ÿþP h y s i c s 1 3 6 C a l t e c h
K i p T h o r n e N o v 3 , 2 0 0 2
I m p o r t a n t C o n c e p t s
C h a p t e r s 1 t h r o u g h 5
I F r a m e w o r k s f o r p h y s i c a l l a w s a n d t h e i r r e l a t i o n s h i p s t o e a c h o t h e r
A G e n e r a l R e l a t i v i t y , S p e c i a l R e l a t i v i t y a n d N e w t o n i a n P h y s i c s : S e c . 1 . 1
B P h a s e s p a c e f o r a c o l l e c t i o n o f p a r t i c l e s : C h a p 2
C P h a s e s p a c e f o r a n e n s e m b l e o f s y s t e m s : C h a p 3
D R e l a t i o n s h i p o f C l a s s i c a l T h e o r y t o Q u a n t u m T h e o r y
1 M e a n o c c u p a t i o n n u m b e r a s c l a s s i c a l d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n : S e c . 2 . 3
2 M e a n o c c u p a t i o n n u m b e r d e t e r m i n e s w h e t h e r p a r t i c l e s b e h a v e l i k e
a c l a s s i c a l w a v e , l i k e c l a s s i c a l p a r t i c l e s , o r q u a n t u m m e c h a n i c a l l y :
S e c s . 2 . 3 & 2 . 4 ; E x . 2 . 1 ; F i g . 2 . 5
I I P h y s i c s a s G e o m e t r y
A N e w t o n i a n : c o o r d i n a t e i n v a r i a n c e o f p h y s i c a l l a w s
1 I d e a I n t r o d u c e d : S e c . 1 . 2
2 N e w t o n i a n p a r t i c l e k i n e t i c s a s a n e x a m p l e : S e c . 1 . 4
B S p e c i a l r e l a t i v i s t i c : f r a m e - i n v a r i a n c e o f p h y s i c a l l a w s
1 I d e a i n t r o d u c e d : S e c . 1 . 2
2 R e l a t i v i s t i c p a r t i c l e k i n e t i c s : S e c . 1 . 4
3 4 - m o m e n t u m c o n s e r v a t i o n : S e c s . 1 . 4 & 1 . 1 2
a S t r e s s - e n e r g y t e n s o r : S e c . 1 . 1 2
4 E l e c t r o m a g n e t i c t h e o r y : S e c . 1 . 1 0
a L o r e n t z f o r c e l a w : S e c . 1 . 4
5 K i n e t i c t h e o r y : C h a p . 2
a D e r i v a t i o n o f e q u a t i o n s f o r m a c r o s c o p i c q u a n t i t i e s a s i n t e g r a l s
o v e r m o m e n t u m s p a c e [ S e c . 2 . 5 ]
b D i s t r i b u t i o n f u n c t i o n i s f r a m e - i n v a r i a n t a n d c o n s t a n t a l o n g f i d u c i a l
t r a j e c t o r i e s [ S e c s . 2 . 2 & 2 . 7 ]
C S t a t i s t i c a l m e c h a n i c s : i n v a r i a n c e o f t h e l a w s u n d e r c a n o n i c a l
t r a n s f o r m a t i o n s ( c h a n g e o f g e n e r a l i z e d c o o r d i n a t e s a n d m o m e n t a i n
p h a s e s p a c e ) : S e c . 3 . 2 , E x . 3 . 1
I I I 3 + 1 S p l i t s o f s p a c e t i m e i n t o s p a c e p l u s t i m e , a n d r e s u l t i n g r e l a t i o n s h i p
b e t w e e n f r a m e - i n v a r i a n t a n d f r a m e - d e p e n d e n t l a w s o f p h y s i c s
A P a r t i c l e k i n e t i c s : S e c . 1 . 6
B E l e c t r o m a g n e t i c t h e o r y : S e c . 1 . 1 0
C C o n t i n u u m m e c h a n i c s ; s t r e s s - e n e r g y t e n s o r : S e c . 1 . 1 2
D K i n e t i c t h e o r y : S e c s . 2 . 2 , 2 . 5 & 2 . 7
1 C o s m i c m i c r o w a v e r a d i a t i o n v i e w e d i n m o v i n g f r a m e : E x . 2 . 3
I V S p a c e t i m e d i a g r a m s
A I n t r o d u c e d : S e c . 1 . 7
B S i m u l t a n e i t y b r e a k d o w n , L o r e n t z c o n t r a c t i o n , t i m e d i l a t i o n : E x e r c i s e
1 . 1 1
C T h e n a t u r e o f t i m e ; t w i n s p a r a d o x , t i m e t r a v e l : S e c . 1 . 8
D G l o b a l c o n s e r v a t i o n o f 4 - m o m e n t u m : S e c s . 1 . 6 & 1 . 1 2
