1109145112

dla wszystkich dopuszczalnych wariacji 6q_a. Wariacje te, aby były dopuszczalne, muszą być małe, niezależne i muszą znikać w chwilach t\ i £2- Stąd wynika

d

dt

dq_a

= 0,

a = 1,... ,3N.

(12)

Są to równania Lagrange ’a - Eulera układu odosobnionego.

Można łatwo pokazać, że funkcja Lagrange’a układu punktów materialnych, opisywanych w kartezjańskim układzie odniesienia, ma następującą budowę (patrz, na przykład, podręcznik Landaua i Lifszica)

(13)

«(*)),

gdzie m, jest masą cząsteczki i, v, = v, (t) = r,; (t) określa wektor prędkości cząsteczki i, a r,; = rj (t) jest wektorem położenia cząsteczki i. Pierwszy człon określa energię kinetyczną Eh, a drugi - energię potencjalną U = E_p układu. Jak widać, w takim układzie odniesienia zależność funkcji Lagrange’a od położenia cząsteczek r* i od prędkości ulega rozdzieleniu na dwa addytywne człony Ek i U. Równania (12) można wtedy napisać w następującej postaci

mj-Vi = —^-, i = l,...,N.    (14)

Jest to, oczywiście, drugie prawo Newtona dla odosobnionego układu N cząstek. Wektor

P,

dU

dti

(15)

określa całkowitą siłę, z jaką N — 1 cząsteczek układu oddziaływuje na cząsteczkę i. W przypadku oddziaływań ze światem zewnętrznym do tej siły należy dodać siłę zewnętrzną

p r‘ Cr,, f).

O funkcji Lagrange’a robi się założenie, że jest ona niezmiennicza względem translacji czasu t —► t + St, oraz translacji i obrotu przestrzeni, tzn. r —► r+Jr, dla translacji i r —> r+óip x r dla obrotu. Wariacje ót,ór,óip są stałe, infinitezymalne i dowolne. Ten warunek, wynikający z założenia o jednorodności czasu, oraz o jednorodności i izotropii przestrzeni ruchu, prowadzi do zasad zachowania, odpowiednio, energii, pędu i krętu. Dla układów odosobnionych mają one postać

Tym samym dla funkcji Lagrange’a (13) mamy

N    -i    N    N

(17)

I + U (r_;) I = E = const., ^ P; = 0,    ^ r_; x P_; = 0.

W powyższych związkach E oznacza całkowitą energię układu odosobnionego (izolowanego). Dwa pozostałe warunki są, oczywiście, warunkami równowagi sił i momentu sił układu

7