4544139355

Tablica 2

Algorytm RLS

Warunki początkowe:

Po = li 7 > ¹ fo = 0

Dla kolejnych chwil czasu n obliczamy: e(n|n — 1) = d(n) —

P„-lX„

A + xTP_n-iX_n f_n — f n—\ + k_ne(n\n - 1)

Występująca w rekursjach algorytmu RLS macierz P_n o wymiarze dim(P_n) = L x L jest estymatą w chwili n macierzy R ¹, odwrotnej do macierzy autokorelacji sygnału wejściowego x(n) filtru adaptacyjnego. Symbol e(n|n — 1) oznacza tu błąd estymacji a priori, w odróżnieniu do wykorzystanego w kryterium minimalizacji (7) błędu a posteriori e(n). Błąd estymacji a posteriori oblicza się wykorzystując aktualny wektor współczynników filtru f_n, zaś błąd a priori - korzystając z wektora współczynników filtru f_n_ ₁ z chwili poprzedniej. Wektor fc„ nazywany jest wektorem wzmocnienia algorytmu lub wektorem wzmocnienia kalmanowskiego. Druga z przytoczonych nazw wektora k_n wynika z faktu, że algorytm RLS może być rozpatrywany jako szczególny przypadek filtru Kalmana.

Niedopasowanie algorytmu RLS w przypadku stacjonarności sygnałów x(n) i d(n) opisuje następująca formuła [2]:

Mrls = ^ ₊ yL-    (8)

Ze wzoru (8) wynika, że błąd średniokwadratowy rozwiązań generowanych przez algorytm RLS z nieskończoną ” pamięcią” (A — 1) w przypadku, gdy sygnały x(n) i d(n) są stacjonarne, jest zbieżny do minimalnego błędu średniokwadratowego Jmin- To z kolei oznacza, że algorytm RLS pracujący w określonych wyżej warunkach, jest w stanie zapewnić w stanie ustalonym optymalne rozwiązanie problemu liniowej estymacji średniokwadratowej sygnałów.

3.3 Identyfikacja systemu liniowego za pomocą filtru adaptacyjnego

Część badań eksperymentalnych przeprowadzanych przez studentów podczas niniejszego ćwiczenia, a dokładniej analiza porównawcza szybkości zbieżności algorytmów LMS i RLS oraz ocena zdolności śledzenia systemów niestacjonarnych przez te algorytmy, przeprowadzona zostanie z wykorzystaniem filtru adaptacyjnego w systemie adaptacyjnej identyfikacji nieznanego liniowego, w ogólności niestacjonarnego układu. Schemat takiego systemu przedstawiono na rys. 1. Zadaniem filtru adaptacyjnego jest tu takie przetworzenie sygnału x(n), aby błąd estymacji e(n) był minimalny w sensie pewnego kryterium, które jest zależne od zastosowanego algorytmu. Po osiągnięciu zbieżności, filtr adaptacyjny modeluje z pewną dokładnością nieznany system, z którym równolegle przetwarza sygnał wejściowy x(n). Stopień naszej niewiedzy o identyfikowanym systemie może być różny.

4