3582326883

Równania różniczkowe rzędu pierwszego.

dy f(x)

Równanie o zmiennych rozdzielonych: — —    ₍ . . Rozwiązaniem jest

<ix g(y)

JsCyMy =f f (x>rfx -+-C

Równanie jednorodne:

dy

dx

"0-

Równanie to można za pomocą podstawienia

u(x) — — sprowadzić do równania różniczkowego o zmiennych rozdzielonych

dy

• Równanie różniczkowe liniowe rzędu pierwszego: — + p(x)y = q(x). Rozwiązujemy

ax

dy

najpierw równanie liniowe jednorodne: — + p(x)y = 0, Jeżeli y(x) ź 0 to rozwiązaniem jest y(x) =Ce~^^p(x'^>‘^ix. Następnie

uzmienniamy stałą C tzn. zakładamy, że rozwiązaniem równania niejednorodnego jest funkcja postaci:    y(x) = C(x)e^—■f^p(x)d*. Podstawiamy tę funkcję do rozwiązywanego

równania i znajdujemy funkcję C(x).

W

• Równanie różniczkowe BernouDiego:    + p(x)y = q(x)y . Za pomocą podstawienia

dx

z(x) = /

sprowadzamy to równanie do równania liniowego.

Zadania

r r    r    2 X“^V

1)    Rozwiązać równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych:    a) — = e

h)xy’+y=y²

2)    Rozwiązać równania jednorodne:

_a)dy ₌ xW _h)dy. x+y

c) y² +    = xyy‘ d) (y² - 3x²)ejy +

dx xy    dx 3x—y

2 xydx = 0

e)(x²+ 2xy-y) + (y² + 2xy-x²)y’ = 0 f)y-xy'= x+yy' g)y* (2x-y)

2y —x

3) Rozwiązać równania liniowe:

d) y‘ - 2xy

a) ^ - y tgx = 2 sinx b) y^J + ^ = x² c) y’ + 2xy =

2x³