mat.matura, Definicje i twierdzenia na ustny egzamin maturalny z matematyki


Definicje i twierdzenia na ustny egzamin maturalny z matematyki

1. Twierdzenie sinusów (tw. Snelliusa)

Tw.

Dla dowolnego trójkąta stosunek długości boku do sinusa kąta leżącego naprzeciw jest stały i równa się podwojonej długości promienia okręgu opisanego na tym trójkącie.

0x08 graphic

0x08 graphic

0x01 graphic

Dowód:

Z twierdzenia, że kąty wpisane oparte na tym samym łuku mają równe miary:

0x01 graphic

c.n.d.

2. Twierdzenie cosinusów (tw. Carnota, uogólnienie tw. Pitagorasa)

Tw.

W dowolnym trójkącie kwadrat długości dowolnego boku jest równy sumie kwadratów długości pozostałych boków pomniejszonej o podwojony iloczyn długości tych boków przez cosinus kąta zawartego między nimi.

0x08 graphic
0x08 graphic

a­­2 = b­­2 + c­­2 - 2bc*cosα

b­­2 = a­­2 + c­­2 - 2ac*cosβ

c­­2 = a­­2 + b­­2 - 2ab*cosγ

Dowód 1:

0x01 graphic

c.n.d.Dowód 2:

Na mocy twierdzenia sinusów boki a, b, c są proporcjonalne do odpowiednio sinα, sinβ, sinγ. Twierdzenie cosinusów przybierze zatem postać:

  1. sin2α = sin2β + sin2γ - 2 sinβ sinγ cosα

Z twierdzenia o sumie kątów w trójkącie :

0x01 graphic

Lewa strona równania (I):

0x01 graphic

Prawa strona równania (I):

0x01 graphic

L = P c.n.d.

Wnioski z twierdzenia cosinusów:

1.

0x01 graphic

2. Twierdzenie Pitagorasa

0x01 graphic

3.

0x01 graphic

3. Twierdzenie o wysokości w trójkącie prostokątnym

Tw.

Wysokość poprowadzona z wierzchołka kąta prostego trójkąta jest średnią geometryczną długości odcinków na jakie dzieli przeciwprostokątną.

(W trójkącie prostokątnym kwadrat wysokości opuszczonej na przeciwprostokątną jest równy iloczynowi długości odcinków, na które dzieli tą przeciwprostokątną)

0x08 graphic
0x08 graphic

0x01 graphic
( h2 = pq )

Dowód:

Z podobieństwa trójkątów:

0x01 graphic

c.n.d.

4. Twierdzenie o czworokącie opisanym na okręgu

Tw.

Czworokąt wypukły można opisać na okręgu wtedy i tylko wtedy gdy sumy długości przeciwległych boków w tym czworokącie są równe.

0x08 graphic
0x08 graphic

Teza:

|BC| + |AD| = |AB| + |CD|

Dowód:

Zauważamy przystawanie par trójkątów:

0x01 graphic

Wtedy:

|AB| = u + x

|BC| = x + y

|CD| = y + z

|DA| = z + u

L = |BC| + |AD| = x + y + z + u

P = |AB| + |CD| = u + x + y + z

L = P

c.n.d.

5. Twierdzenie o czworokącie wpisanym w okrąg

Tw.

Czworokąt wypukły można wpisać w okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy sumy miar przeciwległych kątów w tym czworokącie są równe i wynoszą 180° (π).

0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic

Teza:

α + β = γ + δ = 180° = π

Dowód:

Korzystając z twierdzenia o kącie środkowym i wpisanym w okrąg:

2α + 2β = 2π /:2

α + β = π

c.n.d.

6. Twierdzenie o odległości dwóch dowolnych punktów koła

Tw.

Odległość dwóch dowolnych punktów koła jest niewiększa od jego średnicy.

0x08 graphic
0x08 graphic

Teza:

0x01 graphic

Dowód:

Z definicji koła:

0x01 graphic
(po dodaniu nierówności stronami)

Z twierdzenia o długościach boków trójkątów:

0x01 graphic

Z własności nierówności:

0x01 graphic

c.n.d.

7. Twierdzenie o dwusiecznej kąta wewnętrznego w trójkącie

Tw.

Rzuty dwóch boków trójkąta w kierunku dwusiecznej kąta wewnętrznego zawartego miedzy tymi dwoma bokami są proporcjonalne do długości tych boków.

0x08 graphic

0x01 graphic

Dowód:

0x01 graphic

Z twierdzenia sinusów:

0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic

c.n.d.

8/9. Twierdzenie o kącie środkowym i wpisanym w okrąg

Tw.

Miara kąta środkowego jest dwa razy większa od miary kąta wpisanego opartego na tym samym łuku.

0x08 graphic
0x08 graphic

założenie:

β = γ + δ

teza:

α = 2β

dowód:

0x01 graphic

c.n.d.

10. Twierdzenie o symetralnych boków trójkąta

Tw.

W dowolnym trójkącie wszystkie trzy symetralne jego boków przecinają się w jednym punkcie, który jest środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie.

0x08 graphic
0x08 graphic

założenie:

ΔABC

0x01 graphic

teza:

0x01 graphic

dowód:

0x08 graphic
korzystając z def. symetralnej odcinka (zbiór punktów równo oddalonych od końców odcinka)

c.n.d.

11. Twierdzenie o dwusiecznych kąta

Tw.

W dowolnym trójkącie wszystkie trzy dwusieczne jego kątów przecinają się w jednym punkcie, który jest środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt.

0x08 graphic
0x08 graphic

założenia:

0x01 graphic

teza:

0x01 graphic

dowód:

0x08 graphic

z def. dwusiecznej kąta (zbiór punktów równo oddalonych od prostych, w których zawierają się ramiona kąta)

c.n.d.

12. Twierdzenie Pitagorasa

Tw.

W trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.

0x08 graphic

0x08 graphic

a2 + b2 = c2

założenie:

0x01 graphic

dowód 1:

patrz twierdzenie cosinusów

dowód 2:

ΔBDC i ΔABC są podobne o skali podobieństwa 0x01 graphic
;

ΔADC i ΔABC są podobne o skali podobieństwa 0x01 graphic
.

Oznaczmy pole ΔABC przez P, pole ΔBDC przez P1 i pole ΔADC przez P2

Ponieważ stosunek pól figur podobnych jest równy kwadratowi skali prawdopodobieństwa otrzymujemy:

0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic

c.n.d.

dowód 3:

0x08 graphic
0x08 graphic

0x01 graphic

c.n.d.

13. Twierdzenie o środkowych boków trójkąta

Tw.

W dowolnym trójkącie wszystkie trzy środkowe jego boków przecinają się w jednym punkcie, który jest środkiem ciężkości tego trójkąta. Punkt ten dzieli każdą ze środkowych na odcinki o stosunku długości 2:1.

0x08 graphic
0x08 graphic

założenia:

środkowe 0x01 graphic

0x01 graphic

teza:

0x01 graphic

dowód:

z twierdzenia Talesa dla kąta 0x01 graphic
:

0x01 graphic

z założenia:

0x01 graphic

zatem:

0x01 graphic

z twierdzenia Talesa dla kąta 0x01 graphic
:

0x01 graphic

c.n.d.

14. Wzory na pole trójkąta

  1. 0x08 graphic

0x01 graphic

dowód:

0x08 graphic
0x01 graphic

0x08 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic

0x08 graphic

0x01 graphic

c.n.d.

II.

W trójkącie prostokątnym:

0x08 graphic

0x01 graphic

dowód:

0x01 graphic

c.n.d.

III.

0x08 graphic
W trójkącie równobocznym:

0x01 graphic

dowód:

z twierdzenia Pitagorasa:

0x01 graphic

c.n.d.

IV.

0x08 graphic
0x01 graphic

dowód:

0x01 graphic

c.n.d.

