3307665873

1 Wstęp

Ryzyko jest nieodłącznym aspektem życia każdego człowieka. Pojawia się zarówno w sytuacjach dotyczących podejmowanych przez nas decyzji, jak i tych związanych z codziennym życiem. Istnieje wiele ryzyk, na które jesteśmy narażeni każdego dnia, a jedną z czynności, która je potęguje jest prowadzenie samochodu. W odpowiedzi na naturalną potrzebę spokojnego życia człowieka, gdzie wpływ zjawisk losowych na jego zdrowie i finanse jest minimalizowany, powstały zakłady ubezpieczeń. Koszty szkód związanych z prowadzeniem pojazdów mogą być bardzo wysokie, wiąże się to z wysokimi wartościami poruszających się po drogach pojazdów oraz niebezpieczeństwem utraty zdrowia lub życia w wypadku drogowym. Zasądzane kwoty odszkodowań i rent są mogą zdestabilizować finansowo kierowcę do końca życia. Ponadto, niejednokrotnie nie będzie on w stanie w ogóle pokryć szkód wypadku, który spowodował. Stąd narodził się pomysł obowiązkowych ubezpieczeń od odpowiedzialności cywilnej dla każdego zarejestrowanego pojazdu. Istotą funkcjonowania towarzystwa ubezpieczeń jest zbieranie składek z których następnie pokrywane są szkody spowodowane przez niektórych kierujących. Składka musi być skalkulowana tak, aby zapewnić środki na wypłatę świadczeń wraz z zapewnieniem niezbędnej rezerwy oraz przynieść firmie ubezpieczeniowej zysk. Ustalenie jej wysokości w oparciu o dane historyczne jest zatem jednym z najważniejszych aspektów działalności towarzystwa. W przypadku ubezpieczeń komunikacyjnych wygodnym narzędziem do tego celu jest regresja Poissona. Niestety, zakłada ona, że analizowana zmienna losowa, która jest w tym przypadku liczbą powodowanych wypadków, posiada wartość oczekiwaną równą wariancji. Dane empiryczne zwykle nie wykazują takiej cechy, zwykle wariancja przewyższa średnią, a zjawisko takie nazywa się nadrozproszeniem (ang. overdispersion).

Poniższa praca ma celu analizę przedstawionego problemu. W rozdziale drugim opisany został test bazujący na regresji liniowej wraz w wyprowadzeniem statystyki służącej do badania występowania zjawiska nadrozproszenia. Rozdział trzeci przedstawia model Poissona oraz jego uogólnienia służące do pracy z danymi z wysoką wariancją względem średniej. Wyprowadzone są także statystyki pozwalające ocenić przydatność opisanych modeli. W rozdziale czwartym zawarte jest szczegółowe porównanie dwóch rozkładów będących przykładami mieszanego rozkładu Poissona - uogólnionego rozkładu Poissona oraz rozkładu ujemnego dwumianowego. W rozdziale piątym znajduje się zestawienie jednej z wyprowadzonych statystyk z innymi znanymi z literatury testami na zasadzie symulacji komputerowej wraz z analizą wyników. Szósty rozdział zawiera przykład numeryczny oparty na prawdziwych danych ubezpieczeniowych, gdzie porównane zostają wszystkie przedstawione wcześniej modele regresji.

3