W y t r z y m a Bo [ M a t e r i a B w B u d o w n i c t w o , R o k I I , S e m e s t r I I I
S k r c a n i e s w o b o d n e
( d e S a i n t V e n a n t a )
W Y K AA D 6
L i t e r a t u r a
R o z d z . 4 , s t r . 5 5 , B I E L E W I C Z E . : W y t r z y m a Bo [ m a t e r i a B w . P G , G d a Ds k 2 0 0 6 .
s t r . 9 , C H R ZC I E L E W S K I J . : M a t e r i a By p o m o c n i c z e d o w y k Ba d u z W y t r z y m a Bo [c i M a t e r i a B w .
W e r s j a e l e k t r o n i c z n a , h t t p : / / w w w . o k n o . p g . g d a . p l .
C h r [c i e l e w s k i J . , S k o w r o n e k M . , W i t k o w s k i W .
W I L i Z P o l i t e c h n i k a G d a Ds k a
K a t e d r a M e c h a n i k i B u d o w l i i M o s t w W 0 6 A / 1
W y t r z y m a Bo [ M a t e r i a B w s k r c a n i e s w o b o d n e
S k r c a n i e s w o b o d n e d e S a i n t V e n a n t a ( d e S a i n t - V e n a n t A . J . C . B . , 1 7 9 7 1 8 8 6 )
S k r c a n i e c z y s t e , t y l k o M s a" M `" 0 i t y l k o `" 0
z
( s t a n p r o s t y )
+ s w o b o d a d e p l a n a c j i
( d e S a i n t - V e n a n t )
C h r [c i e l e w s k i J . , S k o w r o n e k M . , W i t k o w s k i W .
W I L i Z P o l i t e c h n i k a G d a Ds k a
K a t e d r a M e c h a n i k i B u d o w l i i M o s t w W 0 6 A / 4
W y t r z y m a Bo [ M a t e r i a B w s k r c a n i e s w o b o d n e
S k r c a n i e n i e s w o b o d n e , s k r p o w a n e = b r a k s w o b o d y d e p l a n a c j i ,
p r z e z n p . : p o d p a r c i e , z m i e n n e o b c i |e n i e , z m i e n n y p r z e k r j ,
p o w s t a j t a k |e s a m o r w n o w a |c e s i n a p r |e n i e n o r m a l n e `" 0 ( m i m o , |e : N , M , M = 0 ) .
x y
s w o b o d n e s k r p o w a n e i s t o t a b i m o m e n t u
C h r [c i e l e w s k i J . , S k o w r o n e k M . , W i t k o w s k i W .
W I L i Z P o l i t e c h n i k a G d a Ds k a
K a t e d r a M e c h a n i k i B u d o w l i i M o s t w W 0 6 A / 7
W y t r z y m a Bo [ M a t e r i a B w s k r c a n i e s w o b o d n e
P r t o p r z e k r o j u k o Bo w y m s k r c a n i e s w o b o d n e i s k r p o w a n e ( b r a k d e p l a n a c j i )
( p e Bn y , r u r a g r u b o [c i e n n a , r u r a c i e n k o [c i e n n a - r o z w i z a n i a [c i s Be )
C h r [c i e l e w s k i J . , S k o w r o n e k M . , W i t k o w s k i W .
W I L i Z P o l i t e c h n i k a G d a Ds k a
K a t e d r a M e c h a n i k i B u d o w l i i M o s t w W 0 6 A / 8
W y t r z y m a Bo [ M a t e r i a B w s k r c a n i e s w o b o d n e
P r t o p r z e k r o j u k o Bo w y m s k r c a n i e s w o b o d n e i s k r p o w a n e ( b r a k d e p l a n a c j i )
z a Bo |e n i a
" s z t y w n e o b r o t y ( z ) p r z e k r o j w ( b r a k d e p l a n a c j i ! ! ! ) ,
" t w o r z c e m a j p o s t a k r z y w e j [r u b o w e j , p r z y b l i |a n
d l a m a By c h k t w p r o s t !
d
,
d = d z ! =
d z
{
s k r c e n i e
d
" c z y s t e [c i n a n i e ( p . H o o k e a ) ! = G ! = G ,
d z
" n a p r |e n i a s t y c z n e t( ) p r o s t o p a d Be s t d
m o m e n t s k r c a j c y i s k r c e n i e o t r z y m u j e s i z d e f i n i c j i :
d d M s
M s = d A = G 2 d A ! = ,
+"+"
A A
d z d z G J 0
1243
4
a" J 0
C h r [c i e l e w s k i J . , S k o w r o n e k M . , W i t k o w s k i W .