E K i n e t i c t h e o r y - - M o m e n t u m s p a c e : S e c . 2 . 2
V S t a t i s t i c a l p h y s i c s c o n c e p t s
A S y s t e m s a n d e n s e m b l e s : S e c . 3 . 2
B D i s t r i b u t i o n f u n c t i o n
1 F o r p a r t i c l e s : S e c . 2 . 2
2 F o r p h o t o n s , a n d i t s r e l a t i o n s h i p t o s p e c i f i c i n t e n s i t y : S e c . 2 . 2
3 F o r s y s t e m s i n s t a t i s t i c a l m e c h a n i c s : S e c . 3 . 2
4 E v o l u t i o n v i a V l a s o v o r B o l t z m a n n t r a n s p o r t e q u a t i o n : S e c . 2 . 7
a K i n e t i c T h e o r y : S e c 2 . 7
b S t a t i s t i c a l m e c h a n i c s : S e c . 3 . 3
5 F o r r a n d o m p r o c e s s e s : h i e r a r c h y o f p r o b a b i l i t y d i s t r i b u t i o n s : S e c . 5 . 2
C T h e r m a l e q u i l i b r i u m
1 K i n e t i c - t h e o r y d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n s : S e c . 2 . 4
2 I n s t a t i s t i c a l m e c h a n i c s ; g e n e r a l f o r m o f d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n i n t e r m s
o f q u a n t i t i e s e x c h a n g e d w i t h e n v i r o n m e n t : S e c . 3 . 4
3 E v o l u t i o n i n t o s t a t i s t i c a l e q u i l b r i u m - - p h a s e m i x i n g a n d c o a r s e
g r a i n i n g : S e c s . 3 . 6 a n d 3 . 8
D R e p r e s e n t a t i o n s o f T h e r m o d y n a m i c s
1 S u m m a r y : T a b l e 4 . 1
2 E n e r g y r e p r e s e n t a t i o n : S e c . 4 . 2
3 F r e e - e n e r g y r e p r e s e n t a t i o n : S e c . 4 . 3
4 E n t h a l p y r e p r e s e n t a i t o n : E x . 4 . 3
5 G i b b s r e p r e s e n t a t i o n : S e c . 4 . 4
E S p e c i f i c s t a t i s t i c a l - e q u i l i b r i u m e n s e m b l e s a n d t h e i r u s e s
1 S u m m a r y : T a b l e 4 . 1
2 C a n o n i c a l , G i b b s , g r a n d c a n o n i c a l a n d m i c r o c a n o n i c a l d e f i n e d : S e c .
3 . 4
3 M i c r o c a n o n i c a l : S e c s . 3 . 5 a n d 4 . 2
4 C a n o n i c a l : S e c . 4 . 3
5 G i b b s : S e c . 4 . 4
6 G r a n d c a n o n i c a l : S e c . 3 . 7 a n d E x . 3 . 6 a n d 3 . 8
F F l u c t u a t i o n s i n s t a t i s t i c a l e q u i l i b r i u m
1 S u m m a r y : T a b l e 4 . 2
2 P a r t i c l e n u m b e r i n a b o x : E x . 3 . 7
3 D i s t r i b u t i o n o f p a r t i c l e s a n d e n e r g y i n s i d e a c l o s e d b o x : S e c . 4 . 5
4 T e m p e r a t u r e a n d v o l u m e f l u c t u a t i o n s o f s y s t e m i n t e r a c t i n g w i t h a
h e a t a n d v o l u m e b a t h : S e c . 4 . 5
5 F l u c t u a t i o n - d i s s i p a t i o n t h e o r e m : S e c . 5 . 6 . 1
6 F o k k e r - P l a n c k e q u a t i o n : S e c . 5 . 6 . 2
7 B r o w n i a n m o t i o n : S e c . 5 . 6 . 3
G E n t r o p y
1 D e f i n e d : S e c . 3 . 6
2 S e c o n d l a w ( e n t r o p y i n c r e a s e ) : S e c s . 3 . 6 , 3 . 8
3 E n t r o p y p e r p a r t i c l e : S e c s . 3 . 7 , 3 . 8 , F i g . 3 . 4 , E x s . 3 . 5 , 3 . 9
4 O f s y s t e m s i n c o n t a c t w i t h t h e r m a l i z e d b a t h s :
a S u m m a r y : T a b l e 4 . 1
b H e a t & v o l u m e b a t h ( G i b b s ) : S e c . 4 . 4
a P h a s e t r a n s i t i o n s : S e c s . 4 . 4 & 4 . 6 , E x . 4 . 4 & 4 . 7
b C h e m i c a l r e a c t i o n s : S e c . 4 . 4 , E x . 4 . 5 & 4 . 6
