3582501292

V. LOGIKA MATEMATYCZNA

Logika ustala wartość logiczną zdań złożonych na podstawie ustawionych uprzednio wartości logicznych zdań składowych.

Zdaniem nazywamy w logice wypowiedź orzekającą, której można przypisać (w ramach danej nauki) jedną z dwóch ocen (wartości logicznych): prawdę albo fałsz.

Prawdę (zdanie prawdziwe) oznaczamy „1”, a fałsz (zdanie fałszywe) „0”.

Zaprzeczeniem (negacją) zdania p nazywamy zdanie - p (czytaj: nie p; nieprawda, te p).

Dwa zdania: p oraz -p nazywamy sprzecznymi (nie mogą one być jednocześnie prawdziwe ani jednocześnie fałszywe).

Tautologie (prawa logiczne, prawa rachunku zdań)

- zdania złożone, które są prawdziwe bez względu na wartość logiczną zdań, z których są zbudowane.

Iprawo de Morgana

zaprzeczenie koniunkcji = alternatywa zaprzeczeń

II prawo de Morgana

zaprzeczenie alternatywy = koniunkcja zaprzeczeń

Prawo zxiprzeczenia implikacji

Prawo podwójnego zaprzeczenia

Prawo wyłączonego środka

Prawo kontra pozycji

Prawoprzechodniościimplikacji ( = sylogizmu )

Prawo rozxIzielności koniunkcji _względem alternatyw_

Prawo odrywania

"(p a q) <*> (~ p) v (~ q)

-(p v q) <S> (~ p) a(~ q)

-( p=>q)<S> p a (- q)

pv(-p)

(p => q) <-> (- q => - p)

\ (p => q) a (q => r) 1 => (p =>r)

[ (p v q) a r 1 => f (p a r) v (q a r) 1

f (p =>q) a p 1 =>q

Zdania: p, q, r, ...	P	0	0	1	1
	q	0	1	0	1
Ko ni u n kej a (iloczyn logiczny) oraz., a chociaż"	p ^A q	0	0	0	1
Alternatywa nierozłączna (suma logiczna) - „ lub"	p ^v q	0	1	1	1
Implikacja ^1 (wynikanie) - Jeżeli ...to ..."	p=>q	i	1	P	1
Równoważność wtedy i tylko wtedy gdy ..."	(p<*> q) = (p=>qAq=>p)	i	0	0	1
Alternatywa wykluczająca -„albo"	p V q p^q . p -Lq	0	1	1	0
Dysj unkcja - „bądź	p/q	1	1	1	p
Bincgacja - „ani ... ani"	p iq	I	0	0	0
Zaprzeczenie - „nieprawda, że ..." „nie..."	— . —i
Zaprzeczenie p - „nieprawda, że p", „nie p"	~P	1	1	0	0
Zaprzeczenie^ - „nieprawda, że q", „ nie q"	-q	1	0	1	0

© Copyright by Ewa Kędzi orczyk

-25-

w w w. mu tern a tyka.s osnowiec.pl

1

Jeżeli ze zdania p wynika zdanie q to mówimy, że p jest warunkiem wystarczającym (dostatecznym) dla q natomiast q jest warunkiem koniecznym dla p. Warunek wystarczający dla p może nie byc warunkiem koniecznymi dla p oraz warunek konieczny dla p może nie być warunkiem wystarczającym dla p.

Założenia w prawdziwym twierdzeniu stanowią warunek wystarczający na to, żeby teza tego twierdzenia była prawdziwa. Założenia te mogą jednak nie stanowić warunku koniecznego, np.: jeżeli trójkąt jest równoboczny (założenie), to promień okręgu wpisanego jest równy 1/3 wysokości trójkąta (tez,a): założenie nie jest w tym przypadku warunkiem koniecznym dla tezy. o czym świadczy przykład trójkąta prostokątnego o przy prostokątnych 4 (podstawa) i 3 (wysokość): który nie jest równoboczny i dla którego promień okręgu wpisanego równy jest 1. czyli 1/3 wysokości.