W I L i Z P o l i t e c h n i k a G d a Ds k a
K a t e d r a M e c h a n i k i B u d o w l i i M o s t w W 0 6 A / 1 3
W y t r z y m a Bo [ M a t e r i a B w s k r c a n i e s w o b o d n e
n a p r |e n i a
M s
( ) = !
J 0
M s M s
m a x = m a x ! m a x = ,
J 0 W s
J 0 J 0
= - w s k a zn i k w y t r z y m a Bo [c i n a s k r c a n i e .
W s =
m a x R
d M s
s k r c e n i e = ,
d z G J 0
b b
M s ( z ) M s M s l a - b
o b r t o d c i n k a | a - b = d = d z d l a = c o n s t | a - b = ,
+"+"
a a
G J 0 ( z ) G J 0 G J 0
G J 0 - s z t y w n o [ n a s k r c a n i e ( J 0 = 2 d A ) ,
+"
A
r 4 ( R 4 - r 4 )
" o e
J o = ; J o = , J o = 2 r 3
2 2
C h r [c i e l e w s k i J . , S k o w r o n e k M . , W i t k o w s k i W .
W I L i Z P o l i t e c h n i k a G d a Ds k a
K a t e d r a M e c h a n i k i B u d o w l i i M o s t w W 0 6 A / 1 7
W y t r z y m a Bo [ M a t e r i a B w s k r c a n i e s w o b o d n e
P r t y p r y z m a t y c z n e o p r z e k r o j u n i e k o Bo w y m
" b r a k r o z w i z a D e l e m e n t a r n y c h c h a r a k t e r y s t y c z n y c h d l a W M
( t a k i c h j a k d l a p r t w k o Bo w y c h ) ,
" s t a n p r o s t y , t y l k o M s a" M `" 0 i t y l k o `" 0 + s w o b o d a d e p l a n a c j i ,
z
" r o z w i z a n i a d l a r |n y c h k s z t a Bt w p r z e k r o j u p o p r z e c z n e g o
o t r z y m u j e s i w r a m a c h T e o r i i S p r |y s t o [c i ( T S ) ,
" u w z g l d n i e n i e r o z w i z a D T S w r a m a c h W y t r z y m a Bo [c i M a t e r i a B w o d b y w a
s i p r z e z o d p o w i e d n i e w s p Bc z y n n i k w w e w z o r a c h e l e m e n t a r n y c h .
C h r [c i e l e w s k i J . , S k o w r o n e k M . , W i t k o w s k i W .
W I L i Z P o l i t e c h n i k a G d a Ds k a
K a t e d r a M e c h a n i k i B u d o w l i i M o s t w W 0 6 A / 1 9
W y t r z y m a Bo [ M a t e r i a B w s k r c a n i e s w o b o d n e
P r t o p r z e k r o j u p r o s t o k t n y m
h
F a k t y w y n i k a j c e z e r o z w i z a D t e o r i i s p r |y s t o [c i d l a p r t a p r z y z a Bo |e n i a c h :
" d Bu g o [ l ,
" p r z e k r j p r o s t o k t n y b h , s t a By n a d Bu g o [c i ,
" s t a By m o m e n t s k r c a j c y M s = c o n s t , t o :
w w y n i k u s w o b o d n e g o s k r c e n i a w y s t p u j e d e p l a n a c j a p r z e k r o j u ,
w e k t o r y n a p r |e D s t y c z n y c h t n a b r z e g u p r z e k r o j u
s r w n o l e g Be d o k o n t u r u ,
w e k t o r y n a p r |e D s t y c z n y c h t w n a r o |a c h s r w n e z e r o ,
C h r [c i e l e w s k i J . , S k o w r o n e k M . , W i t k o w s k i W .
