4544139878

10 Zbiór zadań z rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej

70. Na drodze ruchu pociągów znajdują się w znacznej odległości od siebie 4 semafory, z których każdy (wobec znacznej odległości niezależnie od innych) zezwala na przejazd z prawdopodobieństwem p = 0,8. Niech X oznacza liczbę semaforów zezwalających na przejazd i poprzedzających pierwsze zatrzymanie lub stację docelową. Znaleźć

a) funkcję prawdopodobieństwa zmiennej losowej X,

b) momenty centralne rzędu pierwszego, drugiego i trzeciego zmiennej X,

c) P(X > 2), P(X = 3), P(0 < X < 4).

71. Zmienna losowa X przyjmuje trzy wartości: 0, 1 i 2. Wiadomo, że EX=1 oraz EX² =1,5. Wyznaczyć rozkład zmiennej X.

72. Z grupy 3 mężczyzn i 5-ciu kobiet losowo wybrano 2-osobowy zarząd. Niech wartością zmiennej losowej X będzie liczba kobiet w zarządzie. Znaleźć funkcję rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej X oraz wyznaczyć medianę i dominantę.

73. W pewnym drzewostanie zebrano informacje o liczbie nabiegów korzeniowych:

Xi	⁰	¹	2	³	4
Pi	0,1	0,3	0,3	°,2	0,1

Niech X oznacza liczbę nabiegów korzeniowych w losowo wybranym drzewie.

a) Znaleźć dystrybuantę zmiennej X i naszkicować jej wykres.

b) Obliczyć EX oraz D²X.

c) Obliczyć P(X > 2), P(1 < X < 4).

74. W partii złożonej z 10 produktów znajdują się 3 produkty wadliwe. Wybrano losowo 2 produkty. Znaleźć rozkład liczby produktów wadliwych (wśród wybranych), dystrybuantę i wartość oczekiwaną.

75. Prawdopodobieństwo zajścia pewnego zdarzenia w pojedynczej próbie jest równe p. Próby przeprowadzane są dopóty, dopóki zdarzenie zajdzie. Znaleźć rozkład liczby przeprowadzonych prób oraz EX.

76. Rzucamy monetą aż do pierwszego wypadnięcia orła. Niech X oznacza liczbę rzutów. Znaleźć rozkład X, dystrybuantę oraz EX.

77. Dana jest funkcja prawdopodobieństwa pewnej zmiennej X:

Xi	-5	-2	0	¹	³	⁸
Pi	0,1	0,2	0,1	0,2	^c	0,1

Wyznaczyć

a) stalą c,

b) dystrybuantę i jej wykres,

c) EX, D²X, DX,

d) P(X < 0), P(X < 0), P(X < 4), P(X < 4), P(-2 < X < 4), P(X = 2), P(X = 3), P(-6 < X < 0), P(1 < X < 8).

78. Dana jest dystrybuanta pewnej zmiennej losowej X:

’ 0	dla x < 2,
0,3	dla 2 < x < 4,
0,7	dla 4 < x < 6,
0,9	dla 6 < x < 7,
1	dla x > 7.

Narysować jej wykres, wyznaczyć rozkład, obliczyć EX, D²X, DX, P(X > 1), P{X > 0,5), P(-l < X < 2), P(X > 7).

@ Copyright by W. Młocek, K. Piwowarczyk and A. Rutkowska