = 8[kNm]
M1B =-9 + 2 =-7 [kNm]
M1C =-4 + 3 =-1[kNm]
Potrzebny jest jedynie fragment wykresu M na odcinku 1- B
Rys. 12.2.4
M �" M
1 1 1 1 1 5,5
Ą#
p
� = ds = �" �"3�"12�" + �"3�" �" �"1ń# = = 0,0055 [rad] = 18'55"
(-7
)
+"
ó#2 2 2
EI EI 3 1000
Ł#Ą#
Ś#
L
C16-2005-cw12
96
KMB, WILiŚ, PG MECHANIKA BUDOWLI I (C16) Rok II, semestr IV (letni 2005)
Wykłady: P. Iwicki, M. K. Jasina
Ćwiczenia: M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada
Zad. 12.3 (*zadanie dodatkowe)
Obliczyć kąt obrotu �A wywołany równomiernym ogrzaniem elementu B-1 o wielkość
1
t0 = 24oC , ąt =10-5 o
C
Rys. 12.3.1
Z zasady prac wirtualnych wynika wzór:
M �" M
�A = ds + Nątt0ds (12.3)
+"+"
EI
LL
Przy zastosowaniu I twierdzenia redukcyjnego dostajemy
M �" M
p
�A = ds + Nątt0ds = Nątt0ds (M = 0) (12.4)
p
+"+" +"
EI
LL L
Należy rozwiązać układ wyjściowy (niewyznaczalny) z obciążeniem wirtualnym  potrzebna jest
jedynie siła normalna N1B
Metoda przemieszczeń (ng =1)
Rys. 12.3.2
Momenty wyjściowe:
0
M1A = 0,5 [-]
Sumaryczne momenty przywęzłowe:
M1A = 0,5 + EI�
M1B = EI�
M1C = EI�
MC1 = 0,5EI�
Równanie równowagi:
ŁM1 = M1A + M1B + M1C = 0
1
0,5 + 3EI� = 0 �! � = -
6EI
C16-2005-cw12
97
KMB, WILiŚ, PG MECHANIKA BUDOWLI I (C16) Rok II, semestr IV (letni 2005)
Wykłady: P. Iwicki, M. K. Jasina
Ćwiczenia: M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada
Wartości momentów przywęzłowych
1 1 1
M1A = - = [-]
2 6 3
1
M1B =- [-]
6
1
M1C =- [-]
6
1
MC1 =- [-]
12
Rozwiązanie:
Rys. 12.3.3
4 1 73 1
ś# Ą# ń#
N1B =-�# + =- =-0,5069
ś# ź#
ó#m Ą#
9 16 144
�# # Ł# Ś#
� = Nątt0ds =10-5 �" 24�"(-0,5069) �"6 = -7,3�"10-3 [rad] = -25'05"
+"
L
Zad. 12.4
Obliczyć przemieszczenie � układu ramowego wywołane wymuszeniem kinematycznym -
przemieszczeniem podpory "B = 5[cm]
Rys. 12.4.1
M �" M
� = ds - " Ri �" "i (12.5)
+"
EI
L
C16-2005-cw12
98
KMB, WILiŚ, PG MECHANIKA BUDOWLI I (C16) Rok II, semestr IV (letni 2005)
Wykłady: P. Iwicki, M. K. Jasina
Ćwiczenia: M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada
Stosując II twierdzenie redukcyjne  obciążenie zewnętrzne w układzie podstawowym metody sił,
obciążenie wirtualne w układzie niewyznaczalnym
Wzór zapisujemy w postaci:
� =- " Ri �" "i (M = M" =0) (12.6)
p
Rozwiązanie dla obciążenia wirtualnego w układzie niewyznaczalnym (należy obliczyć jedynie
reakcję HB ).
Rys. 12.4.2
1 1 2 1 1 6
�10 = �" �"3�"3�" �"1+ �" �"3�" 4�"1 =
EI 2 3 2EI 2 EI
1 1 2 1 4
�11 = �" 2�" �"3�"1�" �"1+ �"1�" 4�"1 =
EI 2 3 2EI EI
X1 =-1,5 [m]
Reakcja HB (z superpozycji)
1
HB = 0 + �"(-1,5) = -0,5 [-]
3
Przemieszczenie:
� =-5�"(-0,5) = 2,5 [cm]
Zad. 12.5
Dla kratownicy jak na rys. obliczyć przemieszczenie � . EA = const.
