124843

Zadanie 5. Obliczyć wyznacznik macierzy .4 € R"*ⁿ spełniających równanie

a)    A² = A^t,

b)    A^t - A~^x = 0,

c)    A² + .4"' = 0,

d)    A*-4A~^l =0

Zadanie 6. Pokazać, ze wyznacznik macierzy trójkątnej jest równy iloczynowi wyrazów stojących na przekątnej

Zadanie 7. Wyznaczyć macierz odwrotną do macierzy

a)

:]

2 1

4 1

b)

1 0 1 2 1 1 1 0 2

	r * « i	' a 0 0		' 1 0 0 ■
d)	1 + ł — 1 1 V [o 2 J ^e>	0 6 0 0 0 c	*)	0 cosd sin# 0 - si n 6 cos 6

Zadanie 8. Pokazać, ze macierzą odwrotną do macierzy trójkątnej górnej (dolnej) jest macierz trójkątna górna (dolna)

Zadanie 9. Niech .4 € R"*ⁿ Sprawdzić, czy

.4^r.4 = / => .4.4^r = /

1	•	9	8
2	1	3	9
3	2	5	5
4	8	6	7

Zadanie 10. Liczby 1798, 2139, 3255, 4867 dzielą się przez 31 Uzasadnić, ze wyznacznik

również dzieli się przez 31 Zadanie 11. Niech A,B,C € R^nXn Wykazać, ze¹

a)    (A-')^T = (AT)-\

b)    (ABC)'¹ =C~^lB ^xA-\

c)    jeżeli .4, B są ortogonalne, to

i. AB jest macierzą ortogonalną, ii. B~^l istnieje i jest macierzą ortogonalną

Zadanie 12. Z dowolną macierzą kwadratową .4 6 R^nxn można skojarzyć odwzorowanie w(A) = det(A7 - .4) Wykazać, ze

a)    odwzorowanie wą jest wielomianem stopnia n zmiennej A,

b)    macierz .4 jest pierwiastkiem wielomianu macierzowego

w_A R^,,xn 3 JV — wa(X) € R^nxn

W podpunktach a) oraz b) równość należy rozumieć w ten sposób, ze jeżeli istnieje macierz stojąca po jednej stronie równości, to istnieje również macierz stojąca po drugiej stronie i obie macierze są sobie równe

2