W I L i Z P o l i t e c h n i k a G d a Ds k a
K a t e d r a M e c h a n i k i B u d o w l i i M o s t w W 0 6 A / 2 3
W y t r z y m a Bo [ M a t e r i a B w s k r c a n i e s w o b o d n e
P r t o p r z e k r o j u p r o s t o k t n y m
n a p r |e n i e m a k s y m a l n e m a x w y s t p u j e w [r o d k u d Bu |s z e g o b o k u ,
w z o r y p r z y b l i |o n e ( a n a l o g i a d o w z o r w d l a p r t w k o Bo w y c h ) :
M s
m a k s y m a l n e n a p r |e n i a s t y c z n e m a x = ,
W s
M l
s
c a Bk o w i t y k t s k r c e n i a p r t a = ,
G J s
g d z i e : W s = h b 2 w s k a zn i k w y t r z y m a Bo [c i
J s = h b 3 m o m e n t b e z w Ba d n o [c i n a s k r c a n i e ,
G J s s z t y w n o [ p r z e k r o j u n a s k r c a n i e .
W s p Bc z y n n i k i i z t a b l i c w z a l e |n o [c i o d p r o p o r c j i h / b
h / b 1 1 . 5 2 3 4 6 8 1 0 ! "
0 . 1 4 0 0 . 1 9 6 0 . 2 2 9 0 . 2 6 3 0 . 2 8 1 0 . 2 9 9 0 . 3 0 7 0 . 3 1 3 !1 / 3
0 . 2 0 8 0 . 2 3 1 0 . 2 4 6 0 . 2 6 7 0 . 2 8 2 0 . 2 9 9 0 . 3 0 7 0 . 3 1 3 !1 / 3
C h r [c i e l e w s k i J . , S k o w r o n e k M . , W i t k o w s k i W .
W I L i Z P o l i t e c h n i k a G d a Ds k a
K a t e d r a M e c h a n i k i B u d o w l i i M o s t w W 0 6 A / 2 5
W y t r z y m a Bo [ M a t e r i a B w s k r c a n i e s w o b o d n e
P r t c i e n k o [c i e n n y o p r z e k r o j u o t w a r t y m ( w i e o g a Bz i o w y )
f a k t w y s t p u j e s i l n a d e p l a n a c j a p r z e k r o j u
Z a Bo |e n i a :
" z b u d o w a n y z n w s k i c h p r o s t o k t w i h i ( h i / i e"1 0 ) , i = 1 , 2 , . . . , n ,
" p r z e k r o j e w p Ba s z c z y zn i e d o z n a j j e d y n i e s z t y w n e g o o b r o t u ( j a k o c a Bo [ i a" = c o n s t ) ,
C h r [c i e l e w s k i J . , S k o w r o n e k M . , W i t k o w s k i W .
W I L i Z P o l i t e c h n i k a G d a Ds k a
K a t e d r a M e c h a n i k i B u d o w l i i M o s t w W 0 6 A / 2 7
W y t r z y m a Bo [ M a t e r i a B w s k r c a n i e s w o b o d n e
P r t c i e n k o [c i e n n y o p r z e k r o j u o t w a r t y m ( w i e o g a Bz i o w y )
h 1
" p r z y j m u j e s i w z r d l a p r o s t o k t a ( b a" ) , z a t e m H" " ! = = ,
3
n
- m o m e n t e m b e z w Ba d n o [c i n a s k r c a n i e J s = h i i 3
"
i = 1
3
1 n J s
- w s k a zn i k w y t r z y m a Bo [c i n a s k r c a n i e W s = h i i 3 = ,
"
3 m a x i = 1 m a x
- w s p Bc z y n n i k k s z t a Bt u d l a p r o f i l i w a l c o w a n y c h ( w y o b l e n i a )
k t o w n i k c e o w n i k , t e o w n i k d w u t e o w n i k p r o f i l i i d e a l n y c h
= 1 = 1 . 1 2 = 1 . 3 0 = 1
M s M s M s
n a p r |e n i a s t y c z n e : m a x = = m a x , ( m a x ) i = i , m a x w i - t e j [c i a n c e w [r o d k u d Bu |s z e g o b o k u ,
W s J s J s
M l
s
k t s k r c e n i a p r t a : = .
