Tomasz Mierzwa 18.03.96

Adam Redzisz

grupa 29

SPRAWOZDANIE Z ĆWICZENIA “A4”

TEMAT:PROSTE DRGANIA HARMONICZNE :WAHADŁO MATEMATYCZNE I FIZYCZNE. WYZNACZANIE PRZYSPIESZENIA ZIEMSKIEGO I MOMENTU BEZWŁADNOŚCI.

Drganiami harmonicznymi prostymi nazywamy drgania odbywające się pod wpływem siły F proporcjonalnej do wychylenia x i przeciwnie skierowanej .

F=-kx

Współczynnik proporcjalności (k) o wymiarze [N*m^-1] nazywamy siłą kierującą. W przypadku drgań torsyjnych bryły sztywnej we wzorze powyższym siłę F należy zastąpić momentem siły M , a wychylenie x kątem skręcenia ( α ).

M=-D α

Współczynnik proporcjalnosci D o wymiarze [N*m*rad^-1] nazywamy momentem kierującym. Korzystając z równania ruchu obrotowego bryły sztywnej , moment siły można wyrazić wzorem M=Iε gdzie przez (I) oznaczono moment bezwładności, a przez (ε) przyspieszenie kątowe, które definiujemy jako druga pochodna kąta względem czasu.

Podstawiając ostatnie dwa wyrażenia do równania , otrzymamy :

i analogiczne równanie dla drgającego punktu o masie (m):

W równaniach dokonano dzielenia w pierwszym przez (I) , a w drugim przypadku przez (m) i wprowadzono (ω²) gdzie oznacza częstość kołową drgań otrzymując :

,

,

Równania powyższe nazywają się równaniami harmonicznymi prostymi. Są one równaniami różniczkowymi drugiego rzędu względem zmiennych (α,x) .rozwiązaniem powyższych równań są funkcje :

α=α₀cos(ωt+ϕ)

x=x₀cos(ωt+ϕ)

Wielkość (ϕ) nazywamy początkową lub przesunięciem fazowym , a wielkości (x₀,α₀) amplitudami. Funkcja cosinus jest funkcją periodyczną, powtarzającą się co 2π.

Można stąd wyznaczyć okres T, czyli czas, po którym funkcja cos ωt powraca do początkowej wartości:

cos[ω(t+T)]=cos(ωt+2π)

i

Z tych równań można obliczyć (g) dla wahadła matematycznego i (I) dla wahadła fizycznego

,

W wielu wypadkach dla ciał niejednorodnych lub o skomplikowanym kształcie posługujemy się wzorem na moment bezwładności , umieszczonym wyżej. Dla obliczenia momentu bezwładności względem osi przechodzącej przez środek masy możemy skorzystać z twierdzenia Steinera.

I = I_s + md²

I_s = I - md²

W ćwiczeniu wyznaczamy moment bezwładności I_s koła zamachowego i pierścienia. Dla pierścienia możemy skorzystać również ze wzoru, policzonego według całki.

I_s = 0.5m(r_w²+r_z²)

1. Wahadło Matematyczne

l=L-L₁ , , ,

_,

ΔL=0.001 , ΔT=0.2

Lp	L[m]	L1[m]	l[m]	t20[s]			t20sr[s]	T[s]	g[m/s^2] ± Δg	Δ[%]
1	5.97	0.648	5.322	93	92	92	92.33	4.62	9.86 ± 0.85	0.5
2	5.97	0.648	5.322	92.5	93	92.4	92.63	4.63	9.82 ± 0.86	0.1
3	5.97	0.648	5.322	92	93	92.4	92.47	4.62	9.86 ± 0.85	0.5
4	5.97	0.648	5.322	92.8	93	92.8	92.87	4.64	9.77 ± 0.84	0.4
5	5.97	0.648	5.322	93	92	92.4	92.47	4.62	9.86 ± 0.85	0.5

2. Wahadło Matematyczne Stożkowe

Obliczenia dla Δg wykonane zostały ze wzoru powyżej w podpunkcie(1)

