7164239717

u

J P(x,y)dx + Q(x,y)dy = J[P(x,y(x)) + Q(x,y(x))y'(x)]dx

r    a

Gdy luk płaski ! jest dany w postaci jawnej (wykresu funkcji) x = x(y) dla y e [c,d]to wektor styczny do łuku w punkcie r(y) = (x(y),y) e ! ma postać r'(y) = [x'(y),l] i całka krzywoliniowa zorientowana z pola wektorowego W =[P,Q] po tym łuku wyraża się wzorem

J P(x,y)dx + Q(x,y)dy = J (P(x(y),y)x'(y) + Q(x(y),y)\dy

V    c

Praca w polu wektorowym W wykonana wzdłuż łuku zorientowanego ! wyraża się wzorem! = J W(r) ■ dl

L'

Cyrkulacja pola wektorowego W po łuku zorientowanego zamkniętym! wyraża się wzorem C = jW(r) dl

L‘

Df. Pole wektorowe W jest potencjalne na obszarze G o gdy istnieje pole skalarnej klasy C¹ na obszarze G takie, że grad(p(r) = W(r) dla r e G. Wtedy pole skalarnej nazywamy potencjałem pola wektorowego W. Pole wektorowe W jest potencjalne na obszarze wypukłym G o gdy rotW(r) = 0 dla r e G.

Gdy pole wektorowe W jest potencjalne na obszarze G, to całka krzywoliniowa zorientowana z tego pola nie zależy od drogi całkowania i wyraża się wzorem JW(r) • dl = (p(B) - #?(A) dla łuku c G

Łab

Tw. Greena. Jeśli pole wektorowe W = [P,Q] jest klasy C¹ w obszarze D c R², którego brzegiem jest łuk gładki (kawałkami) zamknięty dDzorientowany dodatnio względem wnętrza tego obszaru, to wtedy zachodzi wzór Greena J P(x,y)dx+Q(x,y)dy = JJ[Q_x(x,y)-P_v(x,y)]dD

l.Obliczyć całki krzywoliniowe zorientowane po wskazanych lukach o orientacji zgodnej z parametryzacją lub zadaną.

a} |xydx-ydy+x²dz po łuku zorientowanym L_M powstałym z przecięcia walca parabolicznego y = x² i

Łab

płaszczyzny z = y—1 o początku A = (—1,1,0) i końcu B = (0,0,-1). Odp:

b)    \ydx + xdy +dz gdzie! zwój linii śrubowej r(t) = (acost,as\nt,at) dlat e [0,2tt] Odp: 2;zq

l.

c)    | xydx + zdy+y³dz gdzie jest lukiem powstałym z przecięcia walca parabolicznego x = y² i

w

płaszczyzny x + z = 1

o początku w punkcie A = (1,-1,0) i końcu B = (1,1,0). Odp: —

17

10

d)    f—dx+ — dy+—dz gdzie!jest lukiem r(t) = (t,t²,f³) dla te[0,l] Odp:

J x y z

e) | ydx + zdy + xdz    gdzie : odcinek o początku A = (1,-1,2) i końcu B = (0,2,3) Odp: —

Łab    ²

f) j(x-z)dx + (y- x)dy + (z-y)dz gdzie!, jest krzywą powstałą z przecięcia walca x² +y² = 1 i płaszczyzny

L‘

z-x = 1 zorientowaną zgodnie z ruchem wskazówek zegara patrząc z góry Odp: 2x .

g)    J (2x+y)dx + (x² -y)dy gdzie !: y(x) = x² dla x e. [0,1] (wycinek paraboli) Odp: —

h) J(x+y)dx+(x-y)dy gdzie! : r(t) = (2cost,4sint) dla t e[0,—] (wycinek elipsy) Odp: -i

L+    ^