3582469014

MATEMATYKA Ewa Łazuka

Wyznacznik macierzy Macierz odwrotna

Definicja wyznacznika macierzy

—    Wyznacznikiem macierzy kwadratowej A = [ay] nazywamy liczbę rzeczywistą detA, która określona jest wzorem rekurencyjnym:

—    jeżeli macierz A ma stopień n = 1, to detA = on;

—    jeżeli macierz A ma stopień 2, to

detA = (—l)¹⁺¹andetAn + (—l)¹+2ai2detAi2 + ■ • ■ + (—l)¹+nai_ndetAi_n,

gdzie Aij oznacza macierz stopnia n — 1 otrzymaną z macierzy A przez skreślenie i-tego wiersza oraz j-tej kolumny.

—    Wyznacznik macierzy A oznaczamy także symbolem det [oy] lub |A|.

Reguła obliczania wyznaczników macierzy stopnia drugiego

t»ll <*12 021 022

= ana22 — «2iOi2

Reguła Sarrusa obliczania wyznaczników macierzy stopnia trzeciego

Oli Oj2 Ol3

021    022    023    = Ol i a22033 + O12O23O31 + 013021032

031    O32    033 |    “031022013 — 032023011 “ 033021012

UWAGA! Reguła ta nic przenosi się na wyznaczniki wyższych stopni.

Dopełnienie algebraiczne elementu macierzy

Niech A = [oy] będzie macierzą kwadratową stopnia n ^ 2.

Dopełnieniem algebraicznym elementu oy macierzy A nazywamy liczbę

Dij=^f{-lj^detAy,

gdzie Ay oznacza macierz stopnia n — 1 otrzymaną przez skreślenie i-tego wiersza oraz j-tej kolumny macierzy A.

Rozwinięcie Laplace’a wyznacznika

—    Niech A = [ay] będzie macierzą kwadratową stopnia n ^ 2 oraz niech i,j będą ustalonymi liczbami naturalnymi takimi, że i,j G {1,2,... ,n}.

—    Wtedy wyznacznik macierzy A można obliczyć na podstawie następujących wzorów:

—    detA = OjiDii + Oj2-Dj2 + • ■ ■ + Oi_nZ)f_n;

wzór ten nazywamy rozwinięciem Laplace’a wyznacznika względem i-tego wiersza;

—    detA —    -|- <i'2j~l“ ■ ■ ■ ~ł“ o,yD_nj\

wzór ten nazywamy rozwinięciem Laplace’a wyznacznika względem j-tej kolumny.

Wyznacznik macierzy trójkątnej