25849

Tw. 6.1.5 (o zamianie całki potrójnej na całkę iterowaną)

Jeżeli funkcja fjest ciągła na prostopadłościanie P = {(x,y,z): a<x<b, cśyśd.pśz<,q).lo

JJJ ^{y> z})^dxdy^dz=jl J

N

J f(x, y> z)dz

dy

dx

a L P

Uwaga. Powyższe twierdzenie będzie prawdziwe także wtedy, gdy po prawej stronie równości napiszemy dowolną inną całkę iterowaną (jest sześć rodzajów całek iterowanych). Całkę iterowaną

JJ

a lf [_p

J f(x,y, z)dz dy|dx

zapisujemy umownie w postaci

fdxfdyf f(x,y, z)dz.

a e p

Podobną umowę przyjmujemy dla pozostałych całek iterowanych. W wielu przypadkach wybór odpowiedniej kolejności całkowania pozwala znacznie uprościć obliczenia całki potrójnej.

Fakt 6.1.6 (całka z funkcji o rozdzielonych zmiennych)

Jeżeli

1. funkcja f jest ciągła na przedziale [ab].

2 funkcja g jest ciągła na przedziale [c.d],

3. funkcja h jest ciągła na przedziale [p,q], to

jjj f(*)9(y)K^z)dxdydz=^j f(x)dx j- Jg(y)dy j-jjb(z)dz j

gdzie P = [a.b] x [c.c/] x [p.q].

6.2 CAŁKI POTRÓJNE PO OBSZARACH NORMALNYCH

Def. 6.2.1 (całka potrójna po obszarze)

Niech funkcja f będzie funkcją ograniczoną na obszarze ograniczonym V c R' oraz niech P będzie dowobiym prostopadłościanem zawierającym obszar V. Ponadto niech f oznacza rozszerzenie funkcji fna R' określone wzorem:

hMŃ

i kiątytw

Całkę potrójną funkcji f po obszarze V definiujemy wzorem:

JJJ y> ^z)^dxdy^dz =    ’(x, y,z)dxdydz

v    p

o ile całka po prawej stronie znaku równości istnieje. Mówimy wtedy, że funkcja f jest całkowalna na obszarze V.

Uwaga. Całka JJ/r (x, y, z)dxdydz _{|)ie za}j_eZy od wyboru prostopadłościanu P

v

Def. 6.2.2 (obszary normalne względem płaszczyzn układu)

a)    Obszarem normalnym względem osi xOynazywamy zbiór

V    ={(x, y, z): (x, y) e U, D(x, y) £ z <S G(x, y)}.

gdzie U jest obszarem regularnym na płaszczyźnie xOy, a funkcje D i C są ciągłe na U, przy czym D(x.y) < C(x,y) dla punktów (x,y) należących do wnętrza obszaru U.

b)    Obszarem normalnym względem osi xOz nazywamy zbiór

V    = {(x,y, z): (x, z) e U, D(x, z) śyśG(x,z)},