plik


Mechanika budowli ______________________________________________________________________________________________ 1 Stateczno[ pBaskich ukBadw prtowych. ZaBo|enia Rozwa|any jest prt i-k o staBej sztywno[ci EI na dBugo[ci L. Prt [ciskany jest staB siB osiow S. i k Podpory i oraz k prta doznaj przemieszeD wi, , wk, . Linia ugicia prta speBnia znane z przedmiotu "wytrzymaBo[ materiaBw" rwnanie r|niczkowe: d4w d2w 2 L + " =0 x 4 2 d d i EI k w ktrym przez w oznaczono funkcj przemieszczeD    punktw osi prta a przez oraz wielko[ci: k i x S"L2 = = L E"I CaBk ogln tego rwnania jest funkcja () ( ) ( ) w  =C1+C2""+C3"cos" +C4"sin " StaBe caBkowania C1 do C4 wyznacza si z warunkw brzegowych dw dw w(0)=wi w(1)=wk =i"L =k"L d d =0 =1 Po podstawieniu otrzymuje si ( )- ( ) i-k" -sin i- "" 1-cos ( ) ( ) L C1=wi+ " ( )-"sin  2" 1-cos ( )-""sin i+k" 1-cos ( ) L C2= " ( )-"sin  2" 1-cos ( )- ( ) i-k" -sin i- "" 1-cos ( ) ( ) L C3=- " ( )-"sin  2" 1-cos ( )-""sin i+k" 1-cos ( ) L L C4= "i- " ( )-"sin   2" 1-cos wk-wi w powy|szych wzorach przyjto oznaczenie = (kt obrotu ciciwy prta) L PrzywzBowe momenty zginajce i siBy poprzeczne wyra|aj si nastpujcymi wzorami d2w d2w d3w 2 dw E"I E"I E"I Mik=- " Mki=- " Tik=Tki=- " + " d2 d2 d3 d L2 L2 L3 =0 =1 =0 Wykorzystujc warunki brzegowe otrzymuje si wzory transformacyjne do metody przemieszczeD dla prtw o dowolnym sposobie zamocowania wzBw. ______________________________________________________________________________________________ 2005-02-27 Politechnika Czstochowska Katedra Mechaniki Technicznej Dr in|.S.Labocha i k w w w Mechanika budowli ______________________________________________________________________________________________ 2 Wzory transformacyjne do obliczania siB krytycznych metod przemieszczeD. i k 1. Prt utwierdzony w przekrojach oraz : L i EI k E"J Mik= " ( ) ( ) ( )  "i+  "k-  " ( ) L E"J Mik ( ) Mki= "   "i+( ) ( )  "k-  " ( )  L M ki k E"J ( ) ( ) Tik=Tki=- "  " i+k -  " i ( )  L2 Tik Tki i k 2. Prt utwierdzony w przekroju oraz swobodnie podparty w przekroju : L E"J i EI k ( ) Mik= "'  " i- ( ) L Mki=0 Mik  E"J ( ) ( ) Tik=Tki=- " ' "i-'  " i ( ) L2 Tik Tki i k 3. Prt utwierdzony w przekroju oraz teleskopowo podparty w przekroju : L E"J i EI k ( ) ( ) Mik= " '' "i+'' "k ( ) L Mik E"J ( ) ( ) Mki= " '' "i+'' "k ( ) M ki L k i Tik=Tki=0 Tik Tki ______________________________________________________________________________________________ 2005-02-27 Politechnika Czstochowska Katedra Mechaniki Technicznej Dr in|.S.Labocha i k w w i k w w Mechanika budowli ______________________________________________________________________________________________ 3 i k 4. Prt utwierdzony w przekroju oraz swobodny w przekroju : L i EI k E"J ( ) Mik= "''' "i L Mik Mki=0 i Tik=Tki=0 Tik W