H M a c r o s c o p i c p r o p e r t i e s a s i n t e g r a l s o v e r m o m e n t u m s p a c e :
1 I n k i n e t i c t h e o r y
a N u m b e r - f l u x v e c t o r , s t r e s s - e n e r g y t e n s o r : S e c . 2 . 5
b E q u a t i o n s o f s t a t e : S e c . 2 . 6
c T r a n s p o r t c o e f f i c i e n t s : S e c . 2 . 8
2 I n s t a t i s t i c a l m e c h a n i c s : E x t e n s i v e t h e r m o d y n a m i c v a r i a b l e s
a G r a n d p a r t i t i o n f u n c t i o n : E x . 3 . 6
3 I n t h e o r y o f r a n d o m p r o c e s s e s : E n s e m b l e a v e r a g e s : S e c . 5 . 2
I R a n d o m P r o c e s s e s : C h a p 5
1 P r o p e r t i e s o f r a n d o m p r o c e s s e s
a S t a t i o n a r i t y : S e c . 5 . 2
b M a r k o v : S e c . 5 . 2
c G a u s s i a n : S e c . 5 . 2
d E r g o d i c i t y : S e c . 5 . 3
2 C h a r a c t e r i z a t i o n o f r a n d o m p r o c e s s e s
a P r o b a b i l i t y d i s t r i b u t i o n s : S e c . 5 . 2
b C o r r e l a t i o n f u n c t i o n s : S e c . 5 . 3
c S p e c t r a l d e n s i t i e s : S e c . 5 . 3
a w h i t e , f l i c k e r , r a n d o m - w a l k : S e c . 5 . 4
b s h o t n o i s e : S e c . 5 . 5
3 T h e o r e m s
a C e n t r a l l i m i t t h e o r e m [ m a n y i n f l u e n c e s - > G a u s s i a n ] : S e c . 5 . 2
a a n d s h o t n o i s e : S e c . 5 . 5
b W i e n e r - K h i n t c h i n e [ c o r r e l a t i o n < - > s p e c t r a l d e n s i t y ] : S e c . 5 . 3
c D o o b s t h e o r e m [ G a u s s i a n & M a r k o f f - > f u l l y c h a r a c t e r i z e d b y
m e a n , v a r i a n c e , a n d r e l a x a t i o n t i m e : S e c . 5 . 3
d E f f e c t o f f i l t e r o n s p e c t r a l d e n s i t y : S e c . 5 . 5
e F l u c t u a t i o n - d i s s i p a t i o n t h e o r e m : S e c . 5 . 6 . 1 , E x . 5 . 7 , 5 . 8 , 5 . 1 0
f F o k k e r - P l a n c k e q u a t i o n : S e c . 5 . 6 . 2
a a n d B r o w n i a n m o t i o n : S e c . 5 . 6 . 3 , E x . 5 . 6 , 5 . 9
4 F i l t e r i n g
a B a n d - p a s s f i l t e r : S e c . 5 . 5 , E x . 5 . 2
b W i e n e r ' s o p t i m a l f i l t e r : E x . 5 . 3
V I C o m p u t a t i o n a l t e c h n i q u e s
A T e n s o r a n a l y s i s
1 W i t h o u t a c o o r d i n a t e s y s t e m , a b s t r a c t n o t a t i o n : S e c s . 1 . 3 a n d 1 . 9
2 I n d e x m a n i p u l a t i o n s i n E u c l i d e a n 3 - s p a c e a n d i n s p a c e t i m e
a T o o l s i n t r o d u c e d ; s l o t - n a m i n g i n d e x n o t a t i o n : S e c ' s 1 . 5 , 1 . 7 & 1 . 9
b U s e d t o d e r i v e s t a n d a r d 3 - v e c t o r i d e n t i t i e s : E x e r c i s e 1 . 1 5
B T w o - l e n g t h s c a l e e x p a n s i o n s : B o x 2 . 2
1 S o l u t i o n o f B o l t z m a n n t r a n s p o r t e q u a t i o n i n d i f f u s i o n a p p r o x i m a t i o n :
S e c . 2 . 8
2 S e m i c l o s e d s y s t e m s i n s t a t i s t i c a l m e c h a n i c s : S e c . 3 . 2
3 S t a t i s t i c a l i n d e p e n d e n c e o f s u b s y s t e m s : S e c . 3 . 4
C S t a t i s t i c a l p h y s i c s :
1 C o m p u t a t i o n o f f u n d a m e n t a l p o t e n t i a l s ( o r p a r t i t i o n f u n c t i o n s ) v i a
s u m o v e r s t a t e s : S e c s . 3 . 8 , 4 . 3 ; E x e r c i s e 3 . 6
2 R e n o r m a l i z a t i o n g r o u p : S e c . 4 . 6
3 M o n t e c a r l o : S e c . 4 . 7
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