28364

Długość wektora wynosi

\a\ = yja²x + oj + a\ = yj(x₂ - x_x)² + (y₂ - y\)² + (z₂ - Z\)².

Jeżeli przez a, /?, 7 oznaczymy kąty, jakie wektor a = [o_x, a_u. a_z] tworzy z osiami układu.

to	«x cos o = —. M	cos /? = , cosy = ^z- m w
Stąd
	cos^2 a + cos^2 /? -f cos^2 7=1.

Zatem wektor l = [cosa,cos/?,cos7] jest wersorem. Ponadto o = |o| • /.

Liczby cos a. cos/?, cos 7 nazywamy kosinusami kierunkowymi wektora o. Kosinusy kierunkowe wektora o są więc współrzędnymi wersora zgodnie równoległego do wektora a.

Przykłady 1. Wektor o początku .4 = (—4,2,3) ma długość 11 i kosinusy kierunkowe |, —2. Obliczyć współrzędne końca wektora B.

2. Obliczyć współrzędne punktu M wiedząc, że jego promień wodzący ma długość 8 i tworzy z osią Ox kąt a z osią Oy kąt

Iloczyn skalarny wektorów o i 6 w przestrzeni określamy tak jak na płaszczyźnie, tj. aob = |o| • \b\ cos Ponieważ i o i = j o j = k • k = 1 oraz i oj = i o k = j o k = 0, więc

o o b = (a_ri + a_uj + a Je) o (b_xi + bj + b.k) =

= o_xb_T + dyby ■+■ 0.6..

Podobnie jak dla wektorów na płaszczyźnie otrzymujemy wzór na kąt między wektorami:

(i)

cos (fi =

|«x&x + a_uby -f a.6. |

m-m

Przykład Znaleźć kąty wewnętrzne trójkąta o wierzchołkach A = (2.— 1,3). B (1,1,1), C = (0,0,5).

1.3 Iloczyn wektorowy

Definicja 1 Iloczynem wektorowym niezerowych wektorów a, b tworzących kąt <p nazywamy wektor c taki. że

1.    długość |ć] = |a| ■ |6| sin <p;

2.    Ć ± a i c ±b;

3.    zwrot wektora Ć jest taki, że wektory a, b, Ć tworzą układ zgodnie skrętny z układem i, j, k.

Jeżeli o = 0 lub 6 = 0, to przyjmujemy c = 0.

Piszemy c = o x 6.

Twierdzenie 1 Iloczyn wektorowy ma własności:

2