Rys. 12.5.1
C16-2005-cw12
99
KMB, WILiŚ, PG MECHANIKA BUDOWLI I (C16) Rok II, semestr IV (letni 2005)
Wykłady: P. Iwicki, M. K. Jasina
Ćwiczenia: M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada
Wykorzystując II twierdzenie redukcyjne można zapisać
Si p Si
( )
� =" li (12.7)
EAi
Si p
( ) - siły w prętach w układzie podstawowym metody sił, obciążenie zewnętrzne
Si - siły w prętach w układzie niewyznaczalny, obciążenie wirtualne
Obciążenie zewnętrzne w układzie podstawowym metody sił:
Rys. 12.5.2
Niezerowe są jedynie pręty 1, 3, 4 i 5
Obciążenia wirtualne w układzie niewyznaczalnym:
Rys. 12.5.3
Ą#ń#
Si0Si1 1 2 2 1 1 a 2 2 -1
ś#
�10 =" li = -
ó#2�" �" �" a 2 + 2�" �"�# aĄ# =
ś# ź#�" EA 2
EAi EA 2 2 2 2
�# #
Ł#Ś#
Ą#ń#
Si1Si1 1 2 2 1 1 a 6 2 + 7
�11 = " li =
ó#2�" �" �" a 2 + 2 2 �" a 2 + 3�"1�"1�" a + 2�" �" �" aĄ# =
EAi EA 2 2 2 2 EA 2
Ł#Ś#
2 2 -1
X1 =- H"-0,1181
6 2 + 7
Rozwiązanie uzyskujemy z superpozycji:
Si = Si0 + Si1 �" X1
S1 =-0,6236
S2 = 0
S3 = 0,6236
S4 = S5 = -0,5591
C16-2005-cw12
100
KMB, WILiŚ, PG MECHANIKA BUDOWLI I (C16) Rok II, semestr IV (letni 2005)
Wykłady: P. Iwicki, M. K. Jasina
Ćwiczenia: M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada
Szukane przemieszczenie:
Si p Si 1 PPa
( )
� =" li = �" 2�" �"
(-0,5591 �" a =-0,5591
)
EAi EA 2 EA
Zad. 12.6
Obliczyć przemieszczenie � powstałe pod wpływem nierównomiernego ogrzania całego układu
"t = td - tg = 32oC
h = 0, 4 [m] = const
Ą# ń#
ąt = 10-5 Ł#deg-1Ś#
EI = const
Rys. 12.6.1
Z zasady prac wirtualnych wynika wzór:
ąt"t MM
� = ds (12.8)
+"M h ds + +"
EI
LL
Stosując I twierdzenie redukcyjne mamy:
M M
ąt"t ąt"t
p
� = ds = (12.9)
+"M h ds + +" +"M h ds
EI
LL L
gdyż M = 0 (wpływ temperatury w układzie podstawowym metody sił)
p
Obciążenia wirtualne w układzie niewyznaczalnym
Metoda sił (ns =1)
Rys. 12.6.2
C16-2005-cw12
101
KMB, WILiŚ, PG MECHANIKA BUDOWLI I (C16) Rok II, semestr IV (letni 2005)
Wykłady: P. Iwicki, M. K. Jasina
Ćwiczenia: M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada
Rys. 12.6.3
1 1 2
�10 = �" �" 2�" 2�"1 =
EI 2 EI
1 1 2 8
Ą#
�11 = �" �"1�"1�" �"1+ 2�"1�"1ń# =
ó#2 3 Ą#
EI 3EI
Ł#Ś#
�10 3
X1 =- =-
�11 4
1 3 1 3 1 5 1
ś# ś#
- -
ś# ź# ś# ź#
+"Mds = �" 2�"�# + 2 �" 2�"�# + 2 �" 2�" = -
2 4 4 4 4
�# # �# #
L
Szukane przemieszczenie:
ąt"t 10-5 �"32 1
ś#
� = �"�# - = -2�"10-4 [m] = -0,02 [cm]
ś# ź#
+"M h ds =
0, 4 4
�# #
L
C16-2005-cw12
102