(pozostałe dowodzi się analogicznie)

V.0x08 graphic

0x01 graphic

dowód:

0x01 graphic

c.n.d.

0x08 graphic

VI.

0x01 graphic

dowód:

0x08 graphic

udowodnione wyżej

z twierdzenia o kątach opartych na tym samym łuku

z tw.o kątach wpisanym i środkowym ΔABC' jest

prostokątny

c.n.d.

VII.

0x08 graphic
0x01 graphic

VIII.

Wzór Herona:

0x01 graphic

15. Twierdzenie o podzielności wielomianu przez dwumian (tw. Bezout)

Tw.

Wielomian W(x) dzieli się bez reszty przez dwumian x-p wtedy i tylko wtedy gdy p jest pierwiastkiem wielomianu W(x).

dowód:

Niech p będzie pierwiastkiem wielomianu W(x). Dzieląc z resztą wielomian W przez x-p otrzymujemy :

W(x)=(x-p)V(x)+R

gdzie V(x) to pewien wielomian, zaś R - liczba.

Podstawiając za x=p otrzymujemy:

0=W(p)=(p-p)V(p)+R

stąd R=0, czyli W(x) dzieli się przez x-p.

Niech teraz wielomian W(x) dzieli się przez x-p. Wtedy:

W(x)=(x-p)V(x)

Podstawiając x=p mamy:

W(p)=(p-p)V(p)=0

czyli p jest pierwiastkiem wielomianu W(x)

c.n.d.

16. Twierdzenie na wyraz ogólny ciągu arytmetycznego

Tw.

an=a1+(n-1)r

dowód:

Wykorzystujemy zasadę indukcji matematycznej:

I

sprawdzenie dla n=1:

L=a1

P= a1+(1-1)r= a1

L=P

II

założenie indukcyjne dla n=k :

ak= a1+(k-1)r

teza indukcyjna dla n=k+1 :

ak+1= a1+kr

dowód:

z def:

ak+1 - ak=r

ak+1= ak+r

zał.ind.

ak+1= a1+(k-1)r +r

ak+1= a1+kr-r +r= a1+kr c.n.d.

17. Twierdzenie na wyraz ogólny ciągu geometrycznego

Tw.

an=a1·qn-1

dowód:

Wykorzystujemy zasadę indukcji matematycznej:

I

sprawdzenie dla n=1:

L=a1

P= a1·q1-1= a1

L=P

II

założenie indukcyjne dla n=k :

ak= a1·qk-1

teza indukcyjna dla n=k+1 :

ak+1= a1·qk

dowód:

z def:

0x01 graphic

ak+1 = a1·qk-1·q = ak+1= a1·qk c.n.d.

18. Wzór na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego

Tw.

0x01 graphic

dowód:

Wykorzystujemy zasadę indukcji matematycznej:

I

sprawdzenie dla n=1:

L= S1= a1

0x01 graphic

L=P

sprawdzenie dla n=2:

L= S2= a1+ a2

0x01 graphic

L=P

II

założenie indukcyjne dla n=k :

0x01 graphic

teza indukcyjna dla n=k+1 :

0x01 graphic

dowód:

0x01 graphic

c.n.d.

19. Wzór na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego

Tw.

0x01 graphic

dowód:

Wykorzystujemy zasadę indukcji matematycznej:

I

sprawdzenie dla n=1:

L= S1= a1

0x01 graphic

L=P

sprawdzenie dla n=2:

L= S2= a1+ a2

0x01 graphic

L=P

II

założenie indukcyjne dla n=k :

0x01 graphic

teza indukcyjna dla n=k+1 :

0x01 graphic

dowód:

0x01 graphic

c.n.d.

20. Twierdzenia o działaniach na logarytmach

I.

0x01 graphic

dowód:

0x01 graphic

c.n.d.

II.

0x01 graphic

dowód:

0x01 graphic

c.n.d.

III.

0x01 graphic

dowód:

0x01 graphic

c.n.d.

IV.

0x01 graphic

dowód:

0x01 graphic

c.n.d.

V.

0x01 graphic

dowód:

0x01 graphic

c.n.d.

VI.

0x01 graphic

dowód:

0x01 graphic

c.n.d.

VII.

0x01 graphic

dowód: (niewprost)

0x01 graphic

sprzeczność, zatem wzór jest prawdziwy c.n.d.

21. Twierdzenie o pochodnej iloczynu i ilorazu dwóch funkcji

Tw.

Pochodna iloczynu dwóch funkcji jest równa sumie iloczynów pochodnej pierwszej funkcji przez funkcję drugą oraz pierwszej funkcji przez pochodną drugiej funkcji.

0x01 graphic

dowód:

0x01 graphic

c.n.d.

Tw.

Pochodna ilorazu dwóch funkcji jest równa ilorazowi różnicy iloczynów pochodnej pierwszej funkcji przez funkcję drugą oraz pochodnej drugiej funkcji przez funkcję pierwszą, przez kwadrat funkcji drugiej.

0x01 graphic

dowód:

0x01 graphic

c.n.d.

22. Własności prawdopodobieństwa

Niech Ω będzie danym zbiorem zdarzeń elementarnych, niech P będzie prawdopodobieństwem określonym na zdarzeniach 0x01 graphic
. Wówczas:

I.

0x01 graphic

dowód:

korzystamy ze wzorów 0x01 graphic

na mocy warunku definicji prawdopodobieństwa, że0x01 graphic

otrzymujemy:

0x01 graphic

0x08 graphic
c.n.d.

II.

0x01 graphic

dowód:

0x01 graphic

zbiory A i B\A są rozłączne

na mocy warunku definicji prawdopodobieństwa, że 0x01 graphic

otrzymujemy:

0x01 graphic

c.n.d.

III.

0x01 graphic

dowód:

z udowodnionej własności II: 0x01 graphic

z warunku definicji prawdopodobieństwa, że 0x01 graphic

otrzymujemy:

0x01 graphic

c.n.d.

IV.

0x01 graphic

dowód:

korzystając ze wzoru 0x01 graphic

oraz warunków definicji prawdopodobieństwa, że

0x01 graphic

otrzymujemy:

0x01 graphic

c.n.d.

0x08 graphic
V.

0x01 graphic

dowód:

korzystamy z tożsamości :

0x01 graphic

ponieważ

0x01 graphic

więc na mocy warunku definicji prawdopodobieństwa, że

0x01 graphic

otrzymujemy:

0x01 graphic

c.n.d.

23. Twierdzenie o prostej prostopadłej do płaszczyzny

Tw.

Jeżeli prosta jest prostopadła do dwóch przecinających się prostych to jest prostopadła do płaszczyzny w której się te dwie proste zawierają.

0x01 graphic

0x01 graphic

dowód:

0x01 graphic

0x01 graphic

c.n.d.

24. Twierdzenie o trzech prostopadłych

Tw.

Jeżeli prosta l należąca do płaszczyzny α jest prostopadła do rzutu prostej pochyłej k względem tej płaszczyzny, to prosta l jest prostopadła do tej pochyłej.

0x01 graphic

0x01 graphic

dowód:

0x01 graphic

c.n.d.

25. Twierdzenie o pierwiastkach wymiernych wielomianu

Tw.

Jeżeli wszystkie współczynniki wielomianu a0, a1, a2,..., an są całkowite, a liczba wymierna zapisana w postaci ułamka nieskracalnego 0x01 graphic
jest pierwiastkiem równania

anxn+...+ a2x2+ a1x+ a0=0

to p jest dzielnikiem a0, natomiast q jest dzielnikiem an.

dowód:

z założenia mamy:

0x01 graphic

Lewa strona otrzymanej równości dzieli się przez p oraz p i q nie mają wspólnych dzielników więc p i qn również nie mają wspólnych dzielników zatem a0 dzieli się przez p.

Przez symetrię prawdziwa jest i druga teza twierdzenia.

c.n.d.

26. Twierdzenie o dwusiecznej kąta zewnętrznego w trójkącie

Tw.

Rzuty dwóch boków trójkąta w kierunku dwusiecznej kąta zewnętrznego przyległego do danego kąta są proporcjonalne do długości tych boków.

0x08 graphic

0x01 graphic

dowód:

0x01 graphic

z twierdzenia sinusów:

0x01 graphic
0x01 graphic

0x08 graphic
0x01 graphic

c.n.d.

27. Definicje działań na zbiorach, przedziałów liczbowych, zbiorów ograniczonych i kresów

Definicje działań na zbiorach

I.

Suma

Sumą 0x01 graphic
zbiorów A i B nazywamy zbiór złożony z wszystkich elementów zbioru A i wszystkich elementów zbioru B i z żadnych innych.

0x01 graphic

0x01 graphic

II

Iloczyn

Iloczynem 0x01 graphic
zbiorów A i B nazywamy zbiór złożony z tych i tylko tych elementów, które należą jednocześnie do zbioru A oraz do zbioru B.

0x01 graphic

0x01 graphic

III

Różnica

Różnicą 0x01 graphic
zbiorów A i B nazywamy zbiór złożony z tych i tylko tych elementów zbioru A, które nie należą do zbioru B.

0x01 graphic

0x01 graphic

IV

Różnica symetryczna

Różnicą symetryczną0x01 graphic
zbiorów A i B nazywamy zbiór złożony z tych i tylko tych elementów, które należą do zbioru A i nie należą do zbioru B, lub należą do zbioru B i nie należą do zbioru A.

0x01 graphic

0x01 graphic

V

Dopełnienie

Dopełnieniem A' zbioru A nazywamy zbiór złożony z tych i tylko tych elementów, które nie należą do zbioru A.

0x01 graphic

0x01 graphic

VI

Zawieranie się zbiorów

0x01 graphic

VII

Równość zbiorów

0x01 graphic

Definicje przedziałów liczbowych

I.

Otwarty

Przedział otwarty (a, b) to zbiór wszystkich takich liczb 0x01 graphic
, że a<x i x<b.

0x01 graphic

0x01 graphic

II.

Domknięty

Przedział domknięty 0x01 graphic
to zbiór wszystkich takich liczb 0x01 graphic
, że a≤x i x≤b.

0x01 graphic

0x01 graphic

III.

Lewostronnie domknięty

Przedział lewostronnie domknięty 0x01 graphic
to zbiór wszystkich takich liczb 0x01 graphic
, że a≤x i x<b.

0x01 graphic

0x01 graphic

IV.

Prawostronnie domknięty

Przedział prawostronnie domknięty 0x01 graphic
to zbiór wszystkich takich liczb 0x01 graphic
, że a<x i x≤b.

0x01 graphic

0x01 graphic

Definicje zbiorów ograniczonych

I.

z dołu

Zbiór A nazywamy ograniczonym z dołu gdy istnieje liczba n niewiększa od każdego 0x01 graphic

II.

z góry

Zbiór A nazywamy ograniczonym z góry gdy istnieje liczba n niemniejsza od każdego 0x01 graphic

Zbiór ograniczony zarówno z dołu jak i z góry nazywamy ograniczonym.

Definicje kresów

I.

kres górny

Kresem górnym zbioru A nazywamy najmniejszą liczbę ograniczającą zbiór A z góry.

sup A (supremum zbioru A)

II.

kres dolny

Kresem dolnym zbioru A nazywamy największą liczbę ograniczającą zbiór A z dołu.

inf A (infimum zbioru A)

28. Określenie funkcji, definicje funkcji monotonicznych, parzystych, nieparzystych, okresowych

Określenie funkcji

Funkcją f odwzorowującą zbiór X w zbiór Y nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi x zbioru X dokładnie jednego elementu y zbioru Y.

Definicje funkcji monotonicznych

I.

rosnąca

Funkcję f nazywamy rosnącą jeżeli f(x1)< f(x2), gdy x1< x2

0x01 graphic
jest rosnąca

0x01 graphic
jest rosnąca

0x01 graphic

II.

niemalejąca

Funkcję f nazywamy niemalejącą jeżeli f(x1)≤ f(x2), gdy x1< x2

0x01 graphic
jest niemalejąca

0x01 graphic
jest niemalejąca

0x01 graphic

III.

malejąca

Funkcję f nazywamy malejącą jeżeli f(x1)> f(x2), gdy x1< x2

0x01 graphic
jest malejąca

0x01 graphic
jest malejąca

0x01 graphic

IV.

nierosnąca

Funkcję f nazywamy nierosnącą jeżeli f(x1)≥ f(x2), gdy x1< x2

0x01 graphic
jest nierosnąca

0x01 graphic
jest nierosnąca

0x01 graphic

V.

stała

Funkcję f nazywamy stałą jeżeli f(x1)= f(x2), gdy x1< x2

0x01 graphic
jest stała

0x01 graphic
jest stała

0x01 graphic

Definicje innych rodzajów funkcji

I.

funkcja parzysta

Funkcję f nazywamy parzystą jeżeli dla każdego x należącego do dziedziny funkcji f spełniony jest warunek f(-x) = f(x).

0x01 graphic

Wykres funkcji parzystej jest symetryczny względem osi OY.

II.

funkcja nieparzysta

Funkcję f nazywamy nieparzystą jeżeli dla każdego x należącego do dziedziny funkcji f spełniony jest warunek f(-x) = - f(x).

0x01 graphic

Wykres funkcji nieparzystej jest symetryczny względem początku układu współrzędnych

III.

funkcja okresowa

Funkcję f nazywamy okresową, gdy istnieje taka liczba s ≠ 0, że dla każdej liczby x z dziedziny funkcji f liczba x+s należy do tej dziedziny i f(x+s)=f(x).

0x01 graphic

Liczba s jest okresem tej funkcji. Najmniejszy okres dodatni, jeżeli istnieje, nazywamy okresem zasadniczym.

29. Funkcja liniowa, równania liniowe - dyskusja liczby pierwiastków

def.

Funkcją liniową nazywamy funkcję postaci:

0x01 graphic

0x01 graphic
f. stała y = b

0x01 graphic
f. rosnąca

0x01 graphic
f. malejąca

funkcja liniowa jest w całej dziedzinie monotoniczna

gdy a≠0 posiada jedno miejsce zerowe 0x01 graphic

0x01 graphic

α - kąt przecięcia wykresu z osią OX

a - współczynnik kierunkowy

def.

Równaniem liniowym nazywamy równanie postaci:

0x01 graphic

I.

równanie jest oznaczone (1 rozwiązanie) 0x01 graphic

0x01 graphic

II.

równanie jest sprzeczne (0 rozwiązań) 0x01 graphic

III.

równanie jest nieoznaczone czyli tożsamościowe (nieskończenie wiele rozwiązań) 0x01 graphic

0x01 graphic

def.

Równaniem liniowym z dwiema niewiadomymi nazywamy równanie postaci:

Ax+By+C=0

30. Funkcja kwadratowa, wzory, postacie, pierwiastki, dyskusja liczby i jakości pierwiastków w zależności od parametru

def.

Funkcją kwadratową nazywamy funkcję postaci:

0x01 graphic
(trójmian kwadratowy)

Postacie funkcji kwadratowej:

I.

ogólna:

0x01 graphic

0x01 graphic
- wyróżnik trójmianu kwadratowego

II.

kanoniczna:

0x01 graphic

III.

iloczynowa:

0x08 graphic

Wzory na pierwiastki funkcji kwadratowej

Pierwiastki funkcji kwadratowej to odcięte punktów przecięcia paraboli z osią x.

Dyskusja liczby pierwiastków:

I.

dwa różne pierwiastki 0x01 graphic

0x01 graphic

II.

jeden pierwiastek podwójny0x01 graphic

0x01 graphic

III.

brak pierwiastków 0x01 graphic

Wzory Viete'a

0x01 graphic

dowód:

0x01 graphic

c.n.d.

Dyskusja jakości pierwiastków:

I.

dwa pierwiastki różnych znaków0x01 graphic

II.

dwa różne pierwiastki ujemne0x01 graphic

III.

dwa różne pierwiastki dodatnie0x01 graphic

IV.

dwa pierwiastki tego samego znaku0x01 graphic

V.

jeden pierwiastek podwójny dodatni0x01 graphic

VI.

jeden pierwiastek podwójny ujemny0x01 graphic

31. Układ równań liniowych, dyskusja liczby rozwiązań

0x01 graphic

Wzory Cramera:

0x01 graphic

Dyskusja liczby rozwiązań:

I.

układ równań jest niezależny (jedna para rozwiązań) 0x01 graphic

0x01 graphic

II.

układ równań jest zależny (nieskończenie wiele par rozwiązań) 0x01 graphic

0x01 graphic

III.

układ równań jest sprzeczny (brak rozwiązań) 0x01 graphic

0x01 graphic

32. Wartość bezwzględna

def.

0x01 graphic

własności:

0x01 graphic

33. Funkcja homograficzna, definicje i wykres

def.

Funkcja homograficzna to funkcja wymierna zmiennej x określona wzorem:

0x01 graphic

dziedzina:

0x01 graphic
funkcja ta jest funkcją liniową i X=R

0x01 graphic

wykres:

Wykresem funkcji homograficznej jest hiperbola 0x01 graphic
przesunięta o wektor 0x01 graphic
gdzie:

0x08 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic
równanie asymptoty poziomej

0x01 graphic
równanie asymptoty pionowej

34. Funkcja potęgowa, wykładnicza i logarytmiczna, trygonometryczna, definicje, wykresy i własnosci

Funkcja potegowa

def.

Funkcją potegową nazywamy funkcję postaci:

0x01 graphic

wykresy:

I. 0x01 graphic

0x08 graphic

0x01 graphic

0x08 graphic

0x01 graphic

0x08 graphic

dla n parzystych:

0x01 graphic

0x08 graphic

dla n nieparzystych:

0x01 graphic

II. 0x01 graphic

0x08 graphic

dla n parzystych:

0x01 graphic

0x08 graphic

dla n nieparzystych:

0x01 graphic

0x08 graphic
III. 0x01 graphic

dla k parzystych:

0x01 graphic

0x08 graphic

dla k nieparzystych:

0x01 graphic

IV. 0x01 graphic

0x08 graphic

dla k parzystych:

0x01 graphic

0x08 graphic

dla k nieparzystych:

0x01 graphic

Funkcja wykładnicza

def.

Funkcją wykładniczą nazywamy funkcję postaci:

0x01 graphic

I.

0x08 graphic
0<a<1

np. 0x01 graphic

0x08 graphic
własności:

0x01 graphic

II.

0x08 graphic
a>1

np. 0x01 graphic

0x08 graphic
własności:

0x01 graphic

Funkcja logarytmiczna

def. logarytmu

0x01 graphic

Logarytmem o dodatniej i różnej od 1 podstawie a z liczby logarytmowanej b większej od 0 nazywamy wykładnik potęgi c, do której należy podnieść podstawę a aby otrzymać liczbe logarytmowaną b.

def.

Funkcją logarytmiczną nazywamy funkcję postaci:

0x01 graphic

0x08 graphic
I.

0<a<1

np. 0x01 graphic

0x08 graphic
własności:

0x01 graphic

0x08 graphic
II.

a>1

np. 0x01 graphic

0x08 graphic
własności:

0x01 graphic

Funkcje trygonometryczne

def.

Jeżeli α jest miarą kąta skierowanego 0x01 graphic
, P jest dowolnym punktem końcowego ramienia tego kąta (0x01 graphic
), x i y są współrzędnymi P, 0x01 graphic
, to:

0x08 graphic
0x01 graphic

I.

0x08 graphic
0x01 graphic

II.

0x08 graphic
0x01 graphic

III.

0x08 graphic
0x01 graphic

IV.

0x08 graphic
0x01 graphic

35. Ciąg liczbowy, monotoniczność

def.

Ciągiem liczbowym nazywamy funkcję określoną na zbiorze liczb naturalnych i o wartościach rzeczywistych.

a1, a2, a3,…, an,

monotoniczność ciągu:

0x01 graphic

0x01 graphic

36. Ciąg arytmetyczny, geometryczny, definicje, wzory, własności

Ciąg arytmetyczny

def.

Ciąg liczbowy w którym różnica pomiędzy wyrazem dowolnym i poprzednim (z wyjątkiem wyrazu pierwszego) jest stała i równa się r.

0x01 graphic

wzory:

n-ty wyraz ciągu

0x01 graphic

dowód

suma n elementów

0x01 graphic

dowód

3 kolejne elementy (warunek ciągu arytmetycznego)

0x01 graphic

monotoniczność:

0x01 graphic
rośnie 0x01 graphic

0x01 graphic
maleje 0x01 graphic

0x01 graphic
jest stały 0x01 graphic

Ciąg geometryczny

def.

Ciąg liczbowy w którym iloraz wyrazu dowolnym przez poprzedni (z wyjątkiem wyrazu pierwszego) jest stała i równa się q.

0x01 graphic

ciąg geometryczny zbieżny (do zera)

0x01 graphic

wzory:

n-ty wyraz ciągu

0x01 graphic

dowód

suma n elementów

0x01 graphic

dowód

suma wszystkich elementów ciągu zbieżnego

0x01 graphic

dowód:

0x01 graphic

c.n.d.

3 kolejne elementy

0x01 graphic

monotoniczność:

Ciąg geometryczny 0x01 graphic
jest:

37. Definicje ilorazu różnicowego, pochodnej funkcji w punkcie i ich interpretacje.

Iloraz różnicowy

def.

Iloraz różnicowy jest to iloraz przyrostu wartości do przyrostu argumentów.

0x01 graphic

I.

0x01 graphic

II.

0x01 graphic

III.

0x01 graphic

interpretacja geometryczna

Iloraz różnicowy jest to tangens kąta jaki tworzy prosta (sieczna) przecinająca wykres funkcji w dwóch punktach, ze zwrotem dodatnim osi OX.

0x08 graphic

0x01 graphic

Pochodna funkcji w punkcie

def.

Dana jest funkcja y=f(x) gdzie 0x01 graphic
oraz punkt 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, gdzie xn jest dowolnym ciągiem 0x01 graphic
takim, że 0x01 graphic
.

Pochodna funkcji w punkcie to granica do której dąży ciąg ilorazów różnicowych.

I.

0x01 graphic

II.

0x01 graphic

III.

0x01 graphic

IV.

0x01 graphic

interpretacja geometryczna

Pochodna funkcji w punkcie o odciętej x0 jest to tangens kąta jaki tworzy styczna do wykresu funkcji w punkcie o odciętej x0 ze zwrotem dodatnim osi OX.

0x08 graphic

0x01 graphic

38. Granica funkcji, ciągłość funkcji, definicje, twierdzenia.

Granica ciągu

0x01 graphic

def.

Ciąg an ma granicę g wtedy i tylko wtedy, gdy w dowolnym ε-lonowym otoczeniu liczby g znajdują się prawie wszystkie wyrazy ciągu an.

0x01 graphic

Granica funkcji w punkcie

0x08 graphic

sąsiedztwo 0x01 graphic

0x01 graphic

def. granicy funkcji w punkcie wg Cauchy'ego

0x01 graphic

def. granicy funkcji w punkcie wg Heine'go (ciągowa)

0x01 graphic

def. granicy lewostronnej funkcji w punkcie wg Cauchy'ego

0x01 graphic

def. granicy lewostronnej funkcji w punkcie wg Heine'go

0x01 graphic

def. granicy prawostronnej funkcji w punkcie wg Cauchy'ego

0x01 graphic

def. granicy prawostronnej funkcji w punkcie wg Heine'go

0x01 graphic

Własności granicy funkcji

Ciągłość funkcji

def. ciągłości funkcji w punkcie

Funkcja y=f(x) jest ciągła w punkcie x0 0x01 graphic

def. ciągłości funkcji w punkcie wg Cauchy'ego

Funkcja jest ciągła w punkcie x0 gdy:

0x01 graphic

def. funkcji ciągłej w przedziale otwartym

Funkcja y=f(x) jest ciągła w przedziale otwartym wtedy i tylko wtedy gdy jest ciągła w każdym punkcie tego przedziału

def. funkcji ciągłej w przedziale zamkniętym

Funkcja y=f(x) jest ciągła w przedziale zamkniętym 0x01 graphic
wtedy i tylko wtedy gdy jest ciągła w (a,b), a 0x01 graphic
i 0x01 graphic

Własności funkcji ciągłych:

Tw.1.

zał:

f(x), g(x) są ciągłe w swojej dziedzinie

1. 0x01 graphic
jest ciągła

2. 0x01 graphic
jest ciągła

3. 0x01 graphic
jest ciągła

4. 0x01 graphic
jest ciągła

Tw.2.

Jeżeli funkcja y=f(x) jest ciągła i ściśle monotoniczna dla 0x01 graphic
jest ciągła i ściśle monotoniczna dla 0x01 graphic

Tw. o ciągłości funkcji złożonej

Dana jest funkcja złożona 0x01 graphic

Jeżeli funkcja f(x) jest ciągła w punkcie x0, a funkcja g(u) też jest ciągła w punkcie u0, gdzie u0=f(x0) to funkcja 0x01 graphic
jest ciągła w punkcie x0.

Tw. o możliwości wprowadzenia granicy do funkcji ciągłej

Jeżeli istnieje granica właściwa 0x01 graphic
oraz funkcja 0x01 graphic

jest ciągła w punkcie u0=f(x0) to 0x01 graphic

39. Asymptoty wykresu funkcji, wzory na pochodne, pochodna a monotoniczność funkcji

Asymptoty

def.

Asymptota to prosta o tej własności, że gdy punkt oddala się nieograniczenie od punktu (0,0) po wykresie, to jego odległość od tej prostej dąży do zera.

asymptota pionowa

Prostą o równaniu x=x0 nazywamy asymptotą pionową krzywej o równaniu y=f(x), jeśli lewo- lub prawostronna granica funkcji w tym punkcie jest niewłasciwa, tzn.

0x01 graphic

Jeżeli obie te granice są niewłaściwe asymptota jest obustronna. Jeżeli tylko jedna z nich - jednostronna.

asymptota ukośna

Prostą o równaniu y=ax+b nazywamy asymptotą ukośną krzywej o równaniu y=f(x), jeśli a i b są tak dobrane, że:

0x01 graphic

tzn.0x01 graphic

asymptota pozioma

Asymptota pozioma jest szczególnym przypadkiem asymptoty ukośnej, gdzie 0x01 graphic

0x08 graphic
Wzory na pochodne

0x01 graphic

c.n.d.

0x01 graphic

0x01 graphic

c.n.d.

0x01 graphic

Pochodna funkcji złożonej

Dana jest funkcja F(x)=f(g(x)).

Załóżmy, że funkcja g jest różniczkowalna w punkcie x oraz funkcja f jest różniczkowalna w punkcie g(x).

Wówczas:

F'(x)=f'(g(x)) g'(x)

Pochodna a monotoniczność funkcji

I.

Jeżeli funkcja f(x) jest różniczkowalna w pewnym przedziale (a,b) i dla każdego

0x01 graphic

lub dla skończonej liczby argumentów

0x01 graphic

II.

Jeżeli funkcja f(x) jest różniczkowalna w pewnym przedziale (a,b) i dla każdego

0x01 graphic

lub dla skończonej liczby argumentów

0x01 graphic

40. Ekstremum funkcji, definicje i reguły badania ekstremów

Maksimum i minimum noszą wspólną nazwę ekstremum funkcji.

Ekstremum właściwe

def.1.

minimum właściwe

Funkcja y=f(x) posiada w punkcie x0 minimum właściwe0x01 graphic

maksimum właściwe

Funkcja y=f(x) posiada w punkcie x0 maksimum właściwe0x01 graphic

def.2.

Jeżeli w pewnym otoczeniu punktu 0x01 graphic
funkcja f jest różniczkowalna i z lewej strony punktu x0 f'(x)>0, a z prawej jego strony f'(x)<0 (pochodna zmienia znak z + na-), to funkcja f ma w punkcie x0 maksimum właściwe. f'(x0)=0

Jeżeli zaś w pewnym otoczeniu punktu 0x01 graphic
funkcja f jest różniczkowalna i z lewej strony punktu x0 f'(x)<0, a z prawej jego strony f'(x)>0(pochodna zmienia znak z - na+), to funkcja f ma w punkcie x0 minimum właściwe. f'(x0)=0

Ekstremum lokalne

Jeżeli w pewnym niezerowym otoczeniu punktu x0, f(x0) jest największą wartością funkcji f(x) w tym otoczeniu, to w punkcie x0 istnieje maksimum lokalne funkcji f(x)

Jeżeli w pewnym niezerowym otoczeniu punktu x0, f(x0) jest najmniejszą wartością funkcji f(x) w tym otoczeniu, to w punkcie x0 istnieje minimum lokalne funkcji f(x)

Reguły badania ekstremum:

I.

Warunek konieczny istnienia ekstremum funkcji

Jeżeli funkcja f(x) ma w punkcie x0 ekstremum i jest różniczkowalna w tym punkcie to f'(x)=0

(twierdzenie odwrotne jest fałszywe)

II.

Warunek wystarczający istnienia ekstremum funkcji

I.

Zał. y=f(x) jest ciągła w punkcie x0 i jest różniczkowalna w jego sąsiedztwie 0x01 graphic

1.

0x01 graphic
w punkcie x0 jest

maksimum właściwe

2.

0x01 graphic
w punkcie x0 jest

minimum właściwe

II.

Jeżeli funkcja y=f(x) ma w otoczeniu 0x01 graphic
ciągłe pochodne f'(x0) i f(x0) i f(x0)≠0

0x01 graphic
w punkcie x0 funkcja f(x) posiada maksimum

0x01 graphic
w punkcie x0 funkcja f(x) posiada minimum

41. Definicje i wzory na liczbę permutacji, kombinacji, wariacji, dwumian Newtona

Permutacją bez powtórzeń zbioru n- elementowego A={a1, a2,..., an}nazywamy każdy n- wyrazowy ciąg utworzony ze wszystkich elementów tego zbioru, czyli każde uporządkowanie elementów zbioru A.

0x01 graphic

Permutacją z powtórzeniami zbioru n- elementowego A={a1, a2,..., an}, w której element a1 występuje n1 razy, element a2 występuje n2 razy,..., element an występuje nk razy, przy czym n1+n2+...+nk=n, nazywamy każdy

n- wyrazowy ciąg, w którym element ai występuje ni razy dla i=1, 2,...,k.

0x01 graphic

Kombinacją k- elementową bez powtórzeń zbioru n- elementowego A={a1, a2,..., an} 0x01 graphic
nazywamy każdy podzbiór k- elementowy tego zbioru.

0x01 graphic

Kombinacją k- elementową z powtórzeniami zbioru n- elementowego A={a1, a2,..., an} nazywamy każdy ciąg

(k1, k2,..., kn) taki, że k1+k2+...+kn=k, gdzie kiN dla i=1, 2,..., n

0x01 graphic

wariacją k- elementową bez powtórzeń zbioru n- elementowego A={a1, a2,..., an} 0x01 graphic
nazywamy każdy

k- wyrazowy ciąg różnowartościowy, którego wyrazami są elementy danego zbioru.

0x01 graphic

Wariacją k- elementową z powtórzeniami zbioru n- elementowego A={a1, a2,..., an} nazywamy każdy k- wyrazowy ciąg , którego wyrazami są elementy danego zbioru.

0x01 graphic

Symbol Newtona

0x01 graphic

Dwumian Newtona

0x01 graphic

42. Definicje: zdarzenia, prawdopodobieństwa, własności, prawdopodobieństwo warunkowe, całkowite, niezależność pary zdarzeń, schemat Bernoulli'ego (zmienna losowa, wartość oczekiwana i wariancja M)

Zdarzeniem elementarnym nazywamy wynik pewnego doświadczenia

(oznaczamy 0x01 graphic
)

Zdarzeniem nazywamy podzbiór zbioru zdarzeń elementarnych (oznaczamy A, B, ...).

Przestrzenią zdarzeń elementarnych Ω nazywamy zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych.

Definicje prawdopodobieństwa:

  1. Klasyczna - La Place'a

Jeżeli zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne

0x01 graphic

nA - liczba zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A

N - liczba wszystkich zdarzeń elementarnych

  1. Aksjomatyczna

Niech Ω będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych.

Zdarzenia 0x01 graphic
jeżeli:

0x01 graphic

to na zbiorze Ω określone jest prawdopodobieństwo P(A).

Własności prawdopodobieństwa

Prawdopodobieństwo warunkowe

def.

0x01 graphic

tw.

Prawdopodobieństwo warunkowe jest określone na zdarzeniach zbioru Ω.

(spełnia def. aksjomatyczną, tzn spełnia 3 aksjomaty)

dowód:

0x01 graphic

Prawdopodobieństwo całkowite

Tw.

Ω - przestrzeń zdarzeń elementarnych

0x01 graphic

dowód:

0x01 graphic

c.n.d.

Zdarzenia niezależne

Dwa zdarzenia 0x01 graphic
są niezależne 0x01 graphic

Schemat Bernoulli'ego

Prawdopodobieństwo k sukcesów w N próbach określa wzór:

0x01 graphic

gdzie:

p - prawdopodobieństwo sukcesu w jednej próbie (jednakowe dla wszystkich prób)

q - prawdopodobieństwo porażki w jednej próbie q=1-p

N - liczba prób

k - liczba sukcesów

Najbardziej prawdopodobna liczba sukcesów w schemacie Bernoulli'ego

k0 - najbardziej prawdopodobna liczba sukcesów

0x01 graphic
jest ułamkiem wymiernym (nie jest liczbą całkowitą)

wtedy 0x01 graphic
- cecha liczby

0x01 graphic
jest liczbą całkowitą

to 0x01 graphic

Zmienna losowa

Zmienną losową X nazywamy funkcję określoną na zdarzeniach zbioru Ω i o wartościach rzeczywistych.

Rozkład zmiennej losowej

Rozkład zmiennej losowej to zbiór uporządkowanych par, w których pierwszy element pary xi jest wartością zmiennej losowej, a drugi pi jest prawdopodobieństwem z jakim ta wartość zachodzi.

0x01 graphic

Wartość oczekiwana

(nadzieja matematyczna)

0x01 graphic

xi - wartość zmiennej losowej

pi - prawdopodobieństwo z jakim zachodzi wartość zmiennej losowej

Wartość oczekiwana w schemacie Bernoulli'ego

0x01 graphic

dowód:

0x01 graphic

c.n.d.

Wariancja zmiennej losowej

Wariancja zmiennej losowej to miara rozrzutu zmiennej losowej.

0x01 graphic

Wariancja zmiennej losowej w schemacie Bernoulli'ego

0x01 graphic

dowód:

0x01 graphic
c.n.d.

43. Wektor, działania, długość, iloczyn skalarny, iloczyn wektorowy, prostopadłość, równoległość, krzywa stopnia drugiego

Wektor zaczepiony 0x01 graphic
to uporządkowana para punktów, gdzie A jest początkiem a B końcem

0x01 graphic

Wektor swobodny jest to rodzina równych wektorów zaczepionych.

Wektor zerowy 0x01 graphic

Wektor przeciwny do 0x01 graphic
to 0x01 graphic
, gdzie 0x01 graphic

Współrzędne wektora (w przestrzeni)

0x01 graphic

Długość wektora

0x01 graphic

Równość wektorów

def.1.

Wektory są równe jeżeli są równoległe, mają ten sam zwrot i tą samą długość.

def.2.

Wektory są równe jeżeli ich odpowiednie współrzędne są równe

0x01 graphic

Własności równości wektorów:

0x01 graphic

Suma wektorów

Sumą wektorów nazywamy wektor, którego początkiem jest początek pierwszego wektora, a końcem koniec ostatniego wektora.

0x01 graphic
0x08 graphic

Różnica wektorów

Odejmowanie wektora 0x01 graphic
od wektora 0x01 graphic
jest równe sumie wektora 0x01 graphic
i wektora 0x01 graphic
przeciwnego do 0x01 graphic
.

0x01 graphic

Iloczyn wektora przez liczbę

Iloczynem wektora 0x01 graphic
przez liczbę m nazywamy wektor 0x01 graphic
mający długość 0x01 graphic
, kierunek ten sam co 0x01 graphic
i ten sam co 0x01 graphic
zwrot, gdy m>0 oraz zwrot przeciwny do 0x01 graphic
gdy m<0.

0x01 graphic

Iloczyn skalarny wektorów

def.1.

0x01 graphic

def.2.

0x01 graphic

Iloczyn wektorowy wektorów

Jest wykonalny tylko w przestrzeni trójwymiarowej. Wektor będący wynikiem mnożenia jest prostopadły do obu czynników.

0x01 graphic

Równoległość wektorów

0x01 graphic

Prostopadłość wektorów

0x01 graphic

44. Prosta, równania, proste równoległe, proste prostopadłe, odległość punktu od prostej, odległość prostych równoległych.

Postać kierunkowa prostej

y=ax+b

Postać ogólna prostej

0x08 graphic
Ax+By+C=0

Postać odcinkowa prostej

0x01 graphic

Równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty

0x01 graphic

Proste równoległe

0x01 graphic
0x01 graphic

Proste prostopadłe

0x01 graphic
0x01 graphic

Odległość punktu od prostej

0x01 graphic

Odległość prostych równoległych

0x01 graphic

45. Okrąg, równania - wyprowadzanie

Równanie okręgu o środku w punkcie S=(a,b) i promieniu r:

0x01 graphic

wyprowadzenie:

0x01 graphic

|MN|=y

|NO|=x

|MO|=r

z ∆MNO z tw. Pitagorasa

0x01 graphic

Aby otrzymać równanie okręgu o środku w punkcie S=(a,b), należy początkowy okrąg przesunąć o wektor [a,b]. Punkty (x',y') przesuniętego okręgu spełniają warunek:

0x01 graphic
lub 0x01 graphic

0x01 graphic

czyli

0x01 graphic

46. Zasada indukcji matematycznej, twierdzenia i zastosowanie

tw.

Jeżeli jakieś twierdzenie T(n) , w którym jest mowa o liczbie naturalnej jest prawdziwe dla liczby naturalnej n0 i jeżeli dla każdej liczby naturalnej 0x01 graphic
prawdziwa jest implikacja 0x01 graphic
, to twierdzenie T(n) jest prawdziwe dla każdej liczby naturalnej 0x01 graphic
.

Schemat dowodu metodą indukcji matematycznej:

I.

Sprawdzenie prawdziwości wzoru dla np. n=1 i n=2.

II.

Ułożenie założenia indukcyjnego (że dowodzone twierdzenie jest prawdziwe dla n=k)

III.

Postawienie tezy indukcyjnej (będzie udowadniane, że wzór jest prawdziwy dla wyrazu następnego czyli n=k+1, przy założeniu prawdziwości twierdzenia dla n=k).

IV.

Dowód.

Przykłady dowodów przeprowadzonych metodą indukcji matematycznej

przykład 1

przykład 2

przykład 3

przykład 4

47. Całka nieoznaczona, definicja, własności

W rachunku różniczkowym dla danej funkcji f(x) wyznaczało się f`(x). W rachunku całkowym wyznaczamy funkcję F(x), dla której znamy F'(x) tzn. wiadomo, że F'(x) = f(x), gdzie dane mamy f(x), a znaleźć należy F(x)

def. 1. funkcja pierwotna:

Funkcję pierwotną danej funkcji rzeczywistej f(x) w przedziale (a,b) nazywamy taką funkcję F(x), która ma własność:

F'(x) = f(x) dla 0x01 graphic

Przykład:

f(x) = cosx

0x01 graphic
ma funkcję pierwotną F(x) = sinx gdzie 0x01 graphic

bo F'(x) = cosx = f(x) dla 0x01 graphic

tw. 1.

Jeżeli f(x) ma w przedziale (a,b) funkcję pierwotną F(x) to f(x) ma w tym przedziale nieskończenie wiele tych funkcji pierwotnych. Każda z nich ma postać:

G(x) = F(x) + C, gdzie C jest dowolną stałą

Dowód:

W dowodzie wykażemy, że:

dot. pierwszego:

Z założenia twierdzenia wiadomo, że F(x) jest funkcją pierwotną dla f(x) w przedziale (a,b) tzn. F'(x) = f(x) w (a,b).

Weźmy G(x) = F(x) + C, C = const.

Wówczas G'(x) = [F(x) + C]' = F'(x) = f(x) dla 0x01 graphic

Czyli G(x) spełnia warunki definicji funkcji pierwotnej dla f(x)

dot. drugiego:

Weźmy dwie funkcje pierwotne dla f(x) w przedziale (a,b) daną F(x) i inna H(x)

tzn F'(x) = f(x) dla 0x01 graphic
H'(x) = f(x) dla 0x01 graphic

Zatem F'(x) - H'(x) = 0 dla 0x01 graphic

Zatem [F(x) - H(x)]' = 0 dla 0x01 graphic

Więc F(x) - H(x) + C, C = const

Czyli H(x) = F(x) + 0x01 graphic
, gdzie 0x01 graphic
= C (0x01 graphic
- stałą dowolna)

Tzn. każdą funkcję pierwotną H(x) funkcji f(x) można przedstawić w postaci F(x) + C, C = const, a F(x) jest wyróżnioną funkcją pierwotną.

def. 2. całka nieoznaczona

Całką nieoznaczoną danej funkcji f(x) w przedziale (a,b) nazywamy zbiór wszystkich jej funkcji pierwotnych.

Całkę nieoznaczoną zapisujemy symbolem0x01 graphic

Zatem 0x01 graphic
= F(x) + C, gdzie F(x) jest funkcją pierwotną funkcji f(x), czyli F'(x) = f(x) dla 0x01 graphic
zaś C - dowolna stała

0x01 graphic
= F(x) +C 0x01 graphic
F'(x) = f(x) , C=const

UWAGA! F(x) + C, C = const przedstawia rodzinę funkcji

tw. 2.:

Każda funkcja f(x) ciągła w przedziale (a,b) ma swoją funkcję pierwotną F(x) a więc ma swoją całkę nieoznaczoną w przedziale (a,b)

podstawowe wzory:

  1. 0x01 graphic

  2. 0x01 graphic

  3. 0x01 graphic
    dla dowolnej liczby rzeczywistej n0x01 graphic
    -1

  4. 0x01 graphic

  5. 0x01 graphic

  6. 0x01 graphic
    dla 0x01 graphic

  7. 0x01 graphic

  8. 0x01 graphic

  9. 0x01 graphic

  10. 0x01 graphic

  11. 0x01 graphic

  12. 0x01 graphic

  13. 0x01 graphic

  14. 0x01 graphic

  15. 0x01 graphic

  16. 0x01 graphic

Własności całki nieoznaczonej:

      1. Jeżeli istnieje całka 0x01 graphic
        , to (0x01 graphic
        )' = f(x)

      2. 0x01 graphic

      3. 0x01 graphic

      4. 0x01 graphic

48. Całka oznaczona, definicje, własności, zastosowanie.

def.

Wiemy, że jeżeli F(x) jest funkcją pierwotną funkcji f(x) ciągłej w pewnym przedziale, to każda funkcja pierwotna funkcji f(x) w tym przedziale ma postać F(x) + C, gdzie C jest stałą. Wynika stąd, że różnica

F(x2) - F(x1)

w punktach x2 i x1 rozpatrywanego obszaru jest taka sama dla każdej funkcji pierwotnej F funkcji f. Różnicę tę nazywamy całką oznaczoną funkcji f od x1 do x2 i oznaczamy symbolem

0x01 graphic
[A]

Mamy więc dla każdej funkcji f ciągłej w przedziale 0x01 graphic
:

0x01 graphic
[B]

co zapisujemy także

0x01 graphic
lub 0x01 graphic

i czytamy: całka oznaczona funkcji f(x) dx w granicach od x1 do x2 równa się F(x) z podstawieniem górnym x2 i dolnym xi.

Dokładna definicja całki oznaczonej jest bardziej rozbudowana:

Weźmy pod uwagę funkcję f(x), o której będziemy stale zakładali, że jest ograniczona w przedziale domkniętym 0x01 graphic
, tzn. dla 0x01 graphic
.

Dokonajmy różnych podziałów P1, P2,..., P, ... przedziału 0x01 graphic
na części. Niech podział Pm będzie osiągnięty przy pomocy nm - 1 liczb 0x01 graphic
, przy czym

0x01 graphic
,

gdzie dla ułatwienia oznaczyliśmy liczbę a jako 0x01 graphic
, a liczbę b jako 0x01 graphic
. Będziemy nazywali przedziały 0x01 graphic
, gdzie 0x01 graphic
, przedziałami cząstkowymi podziału 0x01 graphic
, a ich długości 0x01 graphic
oznaczali przez 0x01 graphic
. Niech 0x01 graphic
oznacza największą z liczb 0x01 graphic
, czyli długość najdłuższego przedziału cząstkowego podziału 0x01 graphic
. Ciąg podziałów 0x01 graphic
nazywamy normalnym ciągiem podziałów, jeżeli 0x01 graphic
.

Utwórzmy sumę 0x01 graphic
iloczynów wartości funkcji 0x01 graphic
w dowolnym punkcie 0x01 graphic
przedziału 0x01 graphic
przez długości 0x01 graphic
tych przedziałów przy podziale 0x01 graphic
:

0x01 graphic
[C]

Jeżeli ciąg 0x01 graphic
dla 0x01 graphic
jest zbieżny i do tej samej granicy przy każdym normalnym ciągu podziałów 0x01 graphic
niezależnie od wyboru punktów 0x01 graphic
, to funkcję 0x01 graphic
nazywamy funkcją całkowalną w przedziale 0x01 graphic
, a granicę ciągu [C] nazywamy całką oznaczoną funkcji0x01 graphic
w granicach od a do b i oznaczamy symbolem

0x01 graphic
[D]

Można wykazać, że jeżeli przy jakimś ciągu normalnym podziałów ciąg 0x01 graphic
ma granicę niezależną od wyboru punktów 0x01 graphic
, to funkcja 0x01 graphic
jest całkowalna.

Jednym z prostych sposobów tworzenia ciągu normalnego podziałów jest kolejne przepoławianie przedziałów cząstkowych; wówczas

0x01 graphic
, 0x01 graphic
.

Można również wykazać, że funkcja ciągła w przedziale domkniętym jest całkowalna, a nawet ogólniej, że funkcja ograniczona w przedziale domkniętym oraz ciągła w nim z wyjątkiem co najwyżej skończonej liczby punktów jest całkowalna.