powy|szych wzorach funkcje parametru  okre[lone s zale|no[ciami : ( )-"cos ( ) ( ) sin  -sin  ( ) ( )  ="   =" ( ( ))-"sin ( ) ( ( ))-"sin ( ) 2" 1-cos  2" 1-cos  ( ) ( ) 1-cos sin  2 3 ( ) ( )   = "   = " ( ( ))-"sin ( ) ( ( ))-"sin ( ) 2" 1-cos  2" 1-cos  ( ) ( ) sin  cos 2 3 ( ) ( ) '  = " '  = " ( )-"cos ( ) ( )-"cos ( ) sin  sin   ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) '' ="cot  '' =- ''' =-"tan  ( ) sin  Podane wzory stosuj si do [ciskania. W przypadku rozcigania argument  staje si liczb urojon. Funkcje o zespolonym argumencie mo|na przedstawi w nastpujcej postaci: () () () sh -"ch -sh () ()   ="   =" ( () ) () ( () ) () 2" ch -1 -"sh 2" ch -1 -"sh () 1-ch () ()2 () () ()3 -sh   =  "   =  " ( () ) () ( () ) () 2" ch -1 -"sh 2" ch -1 -"sh () () () ()2 sh () ()3 ch '  =  " '  =  " () () () () "ch -sh "ch -sh  () () () () () '' ="cth  '' =- ''' ="th () sh S"L2 gdzie =i"= a S jest w tym wypadku warto[ci siBy rozcigajcej. E"I ______________________________________________________________________________________________ 2005-02-27 Politechnika Czstochowska Katedra Mechaniki Technicznej Dr in|.S.Labocha Mechanika budowli ______________________________________________________________________________________________ 4 Warto[ci wszystkich powy|szych funkcji podawane s w licznych podrcznikach. Obecnie bez jakiegokolwiek problemu funkcje te mo|na zadeklarowa w dowolnym programie np. Mathcad, i wyznaczy ich warto[ci dla dowolnego parametru . Celem na[wietlenia pewnych wBasno[ci ich  przebiegu w poni|szych tablicach zestawiono warto[ci dla wybranych argumentw . Nale|y  szczeglnie zwrci uwag na wielko[ci odpowiadajce =0 (brak wpBywu siB osiowych). Tab.1 Element [ciskany  () () () () ' ' ()  () ''' ()  () '' '' () 0,00 4,0000 2,0000 6,0000 12,0000 3,0000 3,0000 1,0000 -1,0000 0,0000 0,25 3,9917 2,0021 5,9937 11,9250 2,9875 2,9250 0,9791 -1,0105 -0,0638 0,50 3,9666 2,0084 5,9750 11,6999 2,9496 2,6996 0,9152 -1,0429 -0,2732 0,75 3,9244 2,0191 5,9435 11,3245 2,8856 2,3231 0,8051 -1,1003 -0,6987 1,00 3,8649 2,0344 5,8993 10,7986 2,7940 1,7940 0,6421 -1,1884 -1,5574 1,25 3,7873 2,0547 5,8420 10,1215 2,6725 1,1100 0,4153 -1,3172 -3,7620 1,50 3,6907 2,0806 5,7713 9,2926 2,5178 0,2678 0,1064 -1,5038 -21,1521 1,75 3,5741 2,1127 5,6868 8,3111 2,3253 -0,7372 -0,3170 -1,7785 9,6607 2,00 3,4361 2,1519 5,5880 7,1761 2,0884 -1,9116 -0,9153 -2,1995 4,3701 2,25 3,2748 2,1996 5,4743 5,8862 1,7974 -3,2651 -1,8165 -2,8918 2,7869 2,50 3,0878 2,2572 5,3450 4,4400 1,4379 -4,8121 -3,3466 -4,1773 1,8676 2,75 2,8723 2,3268 5,1991 2,8357 0,9873 -6,5752 -6,6599 -7,2053 1,1355 3,00 2,6242 2,4115 5,0357 1,0713 0,4082 -8,5918 -21,0458 -21,2585 0,4276 3,25 2,3385 2,5148 4,8533 -0,8558 -0,3660 -10,9285 29,8620 30,0383 -0,3537 3,50 2,0083 2,6424 