G J s
R w n o w a |n o [ p r o f i l i :
C h r [c i e l e w s k i J . , S k o w r o n e k M . , W i t k o w s k i W .
W I L i Z P o l i t e c h n i k a G d a Ds k a
K a t e d r a M e c h a n i k i B u d o w l i i M o s t w W 0 6 A / 3 1
W y t r z y m a Bo [ M a t e r i a B w s k r c a n i e s w o b o d n e
U z a s a d n i e n i e w z o r w : ( z w a r u n k u s z t y w n e g o o b r o t u )
M s l M s l M s l J s
M l
1 i n s i
s t a By k t o b r o t u w e w s z y s t k i c h p a s k a c h : a"i = = . . . = = . . . = a" ! M s = M s ,
i
G J s G J s G J s G J s J s
1 i n
1
g d z i e J s = h i i 3 ,
i
3
M s M s M s
i i
s t d M s + M s + . . . + M s = M s ! ( m a x ) i = = i = i .
1 2 n
W s J s J s
i i
C h r [c i e l e w s k i J . , S k o w r o n e k M . , W i t k o w s k i W .
W I L i Z P o l i t e c h n i k a G d a Ds k a
K a t e d r a M e c h a n i k i B u d o w l i i M o s t w W 0 6 A / 3 3
W y t r z y m a Bo [ M a t e r i a B w s k r c a n i e s w o b o d n e
J e d n o k o m o r o w e p r t c i e n k o [c i e n n e o p r z e k r o j u z a m k n i t y m
R o z w i z a n i e [c i s Be : s t a By m o m e n t , s t a By p r z e k r j + s w o b o d a d e p l a n a c j i .
Z a Bo |e n i a :
" p r z e k r o j e d o z n a j j e d y n i e s z t y w n e g o o b r o t u ( z )
w p Ba s z c z y zn i e ( z ) a l e n i e p o z o s t a j p Ba s k i e ( d e p l a n a c j a ) ,
" n a p r |e n i a ( z , s ) s s t y c z n e l i n i i [r o d k o w e j [c i a n k i ( s )
i r o z Bo |o n e r w n o m i e r n i e p o g r u b o [c i ( s ) ,
W a r u n e k :
t ( s ) = ( s ) ( s ) = m a x m i n = c o n s t
w y n i k a z r w n o w a g i " Z = 0 d o w o l n e g o
f r a g m e n t u o b w o d u d z ,
" Z = 0 ! 1 1 - 2 2 = 0
C h r [c i e l e w s k i J . , S k o w r o n e k M . , W i t k o w s k i W .
W I L i Z P o l i t e c h n i k a G d a Ds k a
K a t e d r a M e c h a n i k i B u d o w l i i M o s t w W 0 6 A / 3 5
W y t r z y m a Bo [ M a t e r i a B w s k r c a n i e s w o b o d n e
J e d n o k o m o r o w e p r t c i e n k o [c i e n n e o p r z e k r o j u z a m k n i t y m
M s
I . w z r B r e d t a d l a n a p r |e D ( s ) = ,
2 F s ( s )
w y n i k a z d e f i n i c j i
M s = d A =
+" t r d s = t r d s = r d s = 2 F s ,
+"+" +"
A
g d z i e t ( s ) = ( s ) ( s ) = m a x m i n = c o n s t
1
F s =
2
r d s p o l e o g r a n i c z o n e l i n i [r o d k o w ( s ) ,
+"
c a Bk a p o o b w o d z i e z a m k n i t y m ( s ) ,
+"
M s M s
n a p r |e n i a s t y c z n e m a x . m a x = = ,
2 F s m i n W s
w y n i k a j z w a r u n k u = m a x m i n = c o n s t ,
W s = 2 F s m i n w s k a zn i k w y t r z y m a Bo [c i n a s k r c a n i e .
C h r [c i e l e w s k i J . , S k o w r o n e k M . , W i t k o w s k i W .
