3582320639

Wykład 10 Równania diofantyczne

Równanie postaci

P(x_b x₂,...,x_n)=0,

gdzie P - wielomian od n zmiennych Xi, x₂,. ..,x_n z całkowitymi wskaźnikami, nazywamy równaniem diofantycznym.

Równanie diofantyczne 2-x zmiennych x i y ma postać:

ax+by = c,

gdzie a, b, c e Z.

Niech d = NWD(a,b).

1)    Jeśli d nie dzieli c, to równanie nie ma rozwiązania w liczbach całkowitych.

2)    Jeśli c = dci, a = dai, b=dbi, to

apc+biy = Ci, oraz NWD(ai,bi)=l.

Twierdzenie

Równanie ax+by = c, gdzie x, y - zmienne, a,b,c e Z, ma rozwiązanie w liczbach całkowitych wtedy i tylko wtedy gdy d Ic, gdzie d = NWD(a,b).

Twierdzenie

Zbiór wszystkich rozwiązań równania ax+by = c, gdzie a,b,c e Z, NWD(a,b)=l, ma postać

x=x₀+bt, y = y₀-at,

gdzie t e Z, (x₀, yo)- szczegółowe rozwiązanie równania ax+by = c. Dowód,

1)    a(x₀ +bt) + b(yo - at)= ax₀ + byo =c.

2)    a(x-xo) + b(y-y₀) =0

a(x- x₀) = b(yo- y) => b I (x- x₀) => x- x₀ = bt => x = x₀ + bt

abt = b(y₀-y) =>at = y₀-y =>y = y₀-at.