2766503934

3. DEDUKCJA W MATEMATYCE

Pojęcia pierwotne - nie określamy ich, są to np.: punkt, liczba naturalna.

Definicja (określenie) - zdanie ustalające nazwę nowo wprowadzonego pojęcia (wyjaśnia jego znaczenie za pomocą pojęć pierwotnych oraz zdefiniowanych wcześniej).

Aksjomat (pewnik) - twierdzenie przyjmowane bez dowodu.

Założenie (Z) - poprzednik implikacji. Teza (T) - następnik implikacji.

Twierdzenie - musi być udowodnione, gdyż nie zostało zaliczone do aksjomatów.

Dowód (D) - opiera się na prawach logiki stanowiących ostateczne kryterium jego poprawności.

Dowód wprost (Z ■=> T) - uważając wszystkie założenia za prawdziwe (spełnione) rozumujemy do momentu, aż dojdziemy do wniosku, że teza jest prawdziwa.

Dowód nie wprost (*-T •=!>*-Z) - uważając wszystkie założenia za prawdziwe (spełnione) dołączamy do nich hipotezę (-T), będącą zaprzeczeniem tezy i rozumujemy aż dojdziemy do wniosku, że taka koniunkcja założeń i hipotezy jest bądź fałszywa sama w sobie bądź wynika z niej zdanie fałszywe. Wykorzystujemy więc własność: (-T    - Z ) <o» (Z ■=> T ).

Matematyka jest nauką aksjomatyczno-dedukcyjną - przyjmuje pojęcia pierwotne i aksjomaty jako pewniki, a następnie każde pojęcie określa i każde twierdzenie dowodzi zgodnie z prawami logiki. Kwadrat logiczny - graficzne przedstawienie faktu równoważności implikacji: prostej (Z ■=> T) i przeciwstawnej (-T ■=> - Z) oraz odpowiednio odwrotnej ('I* «=> Z ) i przeciwnej (~ Z -T).

Prawdziwość dwóch implikacji przy końcach jednego pionowego boku kwadratu zapewnia prawdziwość wszystkich czterech implikacji. Jest to tzw. zamknięty układ implikacji, ponieważ poprzedniki implikacji (Z oraz - Z i odpowiednio T oraz -T) na końcach tego samego pionowego boku wyczerpują wszystkie możliwości, zas następniki każdej z tych par wykluczają się wzajemnie. Każda z dwóch par twierdzeń Z ■=> T i - Z - T oraz T Z i - T ■=> - Z stanowi więc zamknięty układ twierdzeń. Z prawdziwości wszystkich twierdzeń stanowiących układ zamknięty wynika prawdziwość wszystkich twierdzeń do nich odwrotnych.

(Z ■=>T)<o> (~T -=>-Z) (T •=> £)    (- Z •=> - T )

Z «=> T

Odwrotne

N

- T •=> - Z

T ^Z

s

.2-1

u.

3

4. ZASADA INDUKCJI MATEMATYCZNEJ (ZUPEŁNEJ)

Indukcja matematyczna - metoda dowodzenia twierdzeń dot. liczb naturalnych.

Zasada indukcji matematycznej (rozumowanie wg aksjomatu indukcji)

jeżeli:    (1) twierdzenie Tin) dot. liczb naturalnych jest prawdziwe dla liczby naturalnej no :

(2) dla każdej liczby naturalnej n = k £ no z założenia prawdziwości twierdzenia Tik) wynika, że jest ono prawdziwe dla liczby następnej k + 1.

to twierdzenie T(n) jest prawdziwe dla każdej liczby naturalnej n £ no.

gdzie: (1) - pierwszy krok indukcyjny, (2) - drugi krok indukcyjny

o    T(n)

n > n₀

CD    T(»₀)

(2)    T(fc)    T(fc +1)

założenie    teza

Jeżeli jakieś twierdzenie dot. liczb naturalnych, jest prawdziwe dla liczby no i z założenia, ze jest prawdziwe dla liczby naturalnej k wynika, że jest również prawdziwe dla liczby następnej, tzn. (k+ 1), to twierdzenie to jest prawdziwe dla każdej liczby naturalnej.

© Copyright by Ewa Kędzi orczyk

-27-

w w w. ma tern a tyka.s osnowiec.pl