4,6507 -2,9486 -1,4682 -13,7182 9,3437 9,9777 -1,3110 3,75 1,6243 2,8016 4,4259 -5,2107 -3,2079 -17,2704 5,3837 6,5610 -2,6121 4,00 1,1731 3,0037 4,1769 -7,6463 -6,5179 -22,5179 3,4548 5,2854 -4,6313 4,25 0,6353 3,2656 3,9009 -10,2607 -16,1515 -34,2140 2,1183 4,7487 -8,5268 4,50 -0,0191 3,6140 3,5949 -13,0603 683,7877 663,5377 0,9704 4,6034 -20,8680 4,75 -0,8387 4,0934 3,2548 -16,0529 19,1413 -3,4212 -0,1787 4,7534 126,2332 5,00 -1,9087 4,7845 2,8758 -19,2484 10,0844 -14,9156 -1,4791 5,2142 16,9026 Tab.2 Element rozcigany  () () () () ' ' ()  () ''' ()  () '' '' () 0,00 4,0000 2,0000 6,0000 12,0000 3,0000 3,0000 1,0000 -1,0000 0,0000 0,25 4,0083 1,9979 6,0062 12,0750 3,0125 3,0750 1,0207 -0,9897 0,0612 0,50 4,0332 1,9917 6,0250 12,2999 3,0496 3,2996 1,0820 -0,9595 0,2311 0,75 4,0745 1,9816 6,0560 12,6746 3,1107 3,6732 1,1808 -0,9121 0,4764 1,00 4,1316 1,9677 6,0993 13,1986 3,1945 4,1945 1,3130 -0,8509 0,7616 1,25 4,2042 1,9503 6,1545 13,8716 3,2995 4,8620 1,4736 -0,7803 1,0604 1,50 4,2916 1,9299 6,2215 14,6929 3,4237 5,6737 1,6572 -0,7045 1,3577 1,75 4,3929 1,9068 6,2998 15,6620 3,5653 6,6278 1,8590 -0,6271 1,6474 2,00 4,5076 1,8815 6,3891 16,7781 3,7222 7,7222 2,0746 -0,5514 1,9281 2,25 4,6345 1,8544 6,4889 18,0403 3,8926 8,9551 2,3006 -0,4796 2,2006 2,50 4,7730 1,8259 6,5989 19,4478 4,0745 10,3245 2,5339 -0,4132 2,4665 2,75 4,9221 1,7965 6,7185 20,9996 4,2664 11,8289 2,7726 -0,3530 2,7276 3,00 5,0809 1,7665 6,8474 22,6947 4,4667 13,4667 3,0149 -0,2995 2,9852 3,25 5,2485 1,7363 6,9849 24,5322 4,6741 15,2366 3,2598 -0,2524 3,2402 3,50 5,4242 1,7063 7,1305 26,5111 4,8875 17,1375 3,5064 -0,2116 3,4936 3,75 5,6073 1,6766 7,2839 28,6303 5,1059 19,1684 3,7542 -0,1765 3,7459 4,00 5,7968 1,6476 7,4444 30,8889 5,3286 21,3286 4,0027 -0,1466 3,9973 4,25 5,9923 1,6193 7,6117 33,2858 5,5547 23,6172 4,2517 -0,1213 4,2483 4,50 6,1931 1,5920 7,7852 35,8203 5,7839 26,0339 4,5011 -0,1000 4,4989 4,75 6,3987 1,5658 7,9644 38,4914 6,0155 28,5780 4,7507 -0,0822 4,7493 5,00 6,6085 1,5406 8,1491 41,2981 6,2493 31,2493 5,0005 -0,0674 4,9995 ______________________________________________________________________________________________ 2005-02-27 Politechnika Czstochowska Katedra Mechaniki Technicznej Dr in|.S.Labocha Mechanika budowli ______________________________________________________________________________________________ 5 PrzykBad 1 Obliczy warto[ podstawowej siBy krytycznej dla ramy nieprzesuwnej przedstawionej na rysunku nr 1. P 3P 2 4 5 EI=const 1 3 L L Rys. 1 Schemat statyczny ramy nieprzesuwnej i numeracja wzBw Rama jest ukBadem dwukrotnie geometrycznie niewyznaczalnym. Niewiadomymi s obroty wzBw 2 oraz 4. Warunki rwnowagi (rys.2) sprowadzaj si wic do sum momentw w wzBach 2 i 4 tj.: M2=M24+M21=0 M4=M42+M45+M43=0 Warunki brzegowe 1=0 3=0 =0 M24 M42 M45 2 4 5 M21 M43 1 3 Rys. 2 Warunki rwnowagi w wzBach 2 oraz 4 Zgodnie z zasady metody przemieszczeD momenty przywzBowe nale|y wyrazi za pomoc wzorw transformacyjnych. Poniewa| rama jest nieprzesuwna dla wszystkich prtw kt obrotu ciciwy  jest rwny zeru. Prtami [ciskanymi w rozwa|anej ramie s prty 2-1 oraz 4-3 i dla nich nale|y wyznaczy argumenty zwizane z du|ymi siBami osiowymi: S21"L212 P"4"L2 21= = =2 E"I E"I S43"L432 3"P"4"L2 43= = = 3"2" E"I E"I ______________________________________________________________________________________________ 2005-02-27 Politechnika Czstochowska Katedra Mechaniki Technicznej Dr in|.S.Labocha 2L Mechanika budowli ______________________________________________________________________________________________ 6 Dla uBatwienia sprowadzono obie wielko[ci do jednego proporcjonalnego parametru . 2 4 Ostatecznie momenty wzBowe wyra|aj si wzorami (niewiadome i ): E"I E"I M21= " 21"2= "( ) 2 "2 ( ) 2L 2"L E"I E"I M24= " (0)"2+(0)"4 = " 4"2+2"4 ( ) ( ) L L E"I E"I M42= " (0)"4+(0)"2 = " 4"4+2"2 ( ) ( ) L L E"I E"I M45= "'(0)"4= "3"4 L L E"I E"I M43= " 43"4= "( ) 3"2" "4 ( ) 2"L 2"L Podstawiajc powy|sze zale|no[ci do rwnaD rwnowagi wzBw i porzdkujc otrzymujemy ( )+4  2 E"I+4"2"E"I 2" =0 " 2 L L E"I 4+3+( )" =0 3"2" E"I 2"2" +4" L 2 L Ostatecznie ten ukBad rwnaD mo|na zapisa nastpujco (( ) ) 2" 2 +8 +4"4=0 ( 2"4+4" 14+( )) 3"2" =0 Nale|y zwrci uwag, i| jest to ukBad rwnaD jednorodnych ze wzgldu na niewiadome 2 i 4 (tj . kolumna wyrazw wolnych rwna zeru). W zagadnieniach stateczno[ci ukBadw zBo|onych  z prtw idealnych, krytyczn warto[ obci|enia (parametru ) znajdujemy z warunku istnienia niezerowego rozwizania jednorodnych rwnaD rwnowagi. Rozwizanie takie jest mo|liwe tylko wwczas, gdy wyznacznik gBwny ukBadu si zeruje. W rozpatrywanym zadaniu warunek ten prowadzi do rwnania przestpnego (( ) )( ))-16=0 2 +8" 14+( 3"2" Po uporzdkowaniu przyjmuje ono posta 14"( ) )( ) 2 +( 2 " 3"2" +96+8"( ) 3"2" =0 Rwnanie to jest przestpne, tzn. posiada nieskoDczenie wiele pierwiastkw. Aby wyznaczy warto[ podstawowej (najni|szej) siBy krytycznej nale|y znalez najmniejsz warto[ parametru  speBniajcego otzrymane rwnanie. Rozwizania zamknite takich rwnaD z reguBy nie istniej. ______________________________________________________________________________________________ 2005-02-27 Politechnika Czstochowska Katedra Mechaniki Technicznej Dr in|.S.Labocha Mechanika budowli ______________________________________________________________________________________________ 7  Warto[ parametru mo|na okre[li drog prb korzystajc z tablic funkcji lub numerycznie posiBkujc si dowolnym programem matematycznym. Wykorzystujc algorytm programu Mathcad znajdujemy przy pomocy funkcji root (pierwiastek rwnania w przedziale =05) (  =root14"( ) )( ) 2 +( 2 " 3"2" +96+8"( )) 3"2" ,,0.1,1.8 =1.6865 Sprawdzajc dla (2"1.6865)=2.182 ( ) 3"2"1.6865 =-12.425 Otrzymujemy warto[ rzeczywi[cie blisk zeru 14"2.182+2.182"(-12.425)+96+8"(-12.425)=0.037 Rozwizanie mo|na znalez rwnie| na podstawie wykresu badanej funkcji 1500 1000 500 0 1 2 3 500 1000 Rys.3 Wykres funkcji opisujcej rwnanie przestpne wyboczenia Znalezienie parametru  pozwala wyznaczy obci|enie krytyczne ramy (powodujce jej wyboczenie). Zgodnie z zale|no[ci okre[lon w zadaniu: 2 21 P"L2  "E"I 1.68652"E"I 2.844"E"I = = std P=Pkr= = = 2 E"I L2 L2 L2 Uzyskan warto[ mo|na porwna z uoglnion siB krytyczn Eulera 2 2 i"E"I "E"I PE = =Si= i Li2 i"Li ( )2 gdzie i wspBczynnik dBugo[ci wyboczeniowej prta i Li rozpito[ teoretyczn prta i ______________________________________________________________________________________________ 2005-02-27 Politechnika Czstochowska Katedra Mechaniki Technicznej Dr in|.S.Labocha Mechanika budowli ______________________________________________________________________________________________ 8 Dziki temu mo|na okre[li wspBczynnik dBugo[ci wyboczeniowej dowolnego prta ramy, czyli 2   2  = skd = 2  W analizowanym zadaniu otrzymujemy   21=2"1.6865=3.373 21= = =0.931 3.373 21   43= 3"2"1.6865=5.842 43= = =0.538 5.842 43 4 4 4 3 3 3 Rys.4 WpByw zamocowania prta 4-3 na wspBczynnik dBugo[ci wyboczeniowej Rozpatrujc rysunek 4 mo|na zauwa|y i| dBugo[ wyboczeniowa prta 4-3, zamocowanego spr|y[cie w ramie za po[rednictwem innych prtw musi zawiera si midzy granicznymi wielko[ciami dla idealnych warunkw podparcia. Nale|y rwnie| zauwa|y, |e warunek ten nie bdzie speBniony jednak dla prta 2-1. Wynika to z dodatkowego wpBywu na jego wyboczenie obci|enia osiowego wystpujcego w prcie 4-3. Znaczne obci|enie prta 4-3 obni|a warto[ siBy krytycznej w prcie 2-1 i tym samym otrzymujemy zwikszon warto[ wspBczynnika wyboczeniowego. ______________________________________________________________________________________________ 2005-02-27 Politechnika Czstochowska Katedra Mechaniki Technicznej Dr in|.S.Labocha = 0.5 = 0.538 = 0.7 Mechanika budowli ______________________________________________________________________________________________ 9 PrzykBad 2 Obliczy warto[ci dwch pierwszych siB krytycznych dla ramy przesuwnej przedstawionej na rysunku nr 5 oraz zilustrowa graficznie odpowiadajce im postacie utraty stateczno[ci. 5 P 2P 2 2EI 4 1 3 L Rys. 5 Schemat statyczny ramy i numeracja wzBw Rama jest ukBadem dwukrotnie geometrycznie niewyznaczalnym. Niewiadomymi s obrt wzBa 4 oraz jego przemieszczenie poziome (rwne co do warto[ci przemieszczeniu wzBa 2). Warunki rwnowagi (rys.6) wyra|aj sum momentw w wzle 4 oraz zerowanie si siB rzutowanych na kierunek przesuwu tj.: M4=M42+M45+M43=0 (a) X=T21+T43-T45=0 