1109145622

Metody numeryczne - 2. Metody dokładne rozwiązywania układów równań liniowych

Jeżeli macierz A dodatkowo (oprócz założenia o minorach kątowych głównych) jest macierzą symetryczną, czyli A = A^T to można ją przedstawić w postaci iloczynu dwóch macierzy trójkątnych, z których jedna jest transponowana względem drugiej, a więc:

A = G^TG    (2.12)

Np. dla macierzy stopnia trzeciego:

^all	^a12	^a13		011	0	0		[011	012	013
^a12	^a22	^a23	=	012	022	0		0	022	023
013	0-22	a33		013	023	033		0	0	033.

Elementy macierzy G wyliczamy z równości:

gil = “u.

011012 = ^a12’

011013 ^{= a}13>

gh + 922 = “22.    (2.13)

012013 + 022023 ^{= a}23’

9h +823 + 933 =«33-

W tym wypadku również nie ma potrzeby zapamiętywania powyższych wzorów. Aby wyznaczyć macierz G, wystarczy, tak naprawdę, w odpowiedniej kolejności sprawdzać czy iloczyn powstających macierzy G^Ti G daje w rezultacie macierz A.

Przykład 2.7.

Macierz A przedstawić w postaci iloczynu G^TG.

	1	2	-2		0u	0	0		[011	012	013
A =	2	5	0	=	012	022	0		0	022	023
	-2	0	24		-013	023	033		0	0	033.

Wówczas:

fiu = 1 => Su = 1.

Sufii2 = 2 => Si2 = \ = 2, fillfil3 - ^— 2 => fii3 J —2,

Sl2 + fi22 = ⁵ => fi22 = ⁵ - 4 = 1 =» fi22 = 1.

0—2-(—2)    .

012013 + 022023 — ⁰ => 023 ~    ^

S13+S23 +fi3²3 = 24 => fi|₃ = 24-4-16 = 4 =» g₃₃ = 2.

© Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie 32