110736

□ na rynku towarów ustaliła się cena wytwarzanego produktu p > 0 oraz cena zużywanego czynnika produkcji v > 0;

Zadanie maksymalizacji zysku ma wtedy postać:

n(x)= {pf(x)-vx} - max x £ 0

Zadanie polega na wyborze takiego poziomu nakładu czynnika produkcji x £ 0, przy którym zysk przedsiębiorstwa n(x), będący różnicą między przychodem ze sprzedaży produktu pf(x) i kosztem produkcji vx jest maksymalny.

Założenie: funkcja produkcji jest dodatnio jednorodna stopnia 0 < 9 < 1 postaci y = x° . Zadanie maksymalizacji zysku przyjmuje, w tym przypadku, postać:

tt(x) = {px⁸-vx} — max x £ 0

Aby określić przebieg zmienności funkcji zysku n(x) i znaleźć jej maksimum, należy zbadać jej pierwszą i drugą pochodną:

Ponieważ jednocześnie    zatem funkcja zysku ti(x) jest silnie wklęsła na R.¹,

zeruje się w 0, rośnie w przedziale (0,x) i osiąga maksymalną wartość dla Następnie maleje i zeruje się powtórnie w punkcie    . Przedział (0,x) tworzy

obszar rentowności, w którym zysk przedsiębiorstwa jest dodatni.

Uogólniając powyższy przykład można stwierdzić, że w przypadku jednoargumentowej, silnie wklęsłej funkcji produkcji istnieje dokładnie jedno rozwiązanie optymalne zadania maksymalizacji zysku x (0,x), gdzie x >0 jest punktem zerowania się funkcji zysku n(x), nazywanym progiem rentowności przedsiębiorstwa. Wzrost nakładów powyżej progu rentowności sprawia, że koszt jest wyższy od przychodu i przedsiębiorstwo ponosi stratę.

Zadanie maksymalizacji zysku przedsiębiorstwa (Zl)

Zadanie maksymalizacji zysku przedsiębiorstwa w przypadku ogólnym, gdy proces produkcji jest opisany skalarną, k-argumentową funkcją produkcji:

n(x) = {pf(\) - < v,x >} - max

x £ 0

Oznaczenia:

p - cena wytwarzanego produktu

f(x) - ilość wytworzonego produktu (w jednostkach fizycznych) v = (vi,...,Vk) - wektor cen czynników produkcji

x = (xi,...,Xk) - wektor nakładów czynników produkcji (w jednostkach fizycznych)