5 45 M45 " M42 T45 " 2 4 T21 T43 21 43 M43 1 3 Rys. 6 Warunki rwnowagi ramy i schemat przesuwu Warunki brzegowe 1=0 3=0 5=0 21=43=-45= ______________________________________________________________________________________________ 2005-02-27 Politechnika Czstochowska Katedra Mechaniki Technicznej Dr in|.S.Labocha L EI L EI 1.5EI Mechanika budowli ______________________________________________________________________________________________10 W celu rozpisania wzorw transformacyjnych dla siB przywzBowych z uwzgldnieniem du|ych siB osiowych niezbdna jest znajomo[ ich rozkBadu w ramie. Konieczne byBoby wic tradycyjne rozwizanie ukBadu statycznego i wstpne okre[lenie warto[ci siB normalnych w prtach. Mo|na jednak zauwa|y, i| obci|enie ramy wywoBa znikome siBy osiowe w ryglu 2-4 i przyj S24=0. Ponadto obci|enie w wzle 4, z uwagi na jednakow sztywno[ podBu|n prtw 4-5 i 4-3 oraz pomijaln warto[ siBy poprzecznej w prcie 2-4 rozBo|y si po poBowie na sBupy 4-5 i 4-3. Ostatecznie w sBupach 2-1 i 4-3 mo|na bdzie zaBo|y wystpowanie [ciskajcych siB osiowych o warto[ci P a w sBupie 4-5 przyj dziaBanie siB rozcigajcych rwnie| o warto[ci P. Argumenty zale|ne od siB osiowych przyjmuj posta: S21"L212 P"L2 2 21= = =  E"I21 E"1.5"I 3 S43"L432 P"L2 (b) 43= = = E"I43 E"I S45"L452 -P"L2 45= = =i"= E"I45 E"I SiBy wzBowe mo|na wwczas zapisa wzorami: E"2I E"2I 6"E"I M42= " '(0)"4 = " 3"4 = "4 ( ) ( ) L L L E"I () () (- "  "4+  " ) E"I M45= " 45"4- 45" ( ) ( ) ( )  = L L E"I E"I M43= "  43"4- 43" = " ( ) ( )  "4-  " (( ) ( ) ) ( ) L L (c) E"1.5I E"1.5"I 2 T21=- " -' 21" = "' " " ( ( ) ) 3 L2 L2 E"I E"I ( ) ( ) T43=- "  43"4- 43" =- "   "4- " ( ( ) ( ) ) ( ) L2 L2 E"I () () (- "   "4+  " ) E"I T45=- " 45"4- 45" ( ) ( ) ( )  =- L2 L2 Po podstawieniu powy|szych do rwnaD rwnowagi i uporzdkowaniu otrzymujemy ukBad ( () ) (() ) ( ) 4" 6+  +( ) -  =0  +"   (d) 1.5"' 2 (() ) () ( ) ( ) 4"   -  +" " +  +  =0 3 ______________________________________________________________________________________________ 2005-02-27 Politechnika Czstochowska Katedra Mechaniki Technicznej Dr in|.S.Labocha Mechanika budowli ______________________________________________________________________________________________11 Niezerowe rozwizanie tego ukBadu jest mo|liwe tylko wwczas, gdy speBnione bdzie rwnanie ( () ) 2 () (() )2 6+  +( ) ( ) ( ) (e)  " "  +    -  =0 1.5"' + - 3 Wykres funkcji wystpujcej po lewej stronie tej rwno[ci przedstawia rys. 7. 400 200 0 2 4 6 8 200 400 Rys.7 Wykres funkcji opisujcej rwnanie przestpne wyboczenia Dwa pierwsze pierwiastki rwnania (wyznaczone przy pomocy programu MathCad) wynosz: 1=4.358 2=5.777 Znalezione parametry  pozwalaj wyznaczy obci|enia krytyczne ramy (powodujce jej wyboczenie): 2 P"L2  "E"I =43= std Pkr= E"I L2 Odpowiadajce kolejnym pierwiastkom siBy krytyczne wynosz 2 1"E"I 4.3582"E"I 18.992"E"I Pkr.1= = = L2 L2 L2 (f) 2 2"E"I 5.7772"E"I 33.374"E"I Pkr.2= = = L2 L2 L2 ______________________________________________________________________________________________ 2005-02-27 Politechnika Czstochowska Katedra Mechaniki Technicznej Dr in|.S.Labocha Mechanika budowli ______________________________________________________________________________________________12 DBugo[ci wyboczeniowe prtw [ciskanych (sBupy 2-1 i 4-3)   - dla pierwszej siBy krytycznej 21= = =0.883 21 2 "4.358 3 (g)   43= = =0.721 4.358 43   - dla drugiej siBy krytycznej 21= = =0.666 21 2 "5.777 3 (h)   43= = =0.544 5.777 43 Ka|dej warto[ci wBasnej (oraz stowarzyszonej z ni sile krytycznej) odpowiada inna posta zdeformowanej ramy. Poniewa| ukBad rwnaD rwnowagi ramy (d) nie zawiera wyrazw wolnych (jest to jednorodny ukBad rwnaD) nie mo|na go rozwiza jednoznacznie. Mo|na jednak przyj jedn z niewiadomych jako znan i wyznaczy drug wzgldem niej. Otrzymane rozwizanie podaje wwczas tylko proporcje midzy poszczeglnymi niewiadomymi. W tym przypadku zawsze bdziemy mieli nawet o jedno rwnanie za du|o. Mo|na pomin dowolne z nich, byle tylko (w oglnym przypadku gdy niewiadomych bdzie wicej) pozostaBy ukBad nie byB osobliwy. W rozpatrywanym zadaniu wykorzystamy pierwsze z rwnaD (d) i obliczymy: 4   -  () ( ) =-  () 6+  +( )  4 Obliczajc kolejno dla poszczeglnych pierwiastkw otrzymamy 4  1 1 ()- ( ) 7.686-3.773 dla 1=4.358 =- =- =-0.314  6+() 1 + 1 6+6.078+0.37 ( ) 4  2 2 ()- ( ) 8.753-1.371 dla 2=5.777 =- =- =-2.643  6+() 2 + 2 6+7.283-10.49 ( ) 4 ZakBadajc w pierwszym przypadku =1 uzyskamy wektor odpowiadajcy pierwszej postaci  1 4 = -3.185   Natomiast w drugim przyjmujc =1 uzyskamy wektor odpowiadajcy drugiej postaci  4 -2.643 = 1  ______________________________________________________________________________________________ 2005-02-27 Politechnika Czstochowska Katedra Mechaniki Technicznej Dr in|.S.Labocha Mechanika budowli ______________________________________________________________________________________________13 Majc wyznaczone wektory wBasne mo|na naszkicowa postacie wyboczenia odpowiadajce poszczeglnym warto[ciom wBasnym. Elementy wektorw wBasnych okre[laj jednak tylko te przemieszczenia wzBw, ktre uwzgldniono w rwnaniach rwnowagi ramy (odpowiednio do stopnia geometrycznej niewyznaczalno[ci ukBadu). RozkBad deformacji dla caBego ustroju mo|na okre[li w przybli|eniu po uwzgldnieniu warunkw brzegowych oraz warunkw zgodno[ci odksztaBceD. Dwie pierwsze postacie wyboczeniowe analizowanej ramy pokazano na rysunku 8. 