27884

2. Rozdzielanie zmiennych

Równaniem różniczkowym o rozdzielnych zmiennych nazywamy równanie różniczkowe Zwyczajne rzędu pierwszego postaci;

dy

*p(y) — = q (x)

Zachodzi następujące ogólne twierdzenie:

I. Jeżeli p(y) jest funkcja ciągłą w otoczeniu punktu y = yo. przy czym p (yo) # 0, a q(xo) jest funkcją ciągłą w otoczeniu punktu x =Xo, to istnieje na płaszczyźnie 0XY takie otoczenie punktu (xo, yo), że przez każdy punkt (xi, yi), tego otoczenia, w szczególności także przez punkty (xo, yo) przechodzi dokładnie jedna lima całkow a równania różniczkow^ralnego(*) określona równaniem y = f(x) pizy czym funkcja Rx) ma ciągłą pochodną.

Funkcja ta dana jest wtedy jednoznacznie w formie uwikłanej równaniem

x

X

Uwaga

W całkach oznaczonych zmietmie (r|, E) można zastąpić jakimikolwiek literami, wystrzegamy się tylko oznaczeń y i X, jako figurujących w granicach całkowania

II. Jeżeli p(y) jest funkcją ciągłą i różną od zera w przedziale c < y < d, a q(x) jest funkcją ciągłą w przedziale a < x < b, to pizez każdy punkt prostokąta określonego tymi nierównościami przechodzi dokładnie jedna linia całkowa równania różniczkowego (*) postaci

y = f(x).

Równania

d y

p (y) — = q (x)

d x

d x

oraz p (y) = q (x) — dy

są równoważne w otoczeniu punktu (xo, yo) jeżeli:

1. funkcja p(y) jest ciągła w otoczeniu punktu y = yo

3.    funkcja q(x) jest ciągła w otoczeniu punktu x = Xo

4.    p(y<>) 10 oraz q(xo) 10

/*( y) = Q i .v) + C Całka ogólna równania o zmiennych rozdzielonych