3582317924

STATYSTYKA - ZMIENNA LOSOWA

Charakterystyki funkcyjne i liczbowe zmiennej losowej typu skokowego:

Rozkład prawdopodobieństwa: P(X=Xi)=pi Dystrybuanta:    F(X)=P(X<x)=    ~ ^xi)

. t

Ep,=1

i=l

<x

Własności dystrybuanty: 1. F(-<»)=0

2.    F(+oo)=l

3.    0<F(X) <1 (musi być przynajmniej lewostronnie ciągła)

k

Wartość oczekiwana (nadzieja matematyczna): £(X) = ^jT Xj • p_t

k

Wariancja: -D²(X) = ^[x_f — E(X)]² • p,

i=i

Teoretyczne rozkłady zmiennej losowej typu skokowego:

1.    Rozkład zero-jedynkowy:

P(X=l)=p    P(X=0)=q

E(X)=p D²(X)=pq

2.    Rozkład dwumianowy (Bemoulli' ego):

n!

i=l

E(X)=np

D²(X)=npq

3. Rozkład Poisson'a: x^k

P(X =k)=e~^x — kl

P(X=k) =

^fn^	i	n—Je
	P	R

k'.(n-k)!

E(X)=X

D²(X)=X

Charakterystyki funkcyjne i bczbowe zmiennej losowej typu ciągłego:

Funkcja gęstości: f(x) =    ^---- f(X) ż 0 J f(X)dx = 1

->o    _a

X

Dystrybuanta:    F(X)=P(X<x) F(X) = Jf (t)dt f(t) - funkcja gęstości

b

P(a < X < b) = J f (x)dx = F (5) — F(a)

a

b

Wartość oczekiwana:    E(X ) = Jxf (x)dx

a

b

Wariancja: D²(X) = J[x-E(X)]² f(x)dx

a

Teoretyczne rozkłady zmiennej losowei typu ciągłego:

1.    Rozkład normalny LaPłace'a:

^rw-75E'^'^J

E(X)=m D²(X)=a² D(X)= o X; N(m, 0)

2.    Rozkład normalny wystandaryzowany:

X — m

U

E(U)

E(X) —E(m) E(cr)

= 0