38515

Kryterium Leibniza

Jeżeli ciąg {a„} jest nierosnący oraz lim a„=0, to szereg naprzemienny jest zbieżny.

[Ciąg nierosnący \ar.i<a„ ]

Kryterium Weierstrassa:

Jeżeli £a„ liczb, jest zbież i jeżeli _m)_s spełniona jest nierówność I f_r(x) | <a. to £ funkcyjny jest zbieżny jednostajnie i bezwzględnie w zbiorze A. Ea„ nazywamy rrajorantą E funkcyjnego.

Dowód:

Ea* jako zbieżny musi spełniać warunek:

A ! 1 a, ■ a. .• ...* a. < i

ot i ot ¹

!/,(*)• /,.,»♦ •••• /M⁽-1/.(4

• |/_łfl(*]|-    • [/_t(j)j    - war. konieczny i dostateczny zb £ funkcyjnego.

< a, • «*., • ...• a, < t a

l/i(4lA,w|- -- !/-(»<<'

Def: Bezwzględna zbieżność f zeregu;

Ea* nazywamy bezwzględnie zbieżnym jeżeli jest zbieżny L złożony z bezwzględnych wartości. Jeżeli La* jest zbieżny bezwzględnie, to jest zbieżny. (Ea_n )■£ (a„). Jeżeli E jest zbieżny to nazywamy go warunkowo zbieżnym.

Def. Iloczyn Caychy'ego szeregów:

Szereg Ea„, gdzie a_n = £ a, n=l,2...- nazywamy iloczynem Cauchy'ego szeregów La_n i £b* tzn:

{La_n) (Lbr) - Lar (La_n) (EU ) - Lar a. »Ea_k b„ - _k

Twierdzenie; Jeżeli szeregi Ea« i Lbr są zbieżne i chociaż jeden z nich jest bezwzględnie zbieżny, to ich iloczyn jest zbieżny.

Tw. Całkowanie szeregu funkcyjnego:

Jeżeli Ef_n(x) o wyrazach ciągłych w przedziale <a,b> jest w tym przedziale jednostajnie zbieżny to

o)^b[Ifn(x)]dx-Iof^,fo(x)dx.

Tw. Różniczkowanie szeregu funkcyjnego:

Jeżeli wyrazy sz. Funkcyjnego mają ciągłe pochodne f„(x) w przedziale <a,b>, L funkcyjny Ef„(x) jest zbieżny w przedziale <a,b> a ponadto sz.If_n(x) jest jednostajnie zbieżny w przedziale <a,b> to:

Def, Promień, szeregu potęgowego:

Promieniem R zbieżności L potęgowego Ea^" nazywamy kres górny zbioru bezwzględnych wartości x dla L ten jest £ zbieżnym.

Tw. Promień szeregu potęgowego:

Jeżeli istnieje granica:

limj^j*¹ j • i.a. * O«tfcr # - 1.2.

lub    - A

to promień zbieżności szeregu Ea^" wynosi:

If — O jrrA A —

/< — <łtn 0< A<

/< - 4«* eUn A-O

Tw. Całkowanie szeregu potęgowego:

Jeżeli x należy do wnętrza przedziału E pot. £a„x^B tzn. xe(-R,R) to całka:

przy czym pr. zb. tego szer. jest taki jak szer. wyjściowego.

Dowód: Założenia o całkowaniu szeregu są spełnione dla:

11    ■ {«. Ą • t

Tw* Różniczkowanie szeregu potęgowego:

Jeżeli x należy do wnętrza przedziału zb. E pot. E aoT to pochodna:    ^a-^x" ⁼ Ł ' - promień zb. tego E jest taki

sam jak E wyjściowego.

Uzasadnienie: zał. Tw. o różniczkowaniu E funkcyjnego są spełnione czyli możemy różniczkować wyraz po wyrazie:

o, • 2a.x • -Yi_rx^! •    . £ nm*¹

Szereg Taylora:

Niech f będzie funkcją, która ma w pewnym otoczeniu Q punktu xo wszystkie pochodne, tzn. jest klasy C'. Funkcję taką dla każdego xeQ-{x₀} i każdego neN możemy rozwinąć w E Taylora:

Tw. o reszcie Taylora:

Jeżeli istnieje liczba M.>0, Spełniona jest nierówność:

|/*(x)|i SJ.todki - nrum fcm/.<*)■ 0

czyli funkcja daje się rozwinąć w otoczeniu Q w E Taylora.