Metoda potencjałów węzłowych  Idealne z
ródła napięcia
Jeżeli w obwodzie elektrycznym wystepują idelane z
ródła
napięcia, sterowane z
ródła napięcia lub gałęzie o zerowej
impedancji, to należy przyjąć, że w tych gałęziach płyną jakieś na
razie nieznane prądy gałeziowe. Następnie należy ułożyć równania
zgodnie z metodą potencjałów węzłowych dla każdego
niezależnego węzła. Dodatkowo dla każdej gałęzi zawierającej
idealne z
ródło napięcia, sterowane z
ródło napięcia lub zerową
impedancję należy napisać równanie określające różnicę
potencjałów między węzłami będącymi końcami tych gałęzi. W
ten sposób otrzymujemy układu równań rzędu (w-1) + gz,, gdzie gz
jest liczbą gałęzi zawierających idealne z
ródła napięcia, sterowane
z
ródła napięcia oraz gałęzie o zerowej impedancji.
W celu zastosowania metody potencjałów węzłowych w
obwodzie, w którym w gałęzi o numerze g przyłączonej do węzłów
k oraz l jest idealne z
ródło napięcia, sterowane z
ródło napięcia lub
impedancja gałezi jest równa zeru należy:
- przyjąc, że w gałezi g płynie prąd o natężeniu Ig,
- ukłożyć rówania wynikające z metody prądów oczkowych dla
węzłów k oraz l,
- ułożyć równanie opisujace relację między potencjałami
węzłów k oraz l.
Procedurę postępowania można skrócić traktując gałąz
g z
idelnym z
ródłem napięcia Eg wraz z węzłami k oraz l jako
specjalny węzeł. Dla tego specjalnego węzła układamy dwa
równania. Pierwsze równanie wynika z faktu, że różnica
potencjałów miedzy węzłami jest znana i równa sile
elektromotorycznej Eg. Drugie równanie tworzymy analogicznie
jak w metodzie potencjałów węzłowych uwzględniając w jednym
równaniu potencjały i admitancjie gałęzi przyłączonych do węzłów
k oraz l, a także połączenia węzłów k oraz l z innymi węzłami
obwodu. Równanie drugie wynika z sumowania stronami równań
ułożonych zgodnie z metodą potencjałów węzłowych dla węzłów k
oraz l, przy założeniu, że w gałęzi g płynie prąd o wartości Ig.
2009-11-27
� Lesław A
ADNIAK
Przykład. Idealne z
ródło napięcia w metodzie potencjałów 2o Równania dla rozpatrywanego obwodu,
węzłowych jeżeli węzły 2 oraz 3 potraktujemy jak
węzęł specjany:
2'
1 V1 = E6
R1 23 V2  V3 = E5
I5 R2
23 (G1 + G2) V2 - G2 V1 + (G3 + G4)
E1
V3 - G4 V1 = G1 E1
E5
Wykorzystując dwa pierwsze równania
3' 1'
4'
otrzymujemy:
R3 E6 R4
(G1 + G2) (E5 + V3) - G2 E6 + (G3 + G4)
V3 - G4 E6 = G1 E1
(G1 + G2 + G3 + G4) V3 = G1 E1 + (G1 +
1o Przyjmując, że w gałezi z idealnym z
ródem napięcia E5 płynie
G2)E5 + (G2 + G4 )E6
prąd I5 można napisać następujący układ równań:
stąd
1 V1 = E6
2 (G1 + G2) V2  G2 V1 = G1 E1 + I5
3 (G3 + G4) V3  G4 V1 = - I5
G1 E1 + (G1 + G2 )E5 + (G2 + G4 )E6
V2  V3 = E5
V3 =
G1 + G2 + G3 + G4
Po dodaniu stronami równań dla węzłów 2 oraz 3
otrzymujemy: Jak należało się spodziewać w obu
przypadkach wynik jest taki sam.
1 V1 = E6
2 (G1 + G2) V2  (G2 + G4) V1 + (G3 + G4) V3 = G1 E1
Po uwzględnieniu w równaniu 2 równania dla węzła 1 oraz
korzystając z faktu, że różnica potencjałów między węzłami 2
oraz 3 jest znanan otrzymujemy:
(G1 + G2) (E5 + V3) - (G2 + G4) E6 + (G3 + G4) V3 = G1 E1
czyli
(G1 + G2 + G3 + G4) V3 = G1 E1 - (G1 + G2) E5 + (G2 + G4) E6
czyli
G1 E1 + (G1 + G2 )E5 + (G2 + G4 )E6
V3 =
G1 + G2 + G3 + G4
2
Metoda prądów oczkowych  Idealne z
ródła prądu
Jeżeli w obwodzie występują idealne z
ródła prądu, to w celu
rozwiązania układu metodą prądów oczkowych Maxwella należy:
- dobrać oczka tak, aby w oczku była tylko jedna gałąz
z
idealnym z
ródłem prądu,
- prąd oczka z idealnym z
ródłem prądowym należy przyjąć, że
jest równy wydajności prądowej idealnego z
ródła prądu,
- równania wynikające z metody prądów oczkowych należy
ułożyć tylko dla oczek niezawierających idealnych z
ródeł prądu.
Przykład. Idealne z
ródło prądu w metodzie prądów oczkowych
Oczko I tworzą gałęzie 1, 2, 4, 3.
Oczko II tworzą gałęzie 1, 5, 3.
Oczko III tworzą gałęzie 6, 4, 3.
Równania dla poszczególnych oczek:
I (R1 + R2 + R3) Io1  (R1 + R3) Io2 + R3 Io3 = E1  E4
II Io2 = I5
III Io3 = I6
Po uporządkowaniu otrzymujemy:
(R1 + R2 + R3) Io1  (R1 + R3) I5 + R3 I6 = E1  E4
czyli
(R1 + R2 + R3) Io1 = E1  E4 + (R1 + R3) I5 - R3 I6
stąd
E1  E4 + (R1 + R3) I5 - R3 I6
Io1 =
R1 + R2 + R3
3
� Lesław A
ADNIAK