3582374682

Zestaw zadań nr 4

W zodonich I- IV przyjmujmy następująco oznaczenia?: Jeżeli A i D są podzbiorami grupy (G, -,e) i jeżeliz a g G. to kładziemy

AD := {afr € G : u € A,b € D}.    A~* := {o"¹ € G : a € A), aD := {a}D.    Ba:=D{a),    £:—{*}.

Zadanie I. Niecił .4. D i C będą podzbiorami grupy (G. .r). Wykazać, że:

A. EA = AE = A:	B. A(DC) = (AD)C:
C. A(BuC)* AD U AC:	D. A(DnC) C ADDAC:
E. (AD) ^1 = D~^lA CI. .4 < G <=> (AA **• .4 oraz .4 ^1 ~ .4).	F. E Q AC\B => A\jD C AB.

Zadanie II. Niech .4. D będą |X)dgrupniui grupy (G’. . <). Wykazać, że:

A .AD-E»A-Dm E\	B. AD a.4«Bc A:
C. Jeżeli G jest grupą abelową. to AB < G: E. Jeżeli .4 n D - £'. to \AB\ = \A\ • |0|.	D. AD < G wtedy i tylko wtedy, gdy AD = DA:

Zadanie III. Niech H, I\ będą podgrupami grupy (G\ ,e) i niech «.!>€ G. Wykazać, że:

A. aH = //«■«€//;	B. — bH<^b ^la € H:
C. aH - bH a ^[b € H:	D. ri// = 6//~a//n&//#0;
E. aH bH 3 abH:	F. aH a ^XH 3 H:
G. «// «// ^ a^2H:	H. Ha m H ** a € H:
I. Ha - Hb*>ba ^1 € //:	J. Ha = Hb**ab' € H:
K. Hu = J//> o //u fi //A * 0;	L. //« • Hb 3 Hab:
M. Ha Ha~^x 3 H:	N. Ha Ha 3 Ha^2:
0.a(HOK) = aHr\aK:	P.a(£nA') = £flaA'«a6 //:
R. aH = (aHa~^x)a:	S. aH = Hb*>aHb~^l = H:
T. (H 0 A')a = Ha n A’a:	U. (// n A')a = H C\Ka a € H:
V. Hu =a(o ‘//a):	W. aH = Hb «=> 6“*a € //:

X. a € HK Ha n A' ? 0:    Y. a € HK o H r\aK ^ 0.

Zadanie IV. Niech H. K będą podgrupami grupy ((?. -.< ). Wykazaż. że następujące warunki sa rdnov..iżn<'

A. HK = 6':    B. Ha fi K £ 0 dla każdego o € G:

C. H fi bK # 0 dla każdego 6 € G:

E. aH H bK ź 0 dla każdych o.,b € G.

D. Ha H Kb ± 0 dla każdych a. 6 € G: