1. Wstęp teoretyczny

Rozkład statyczny to prawdopodobieństwo wystąpienia danej sytuacji w zespole statycznym, czyli w układzie, w którym elementy zachowują się w sposób statystycznie niezależny.

Rozkład dwumienny

p- prawdopodobieństwo wystąpienia jednej sytuacji

q- prawdopodobieństwo wystąpienia drugiej sytuacji

n- ilość elementów pierwszej sytuacji

N- liczba wszystkich elementów obu sytuacji

P(n)- prawdopodobieństwo, że n spośród N - liczby wszystkich sytuacji

p+q =1

Funkcja P(n) jest funkcją dyskretną (skokową)

Warunek normalizacji mówi, że suma wszystkich możliwych prawdopodobieństw jest równa jedności

Rozkład normalny - Gaussa

- wartość średnia określana wzorem

- odchylenie standardowe określające szerokość przedziału piku rozkładu

Rozkład Gaussa obowiązuje w sąsiedztwie
, gdy n są bliskie
. Realny rozkład naturalny ma strukturę ziarnistą. Odległość między dwoma punktami przecięcia wynosi
. Położenia tych punktów są symetryczne względem położenia maksimum

,
,
,

Rozkład opisuje zjawiska probabilistycznie, więc można określić prawdopodobieństwo, że badana wielkość n przyjmuje wartości zawarte w aktualnie interesującym nas przedziale wartości. Prawdopodobieństwo to odpowiada polu zawartemu pod ciągłym rozkładem Gaussa, odciętym granicami na i nb. Prawdopodobieństwo ,że n znajdzie się w przedziale (
,
) wynosi 0,683. Rozkład normalny dobrze opisuje występowanie blędów przypadkowych w doświadczeniu fizycznym.

Tabela z pomiarami Liczba kulek = 96

Próby\ Przegródki	1	2	3	4	5	Suma
1	0	0	0	1	0	1
2	0	0	0	0	0	0
3	0	0	0	0	0	0
4	1	1	0	0	0	2
5	0	0	3	0	0	3
6	1	0	1	0	1	3
7	0	2	3	0	2	7
8	1	1	2	2	1	7
9	2	2	1	1	2	8
10	4	2	3	1	1	11
11	2	3	4	3	3	15
12	2	1	4	4	4	15
13	3	6	3	5	6	23
14	5	3	5	4	4	21
15	7	8	5	4	2	26
16	3	7	5	5	5	25
17	13	16	5	8	9	51
18	5	2	4	10	7	28
19	9	7	9	8	8	41
20	4	6	10	6	5	31
21	3	5	5	4	6	23
22	10	4	6	6	5	31
23	9	5	5	5	8	32
24	3	2	6	3	0	14
25	4	1	2	3	3	13
26	2	4	2	2	2	12
27	0	3	0	4	4	11
28	2	1	0	2	2	7
29	0	0	1	3	2	6
30	0	2	0	0	2	4
31	0	1	0	0	0	1
32	0	0	0	0	1	1
33	0	0	1	0	0	1
34	0	0	0	1	0	1
35	0	0	0	0	0	0
36	0	0	0	0	0	0
37	0	0	0	0	0	0

W celu otrzymania docelowej krzywej Gaussa stosuję metodę Simpsona, polegającą na przeliczeniu punktów eksperymentalnych P(n_i) na punkty położone bliżej docelowej krzywej:

W celu sprawdzenia teorii badam staczanie się kulek stalowych po pochylni.

1.Liczę punkty simpsonowskie.

P(x₂)=0.25*(1+0+0)=1/4 P(x₃)=0.25*(0+0+2)=1/2

P(x₄)=0.25*(0+4+3)=1 ¾ P(x₅)=0.25*(2+6+3)=2 ¾

P(x₆)=0.25*(3+6+7)=4 P(x₇)=0.25*(3+14+7)=6

P(x₈)=0.25*(7+14+8)=7 ¼ P(x₉)=0.25*(7+16+11)=8 ½

P(x₁₀)=0.25*(8+22+15)=11 Ľ P(x₁₁)=0.25*(11+30+15)=14

P(x₁₂)=0.25*(15+30+23)=17 P(x₁₃)=0.25*(15+46+21)=20 ˝

P(x₁₄)=0.25*(23+42+26)=22 ľ P(x₁₅)=0.25*(21+52+25)=24 ˝

P(x₁₆)=0.25*(26+50+51)=31 ľ P(x₁₇)=0.25*(25+102+28)=38 ľ

P(x₁₈)=0.25*(51+56+41)=37 P(x₁₉)=0.25*(28+82+31)=35 Ľ

P(x₂₀)=0.25*(41+62+23)=31 ˝ P(x₂₁)=0.25*(31+46+31)=27

P(x₂₂)=0.25*(23+62+32)=29 Ľ P(x₂₃)=0.25*(31+64+14)=27 Ľ

P(x₂₄)=0.25*(32+28+13)=18 Ľ P(x₂₅)=0.25*(14+26+12)=13

P(x₂₆)=0.25*(13+24+11)=12 P(x₂₇)=0.25*(12+22+7)=10 Ľ

P(x₂₈)=0.25*(11+14+6)=7 ¾ P(x₂₉)=0.25*(7+12+4)=5 ¾

P(x₃₀)=0.25*(6+8+1)=3 ¾ P(x₃₁)=0.25*(4+2+1)=1 ¾

P(x₃₂)=0.25*(1+2+1)=1 P(x₃₃)=0.25*(1+2+1)=1

P(x₃₄)=0.25*(1+2+0)=3/4 P(x₃₅)=0.25*(1+0+0)=1/4

P(x₃₆)=0.25*(0+0+0)=0

2.Obliczam wartość średnią

N - liczba wszystkich kulek

Odczytana z wykresu wynosi:

18

3.Obliczam odchylenie standardowe

Odczytane z wykresu wynosi : 5,2

4.Obliczam punkty przegięcia

W przedziale 12 - 23 znajduje się 347 kulek, jest to 72% wszystkich kulek.

5.Wyliczam bezwzględną i względną ilość kulek w poszczególnych przedziałach

m=480

1.

17,954 + 3,724=21,678

17,954 - 3,724=14,23

m₁ = 277 - bezwzględna ilość kulek

m_1w =m₁ /m = 0,69 - względna ilość kulek

Teoretycznie w tym przedziale względna ilość kulek wynosi 0,5

2.

m₂ = 347 - bezwzględna ilość kulek

m_2w =m₂ /m = 0,72 - względna ilość kulek (Obliczenia zostały przeprowadzone we wcześniejszych punktach)

Teoretycznie w tym przedziale względna ilość kulek wynosi 0,68

3.

m₃ = 458 - bezwzględna ilość kulek

m_3w = 0,95 - względna ilość kulek jest taka sama jak teoretyczna

4.

m₄ = 475 - bezwzględna ilość kulek

m_4w= 0,99 - względna ilość kulek

Teoretycznie w tym przedziale względna ilość kulek wynosi 0,997

Wnioski

Doświadczenie wykazało poprawność twierdzeń o rozkładzie normalnym co ilustruje otrzymana krzywa dzwonowata.

Przyrząd używany w tym doświadczeniu spełniał zadania zapewniając losowość zdarzeń, jednak uważam, że rozkład jest także zależny od geometrii równi (np. jej długości) oraz jej ustawienia.

Przyczyn błędów należy się doszukiwać gównie w zbyt malej liczbie powtórzeń wykonanych w tym ćwiczeniu.

Należy przypuszczać, że wraz ze wzrostem ilości wykonanych powtórzeń otrzymywalibyśmy coraz dokładniejsze wyniki, przybliżone teoretycznym. Jednak ścisłe potwierdzenie rozkładu normalnego jest niemożliwe, gdyż jak wiadomo liczba prób musiałaby osiągnąć nieskończoność.

---