Tomasz Mierzwa 18.03.96
Adam Redzisz
grupa 29
SPRAWOZDANIE Z ĆWICZENIA “A4”
TEMAT:PROSTE DRGANIA HARMONICZNE :WAHADŁO MATEMATYCZNE I FIZYCZNE. WYZNACZANIE PRZYSPIESZENIA ZIEMSKIEGO I MOMENTU BEZWŁADNOŚCI.
Drganiami harmonicznymi prostymi nazywamy drgania odbywające się pod wpływem siły F proporcjonalnej do wychylenia x i przeciwnie skierowanej .
F=-kx
Współczynnik proporcjalności (k) o wymiarze [N*m-1] nazywamy siłą kierującą. W przypadku drgań torsyjnych bryły sztywnej we wzorze powyższym siłę F należy zastąpić momentem siły M , a wychylenie x kątem skręcenia ( α ).
M=-D α
Współczynnik proporcjalnosci D o wymiarze [N*m*rad-1] nazywamy momentem kierującym. Korzystając z równania ruchu obrotowego bryły sztywnej , moment siły można wyrazić wzorem M=Iε gdzie przez (I) oznaczono moment bezwładności, a przez (ε) przyspieszenie kątowe, które definiujemy jako druga pochodna kąta względem czasu.
Podstawiając ostatnie dwa wyrażenia do równania , otrzymamy :
i analogiczne równanie dla drgającego punktu o masie (m):
W równaniach dokonano dzielenia w pierwszym przez (I) , a w drugim przypadku przez (m) i wprowadzono (ω2) gdzie oznacza częstość kołową drgań otrzymując :
,
,
Równania powyższe nazywają się równaniami harmonicznymi prostymi. Są one równaniami różniczkowymi drugiego rzędu względem zmiennych (α,x) .rozwiązaniem powyższych równań są funkcje :
α=α0cos(ωt+ϕ)
x=x0cos(ωt+ϕ)
Wielkość (ϕ) nazywamy początkową lub przesunięciem fazowym , a wielkości (x0,α0) amplitudami. Funkcja cosinus jest funkcją periodyczną, powtarzającą się co 2π.
Można stąd wyznaczyć okres T, czyli czas, po którym funkcja cos ωt powraca do początkowej wartości:
cos[ω(t+T)]=cos(ωt+2π)
i
Z tych równań można obliczyć (g) dla wahadła matematycznego i (I) dla wahadła fizycznego
,
W wielu wypadkach dla ciał niejednorodnych lub o skomplikowanym kształcie posługujemy się wzorem na moment bezwładności , umieszczonym wyżej. Dla obliczenia momentu bezwładności względem osi przechodzącej przez środek masy możemy skorzystać z twierdzenia Steinera.
I = Is + md2
Is = I - md2
W ćwiczeniu wyznaczamy moment bezwładności Is koła zamachowego i pierścienia. Dla pierścienia możemy skorzystać również ze wzoru, policzonego według całki.
Is = 0.5m(rw2+rz2)
1. Wahadło Matematyczne
l=L-L1 , , ,
,
ΔL=0.001 , ΔT=0.2
Lp |
L[m] |
L1[m] |
l[m] |
t20[s]
|
t20sr[s] |
T[s] |
g[m/s2] ± Δg |
Δ[%] |
||
1 |
5.97 |
0.648 |
5.322 |
93 |
92 |
92 |
92.33 |
4.62 |
9.86 ± 0.85 |
0.5 |
2 |
5.97 |
0.648 |
5.322 |
92.5 |
93 |
92.4 |
92.63 |
4.63 |
9.82 ± 0.86 |
0.1 |
3 |
5.97 |
0.648 |
5.322 |
92 |
93 |
92.4 |
92.47 |
4.62 |
9.86 ± 0.85 |
0.5 |
4 |
5.97 |
0.648 |
5.322 |
92.8 |
93 |
92.8 |
92.87 |
4.64 |
9.77 ± 0.84 |
0.4 |
5 |
5.97 |
0.648 |
5.322 |
93 |
92 |
92.4 |
92.47 |
4.62 |
9.86 ± 0.85 |
0.5 |
2. Wahadło Matematyczne Stożkowe
Obliczenia dla Δg wykonane zostały ze wzoru powyżej w podpunkcie(1)
Lp. |
L[m] |
L1[m] |
l[m] |
t20[s]
|
t20sr[s] |
T[s] |