W I L i Z P o l i t e c h n i k a G d a Ds k a
K a t e d r a M e c h a n i k i B u d o w l i i M o s t w W 0 6 A / 3 8
W y t r z y m a Bo [ M a t e r i a B w s k r c a n i e s w o b o d n e
J e d n o k o m o r o w e p r t c i e n k o [c i e n n e o p r z e k r o j u z a m k n i t y m
d M s
I I . w z r B r e d t a d l a s k r c e n i a = ,
d z G J s
b b
M s
o b r t o d c i n k a | a - b = d =
+"+"d z ,
a a
G J s
( 2 F s ) 2
J s = m o m e n t b e z w Ba d n o [c i n a s k r c a n i e ,
d s
+"
G J s s z t y w n o [ n a s k r c a n i e .
C h r [c i e l e w s k i J . , S k o w r o n e k M . , W i t k o w s k i W .
W I L i Z P o l i t e c h n i k a G d a Ds k a
K a t e d r a M e c h a n i k i B u d o w l i i M o s t w W 0 6 A / 3 9
W y t r z y m a Bo [ M a t e r i a B w s k r c a n i e s w o b o d n e
I I . w z r B r e d t a w y p r o w a d z a s i n a p o d s t a w i e t w i e r d z e n i a C l a p e y r o n a ( b d z i e p o d a n e p zn i e j ) .
p r a c a L z z e w n t r z n e g o e n e r g i a p o t e n c j a l n a E p
a" o d k s z t a Bc e n i a s p r |y s t e g o
m o m e n t u s k r c a j c e g o
M s n a k c i e o b r o t u
d l a p r t a o d Bu g o [c i l
1 1
L z = M s a" E p = d V , g d z i e d V = d z d s
2 2
+"
V
U w z g l d n i a j c :
M s
p . H o o k e a = , I . w z r B r e d t a ( s ) = o r a z d V = l d s ,
G 2 F s ( s )
2 2
M s l d s
M s 2
o t r z y m u j e s i M s = d V = d V = ,
2 +"
+"+"
+" l d s = 4 G F s 2
V V
G 4 G F s 2
d M s d s
s t d o s t a t e c z n i e a" = .
+"
d z l 4 G F s 2
C h r [c i e l e w s k i J . , S k o w r o n e k M . , W i t k o w s k i W .
W I L i Z P o l i t e c h n i k a G d a Ds k a
K a t e d r a M e c h a n i k i B u d o w l i i M o s t w W 0 6 A / 4 3
W y t r z y m a Bo [ M a t e r i a B w s k r c a n i e s w o b o d n e
p r z y k Ba d j a k o p r z e k r j k o Bo w y :
r u r a c i e n k o [c i e n n a
J 0
e
J 0 = 2 d A ! J o = 2 r 3 , ! W s e = 2 r 2 ;
W s =
+"
A
m a x
j a k o p r z e k r j k o m o r o w y z a m k n i t y ( w z r B r e d t a ) :
( 2 F s ) 2 ( 2 r 2 ) 2
J s = ! J s = = 2 r 3 ,
d s 2 r
+"
p o r o z c i c i u r w n o w a |n i e p Ba s k o w n i k ( p a s e k ) o w y m i a r a c h b h = 2 r :
n 2
X
J s = h b 3 ! J s = h i i 3 ! J s = r 3
"
i = 1
3 3
1 n J s 2
W s = h b 2 ! W s = h i i 3 = ! W s X = r 2
"
3 m a x i = 1 m a x 3
P o r w n a n i e :
2
e
z a m k n i t y ( r u r a ) J o 2 r 3 W s e 2 r 2 r
! s z t y w n o [ = = 3 r , n a p r |e n i a m a k s y m a l n e = = 3 .
X
o t w a r t y ( p a s e k ) J s 2 r 3 W s X 2 r 2
3 3
C h r [c i e l e w s k i J . , S k o w r o n e k M . , W i t k o w s k i W .
W I L i Z P o l i t e c h n i k a G d a Ds k a
K a t e d r a M e c h a n i k i B u d o w l i i M o s t w W 0 6 A / 4 7
W y t r z y m a Bo [ M a t e r i a B w B u d o w n i c t w o , R o k I I , S e m e s t r I I I
D z i k u j z a u w a g
c d n .
C h r [c i e l e w s k i J . , S k o w r o n e k M . , W i t k o w s k i W .
W I L i Z P o l i t e c h n i k a G d a Ds k a
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