Interpretacja geometryczna całki oznaczonej

0x08 graphic
Jeżeli w przedziale 0x01 graphic
jest 0x01 graphic
, to pole obszaru ograniczonego łukiem krzywej 0x01 graphic
, odcinkiem osi Ox oraz prostymi x = a i
x = b równa się całce oznaczonej

0x01 graphic


Jeżeli zaś w przedziale 0x01 graphic
jest 0x01 graphic
, to analogiczne pole równa się

0x01 graphic

Zawsze więc pole wyżej określonego obszaru można wyrazić całką oznaczoną

0x01 graphic

Przez 0x01 graphic
, gdzie a > b, rozumiemy całkę 0x01 graphic
.

Przyjmujemy również, że 0x01 graphic

Własności całki oznaczonej

  1. Addytywność całek oznaczonych względem przedziału całkowania.

0x01 graphic
[E]

  1. Stały czynnik można wyłączyć przed znak całki oznaczonej.

0x01 graphic
[F]

W szczególności, gdy k = -1

0x01 graphic

  1. Całka sumy równa się sumie całek.

0x01 graphic
[G]

Jest to tzw. addytywność całki względem funkcji podcałkowej.

Całka oznaczona posiada więc własność tzw. liniowości ( własność 2. i 3.). Wzory powyższe należy rozumieć w ten sposób, że z istnienia całek po prawej stronie wynika istnienie całki po lewej stronie oraz podana równość.

  1. Prawdziwy jest wzór:

0x01 graphic
[H]

gdzie K jest pewną liczbą, spełniającą nierówność 0x01 graphic
, przy czym m oznacza kres dolny, a M kres górny funkcji f(x) w przedziale 0x01 graphic
.

Na podstawie własności Darboux mówiącej, że funkcja ciągła przybiera wszystkie wartości pośrednie między swymi kresami górnym i dolnym, wzór ten może przyjąć postać

0x01 graphic
[I]

gdzie c jest pewną liczbą, spełniającą nierówność 0x01 graphic
, jeżeli funkcja podcałkowa f(x) jest ciągła w przedziale 0x01 graphic
.

  1. Całka jako funkcja górnej granicy.

Jeżeli funkcja f(t) jest ciągła w przedziale0x01 graphic
, to funkcja

0x01 graphic
[J]

jest ciągła i różniczkowalna względem zmiennej x w przedziale 0x01 graphic
i w każdym punkcie tego przedziału zachodzi związek

0x01 graphic
[K]

  1. Związek między całką oznaczoną a nieoznaczoną.

Jeżeli przez F(x) oznaczymy funkcję pierwotną funkcji f(x), ciągłej w przedziale 0x01 graphic
, tzn. jeżeli 0x01 graphic
, to ma miejsce wzór

0x01 graphic
, [L]

przy czym oczywiście różnica 0x01 graphic
nie zależy od stałej całkowania C.
Wzór [L] nazywamy wzorem Leibniza-Newtona.

Uwaga. Prawą stronę powyższego wzoru oznacza się symbolem

0x01 graphic
lub 0x01 graphic
[M]

  1. Całkowanie przez części dla całek oznaczonych.

Jeżeli u, v są funkcjami zmiennej x mającymi ciągłą pochodną, to

0x01 graphic
[N]

Jest to wzór na całkowanie przez części dla całek oznaczonych.

  1. Całkowanie przez podstawienie dla całek oznaczonych.

Jeżeli g'(x) jest funkcją ciągłą, g(x) funkcją rosnącą w przedziale 0x01 graphic
, a f(u) funkcją ciągłą w przedziale 0x01 graphic
, to zachodzi następujący wzór:

0x01 graphic
[O]

Jest to wzór na całkowanie przez podstawienie dla całek oznaczonych.

  1. Jeżeli funkcja g różni się od funkcji h, całkowalnej na odcinku 0x01 graphic
    , tylko dla skończenie wielu argumentów z tego przedziału, to funkcja g również jest całkowalna i

0x01 graphic
[P]

Wnioski:

1°. Funkcja nieciągła tylko dla skończenie wielu punktów przedziału0x01 graphic
i ograniczona w tym przedziale jest na nim całkowalna.

2°. Dla całkowalności funkcji ograniczonej w przedziale nie są istotne ani jej wartości, ani nawet określoność w końcach tego przedziału.

3°. Funkcja nieograniczona nie jest całkowalna (uwaga ta nie dotyczy tzw. całki niewłaściwej).

  1. Znajdowanie długości łuku krzywej 0x01 graphic
    w przedziale 0x01 graphic
    .

długość 0x01 graphic
gdzie 0x01 graphic
[R]

Dla krzywej danej w postaci parametrycznej x = x(t), y = y(t), 0x01 graphic
mamy:

0x01 graphic
gdzie 0x01 graphic
0x01 graphic
[S]

Interpretacja fizyczna:

1°. Wiemy, że prędkość v(t) punktu P poruszającego się po osi OS jest pochodną drogi s(t) względem czasu t.

Droga S(t) jest więc funkcją pierwotną prędkości; stąd

0x01 graphic

2°. Praca jako całka siły. Niech f(s) oznacza miarę na osi OS wektora siły działającej na masę umieszczoną w punkcie o współrzędnej s. Praca wykonana przez tę siłę na przesunięcie masy z położenia 0x01 graphic
w położenie 0x01 graphic
, równa jest całce funkcji f(s) od 0x01 graphic
do 0x01 graphic
.

praca 0x01 graphic

C

γ

b a

R

O

β

B

α c

A α

C'

B

β

c a

γ

C

α

A b

B

q

D

h p

C A

D

z

G

z y

r C

H

r

O y

u r

F

r

A

x

u

E

x

B

α

δ

γ

β

A

O B

r

C

β

δ γ

O

α

δ

A γ

B

C

O

A

B

0x01 graphic

C

E

F

O

A

D B

0x01 graphic

A

D

b c

C a B

a b

f1 f2

b c

a

c

f5

a c

f4 c

f3 b

b a

C

B' A'

O

A C' A” B

figura A figura B

1 2 4

h h h

3

a a a

są przystające

są przystające

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

ć

ć

ć

ć

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
TM od 1 do 25, Definicje i twierdzenia na ustny egzamin maturalny z matematyki
USTNA97M, Zakres wymaga˙ na ustny egzamin maturalny z matematyki - technikum 5-letnie - maj 1996
Odpowiedzi na ustny egzamin z przedsiębiorczości
pytania na ustny[1], Egzamin specjalizacja ginekologia i położnictwo
ZESTAW TEMATOW NA WEWNETRZNY EGZAMIN MATURALNY Z JEZYKA POLSKIEGO W ZESPOLE SZKOL TECHNICZNYCH IM
USTNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI, szkoła, Matura, Matura - Matematyka, Zadania maturalne
Prezentacja maturalna, Ustny egzamin dojrzałości z języka polskiego, Jakub Żyła
Zestaw maturalny 2 Ustny Egzaminujący
Zestaw maturalny 6 Ustny Egzaminujący
probny egzamin maturalny z matematyki bydgoszcz luty 2013
Arkusz maturalny z matematyki na poziomie podstawowym rozwiazania
ZESTAWY PONIEDZIALEK, EGZAMIN Z CHORÓB PŁUC, zestawy na ustny
460-470, materiały ŚUM, IV rok, Patomorfologia, egzamin, opracowanie 700 pytan na ustny
Zaktualizowane pytania na egzamin ustny, egzamin na rzeczoznawcę majątkowego
584-606, materiały ŚUM, IV rok, Patomorfologia, egzamin, opracowanie 700 pytan na ustny
Co uczeń powinien wiedzieć o egzaminie z matematyki., Matura, Matematyka
283-317, materiały ŚUM, IV rok, Patomorfologia, egzamin, opracowanie 700 pytan na ustny

więcej podobnych podstron