18.992"E"I 33.374"E"I Pkr.1= Pkr.2= L2 L2 Rys. 8 Postacie wBasne ramy KsztaBt deformacji osi poszczeglnych prtw mo|na rwnie| wyznaczy w sposb [cisBy, posiBkujc si oglnym rozwizaniem rwnania r|niczkowego problemu. Nale|y przy tym okre[li odpowiednie staBe, z warunkw na koDcach prta. PrzykBadowo dla prta 4-3 ( )- ( ) 4-3" -sin 4-43"" 1-cos ( ) ( ) L C1=w4+ " ( )-"sin  2" 1-cos ( )-43""sin 4+3" 1-cos ( ) L C2= " ( )-"sin  2" 1-cos ( )- ( ) 4-3" -sin 4-43"" 1-cos ( ) ( ) L C3=- " ( )-"sin  2" 1-cos ( )-43""sin 4+3" 1-cos ( ) L L C4= "4- " ( )-"sin   2" 1-cos ______________________________________________________________________________________________ 2005-02-27 Politechnika Czstochowska Katedra Mechaniki Technicznej Dr in|.S.Labocha Mechanika budowli ______________________________________________________________________________________________14 Pamitajc, |e 3=0 43= oraz w4=-"L otrzymamy ( )- ( ) 4" -sin 4- "" 1-cos ( ) L C1=-"L+ " ( )-"sin  2" 1-cos ( )-""sin 4" 1-cos L C2= " ( )-"sin  2" 1-cos ( )- ( ) 4" -sin 4- "" 1-cos ( ) L C3=- " ( )-"sin  2" 1-cos ( )-""sin 4" 1-cos L L C4= "4- " ( )-"sin   2" 1-cos Rozpatrujc teraz przykBadowo drug posta wyboczenia podstawimy do powy|szych wielko[ci =5.777 4=-2.643 =1 L -2.643"(5.777-sin 5.777)-(-2.643-1)"5.777"(1-cos 5.777) C1=-1"L+ " =-1.789L 5.777 2"(1-cos 5.777)-5.777"sin 5.777 L -2.643"(1-cos 5.777)-1"5.777"sin 5.777 C2= " =0.1401"L 5.777 2"(1-cos 5.777)-5.777"sin 5.777 L -2.643"(5.777-sin 5.777)-(-2.643-1)"5.777"(1-cos 5.777) C3=- " =0.789L 5.777 2"(1-cos 5.777)-5.777"sin 5.777 L L -2.643"(1-cos 5.777)-1"5.777"sin 5.777 C4= "(-2.643)- " =0.5976L 5.777 5.777 2"(1-cos 5.777)-5.777"sin 5.777 Majc te staBe mo|na ju| zapisa posta funkcji przemieszczeD () (-1.789+0.1401"5.777"+0.789"cos 5.777" ( )-0.5976"sin 5.777" "L ( )) w  = Wykres tej funkcji przedstawia rysunek 9 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 () w 1 2 3  Rys.9 Wykres deformacji prta 4-3 ______________________________________________________________________________________________ 2005-02-27 Politechnika Czstochowska Katedra Mechaniki Technicznej Dr in|.S.Labocha

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Optymalizacja niezawodnościowa płaskich układów kratowych za pomocą zbiorów rozmytych
4 ANALIZA GEOMETRYCZNEJ NIEZMIENNOŚCI PŁASKICH UKŁADÓW TARCZ SZTYWNYCH
Przystosowanie płaskich układów prętowych zginanych
18 mechanika budowli wykład 18 statecznosc ukladow pretowych
Analizowanie działania układów mikroprocesorowych
2 Charakterystyki geometryczne figur płaskich (2)
Naprężenia w belkach i ramach płaskich
Kinematyka i Dynamika Układów Mechatronicznych
budowa i działanie układów rozrządu silników spalinowych
Analizowanie prostych układów elektrycznych
Katalog układów logicznych CMOS serii 4000
cwiczenie 5 Funkcja naprężeń Airy ego dla plaskiego stanu naprężenia
Część III, Wyposażenie i stateczność 1996 errata
Ćwiczenie 1 Płaski stan naprężeń(1)

więcej podobnych podstron