Lp.	L[m]	L1[m]	l[m]	t20[s]			t20sr[s]	T[s]	g[m/s^2] ± Δg	Δ[%]
1	5.97	0.648	5.322	92.4	92	92.2	92.2	4.61	9.9 ± 0.86	0.9
2	5.97	0.648	5.322	92.5	92	92.2	92.23	4.61	9.9 ± 0.86	0.9
3	5.97	0.648	5.322	91.8	92	92.2	92	4.6	9.94 ± 0.865	1.3
4	5.97	0.648	5.322	92	92	92.2	92.07	4.604	9.93 ± 0.86	1.2
5	5.97	0.648	5.322	92.8	91.8	92.4	92.33	4.62	9.86 ± 0.85	0.5

G_kuli=mg

Lp.	r[m]	Frteor[N]	G1[N]	G2[N]	Frdos[N]	Gkuli[N]
1	0.10	0.243	0.167	0.147	0.314	12.92
2	0.15	0.364	0.167	0.265	0.432	12.92
3	0.20	0.486	0.167	0.363	0.530	12.92
4	0.25	0.607	0.167	0.491	0.657	12.92
5	0.30	0.728	0.167	0.638	0.804	12.92

3.Wahadło Fizyczne

Rodz.cial	m [kg]	rw [m]	rz [m]	dw [m]	dz [m]	T [s]	t50 [s]			t50śred. [s]
K.zam(d.s)	1.55	0.0697	xxxxxx	0.1394	xxxxxx	0.757	38	38.7	38.7	37.87
K.zam(m.s)	1.55	0.0217	xxxxxx	0.0433	xxxxxx	1.085	54	54.0	54.8	54.27
Pierścień	1.60	0.1037	0.1102	0.2074	0.2204	0.935	47	46.5	46.8	46.77

Pierścień

Okres pierścienia policzyliśmy analogicznie jak w wahadle matematycznym.

(ΔT=0.2[s], Δm=0.001[kg], Δd=0.0001[m])

Czyli I ± ΔI=0.03607 ± 0.0155 -moment bezwładności(doś.).Zmieściliśmy się w granicach błędu gdyż I_teo=I_s+md² gdzie I_s=0.5(r_w²+r_z²)=0.018318(teor.), I_teo=0.03552

=

=2.22x10^-5+4.98x10^-5+1.76x10^-5=8.96x10^-5

(I_teo+ΔI)=(3552±8.96)x10^-5

Chcąc obliczyć I_s (doś.) należy skorzystać ze wzoru:

0.03607-0.01721 ≈ 0.01886 (doś)

ΔI_s=≈ 0.01544

Również I_s doświadczalne mieści się w granicach błędu. We wszystkich obliczeniach d=r_w.

Koło zamachowe duże.

m=1.552 r_w=0.0697 T=0.7574

Obliczamy moment bezwładności dla koło zamachowego

≈ 0.01542 (doś)

Obliczamy błąd pomiarowy ( metodą różniczki zupełnej) jak wyżej (przy pierścieniu) ΔI=0.00818 czyli I=0.1542 ± 0.00818 (doś.) . Obliczamy I_s korzystając ze wzorów wykorzystanych przy pierścieniu

I_s=0.00788 ± 0.00815 (doś.)

Koło zamachowe małe

m=1.552 r_w=0.02165 T=1.0854

Obliczamy moment bezwładności dla koła zamachowego

ΔI=0.0037

Ostatecznie I=0.00984 ± 0.0037 (doś.)

Obliczamy I_s , I_s=0.00911 ± 0.0037 (doś.)

Pomiary, których dokonaliśmy zgadzają się (mieszczą się w granicach błędu) z wartościami teoretycznymi. Po wykonaniu ćwiczenia można wysnuć następujące wnioski:

• wahadło wytrącone ze stanu równowagi waha się w płaszczyźnie pionowej i jest to niewątpliwie ruch okresowy

• okres wahadła praktycznie nie zależy od amplitudy

• wychylenie α < 5°, gdyż powyżej tej granicy ruch przestaje być harmoniczny (dla małych kątów sinα = tgα = α)

• wahadło można zastosować do pomiaru czasu

• idealny przyrząd do mierzenia przyspieszenia ziemskiego g. (Zamiast wykonywać doświadczenie ze spadkiem swobodnym ciał wystarczy zmierzyć l i T).

• okres wahadła fizycznego jest niezależny od masy krążka

I = 0.5m(r_w² + r_z²) + Mr_w² = M[0.5(r_w² + r_z²) + r_w²]

[s] (dla pierścienia)

doświadczenie byłoby mniej monotonne, gdyby w zestawie do ćwiczenia znalazł się przyrząd do zliczania okresów wahadła (np.; fotokomórka)

5

---