3582323867

1) Wstęp

Rozwiązywanie równań to kolejne poważne zadanie numeryczne. Należy zaznaczyć, że komputera nie można w żaden sposób zmusić do przekształcania wzorów funkcji, nie wspominając już o stosowaniu bardziej zaawansowanych technik, jak chociażby twierdzenie Bezout. Należy posłużyć się, jak w przypadku całkowania, zależnościami matematycznymi i interpretacją geometryczną w celu sprowadzenia działań do elementarnych operacji.

Uwaga! Wszystkie przedstawione metody numeryczne na wyznaczanie miejsca zerowego funkcji są stabilne tylko wówczas, gdy punkt będący miejscem zerowym przecina oś OX, a nie jest jej punktem styczności.

Bisekcja to stały, rekurencyjny ciąg operacji dzielenia badanego przedziału argumentów na dwie równe części i wyborze za każdym razem tej, w której zmienia się znak funkcji. Trwa do czasu, aż dwa kolejno wyznaczone środki przedziałów będą leżały dostatecznie blisko siebie lub wykonano już odpowiednio dużą liczbę podziałów (te dwie wielkości należy z góry ustalić przed rozpoczęciem bisekcji, gdyż istnieje pewne prawdopodobieństwo, że ta operacja mogła by się nigdy nie zakończyć).

Bisekcja to bardzo prosta metoda, mająca prosty zapis w językach programowania i arkuszu kalkulacyjnym.

2) Rozwiązanie

Metoda bisekcji (połowienia) jest jedną z najprostszych metod numerycznego rozwiązywania algebraicznych równań nieliniowych, czyli znajdowania przybliżonej wartości pierwiastka równania:

f(x)=0

O funkcji f(x) zakłada się, że jest ciągła na przedziale domkniętym <x_A; x₈>, wewnątrz którego znajduje się dokładnie jeden, wyizolowany pierwiastek i, na którego końcach wartości funkcji f(x) mają przeciwne znaki (czyli f(XA)f(x_B)<0 ).

W metodzie bisekcji, aby znaleźć ten pierwiastek, dzielimy przedział <x_A; x_B> na połowy punktem

x_c = (x_A + Xb)/2

jeżeli f(x_c) = 0, to x_c jest szukanym pierwiastkiem, jeśli zaś f(xc) <> 0, to z otrzymanych dwóch przedziałów <x^ x_c> oraz <x_c; x_B>, wybieramy do dalszej analizy ten, na końcach którego funkcja f(x) ma przeciwne znaki. To znaczy, jeśli ffxA)ffxo)<0 to wybieramy przedział <x_A; x_c>, zatem wartość x_c podstawiamy w miejsce x_B , w przeciwnym przypadku wartość