1799

Jeżeli wyrazy szeregów I a„ i I b_n są nieujemne, a ponadto istnieje taka liczba naturalna no, że n> n₀ i spełniona jest nierówność a„< b* to:

-    ze zbieżności szer b, wynika zbieżność szeregu a„

-    z rozbieżności szeregu a_n wynika rozb szeregu b„

D.QWQ,di

S„=I a„ - chcemy pokazać, że jest zbieżny.

Sn = S^j+IaK < SnO + Ibk < SnO ⁺ Bj

k= no + 1 ciąg sum częściowych S_n =Sno + B jest ograniczony stąd wynika zbieżność Ibv_n z założenia zbieżny i równy B.

Kryterium d’/Mflmberta:

Jeżeli istnieje granica właściwa lub niewłaściwa g=lim a,,.|/ai_b to szereg Ia„ o wyrazach dodatnich jest zbieżny, gdy g<l, natomiast rozb dla g>l.

Kryterium Cauchyego:

Jeżeli istnieje granica właściwa lub niewłaściwa g=lim iWa„, to szereg o wyrazach nieujemnych jest zbieżny gdy g<l, natomiast rozb dla g>l.

Kryterium całkowe:

Niech funkcja f(x) będzie funkcją ciągłą, malejącą i dodatnią dla x> noG N wówczas war koniecznym i dostatecznym zbieżności takiego szeregu jest zbieżność całki nj” f(x)dx Kryterium Leilmto

Jeżeli ciąg {a_n} jest nierosnący oraz lim a„=0, to szereg naprzemienny jest zbieżny.

[Ciąg nierosnący Aa_n. i£a_n ]

Kryterium Weierslrassa:

Jeżeli Ia„ liczb, jest zbież i jeżeli    spełniona jest nierówność I Ł,(x) | <a„ to I funkcyjny jest

zbieżny jednostajnie i bezwzględnie w zbiorze A. Ia„ nazywamy majorantą I funkcyjnego. Dowód:

Ia„ jako zbieżny musi spełniać warunek:

AY Ao_t+o,„+...+o.<e

r>0 k n>k

\f_k(x)-*-f_k,_l(x)+...+f_n(.x)\ ^|f_k(x)| -ł-|f_fc+,Cx)|-h..-f|/‘_nCx)|

< a_k +a_Jt+1+...+a_Ił < e =*

- war. konieczny i dostateczny zb I funkcyjnego.

!>_fj_B_e/\v/jŁMna/bi_e>n

Ia„ nazywamy bezwzględnie zbieżnym jeżeli jest zbieżny I złożony z bezwzględnych wartości. Jeżeli Ia„ jest zbieżny bezwzględnie, to jest zbieżny. (łan )=I (a„). Jeżeli I jest zbieżny to nazywamy go warunkowo zbieżnym.

Def. Iloczyn Caycłn^cgo szeregów:

Szereg Ia„, gdzie a_n = Z ak łwi; n=l,2...- nazywamy iloczynem (Zauchy* ego szeregów Ia„ i Ib, tzn:

(Ia„) (Ib,,) = Ia„

(Ia„) (Ib.) = la,, ak =Iak b„ - k

Twierdzenie: Jeżeli szeregi Ia„ i Ib, są zbieżne i chociaż jeden z nich jest bezwzględnie zbieżny, to ich iloczyn jest zbieżny.

I>, Całkom ank fiicrcguiunkoangga:

Jeżeli If„(x) o wyrazach ciągłych w przedziale <a,b> jest w tym przedziale jednostajnie zbieżny to ₀j^b[Ifn(x)]dx=lQf^bf„(x)dx.

1V« Różnkz kowanie szeregu funkcyjnego: