3582320631

Wykład 3 Grupy

Q Definicja

Grupą nazywamy zbiór G z działaniem •, gdy są spełnione następujące warunki:

1)    działanie • jest łączne;

2)    istnieje element neutralny e działania • taki, że e«a=a*e dla Va e G;

3)    każdy element a e G jest odwracalny w G, tzn. istnieje element be G taki, że a«b=b*a=e.

Definicja.

Grupa G=(X, •) nazywa się przemienną lub Abelową, jeśli działanie • jest przemienne.

Przykłady.

1.    Z - zbiór liczb całkowitych z działaniem dodawania +

2.    Q - zbiór liczb wymiernych z działaniem dodawania +

3.    R - zbiór liczb rzeczywistych z działaniem dodawania +

4.    R\{0} - zbiór liczb rzeczywistych z działaniem mnożenia.

5.    Zj,, = { [0], [1],..., [m-1]} - zbiór ilorazowy klas kongruencji modulo m z działaniem dodawania:

[a] + [b] = [a+b]

1)    ([a]+[b]> + [c] = [a] + ([b]+[c]>

2)    [a]+[0]=[0]+[a]=[a]

3)    [a]+[-a] = [-a]+[a]=[0]

6.    Zp= {[0], [1],..., [p-1 ]} (p - liczba pierwsza) -

zbiór ilorazowy klas kongruencji modulo p z działaniem mnożenia:

[a][b] = [ab]

1)    ([a][b]>[c]= [a] ([b] [ej)

2)    [a][l]=[l][a]=[a]

3)    [a][x] =[1],

gdzie ax = 1 (mod p), tzn. ax = 1 + py.

Ponieważ NWD(a, p) =1, to ax - py=l ma rozwiązanie.