g[m/s2] ± Δg |
Δ[%] |
||
1 |
5.97 |
0.648 |
5.322 |
92.4 |
92 |
92.2 |
92.2 |
4.61 |
9.9 ± 0.86 |
0.9 |
2 |
5.97 |
0.648 |
5.322 |
92.5 |
92 |
92.2 |
92.23 |
4.61 |
9.9 ± 0.86 |
0.9 |
3 |
5.97 |
0.648 |
5.322 |
91.8 |
92 |
92.2 |
92 |
4.6 |
9.94 ± 0.865 |
1.3 |
4 |
5.97 |
0.648 |
5.322 |
92 |
92 |
92.2 |
92.07 |
4.604 |
9.93 ± 0.86 |
1.2 |
5 |
5.97 |
0.648 |
5.322 |
92.8 |
91.8 |
92.4 |
92.33 |
4.62 |
9.86 ± 0.85 |
0.5 |
Gkuli=mg
Lp. |
r[m] |
Frteor[N] |
G1[N] |
G2[N] |
Frdos[N] |
Gkuli[N] |
1 |
0.10 |
0.243 |
0.167 |
0.147 |
0.314 |
12.92 |
2 |
0.15 |
0.364 |
0.167 |
0.265 |
0.432 |
12.92 |
3 |
0.20 |
0.486 |
0.167 |
0.363 |
0.530 |
12.92 |
4 |
0.25 |
0.607 |
0.167 |
0.491 |
0.657 |
12.92 |
5 |
0.30 |
0.728 |
0.167 |
0.638 |
0.804 |
12.92 |
3.Wahadło Fizyczne
Rodz.cial |
m [kg] |
rw [m] |
rz [m] |
dw [m] |
dz [m] |
T [s] |
t50 [s] |
t50śred. [s] |
||
K.zam(d.s) |
1.55 |
0.0697 |
xxxxxx |
0.1394 |
xxxxxx |
0.757 |
38 |
38.7 |
38.7 |
37.87 |
K.zam(m.s) |
1.55 |
0.0217 |
xxxxxx |
0.0433 |
xxxxxx |
1.085 |
54 |
54.0 |
54.8 |
54.27 |
Pierścień |
1.60 |
0.1037 |
0.1102 |
0.2074 |
0.2204 |
0.935 |
47 |
46.5 |
46.8 |
46.77 |
Pierścień
Okres pierścienia policzyliśmy analogicznie jak w wahadle matematycznym.
(ΔT=0.2[s], Δm=0.001[kg], Δd=0.0001[m])
Czyli I ± ΔI=0.03607 ± 0.0155 -moment bezwładności(doś.).Zmieściliśmy się w granicach błędu gdyż Iteo=Is+md2 gdzie Is=0.5(rw2+rz2)=0.018318(teor.), Iteo=0.03552
=
=2.22x10-5+4.98x10-5+1.76x10-5=8.96x10-5
(Iteo+ΔI)=(3552±8.96)x10-5
Chcąc obliczyć Is (doś.) należy skorzystać ze wzoru:
0.03607-0.01721 ≈ 0.01886 (doś)
ΔIs=≈ 0.01544
Również Is doświadczalne mieści się w granicach błędu. We wszystkich obliczeniach d=rw.
Koło zamachowe duże.
m=1.552 rw=0.0697 T=0.7574
Obliczamy moment bezwładności dla koło zamachowego
≈ 0.01542 (doś)
Obliczamy błąd pomiarowy ( metodą różniczki zupełnej) jak wyżej (przy pierścieniu) ΔI=0.00818 czyli I=0.1542 ± 0.00818 (doś.) . Obliczamy Is korzystając ze wzorów wykorzystanych przy pierścieniu
Is=0.00788 ± 0.00815 (doś.)
Koło zamachowe małe
m=1.552 rw=0.02165 T=1.0854
Obliczamy moment bezwładności dla koła zamachowego
ΔI=0.0037
Ostatecznie I=0.00984 ± 0.0037 (doś.)
Obliczamy Is , Is=0.00911 ± 0.0037 (doś.)
Pomiary, których dokonaliśmy zgadzają się (mieszczą się w granicach błędu) z wartościami teoretycznymi. Po wykonaniu ćwiczenia można wysnuć następujące wnioski:
wahadło wytrącone ze stanu równowagi waha się w płaszczyźnie pionowej i jest to niewątpliwie ruch okresowy
okres wahadła praktycznie nie zależy od amplitudy
wychylenie α < 5°, gdyż powyżej tej granicy ruch przestaje być harmoniczny (dla małych kątów sinα = tgα = α)
wahadło można zastosować do pomiaru czasu
idealny przyrząd do mierzenia przyspieszenia ziemskiego g. (Zamiast wykonywać doświadczenie ze spadkiem swobodnym ciał wystarczy zmierzyć l i T).
okres wahadła fizycznego jest niezależny od masy krążka
I = 0.5m(rw2 + rz2) + Mrw2 = M[0.5(rw2 + rz2) + rw2]
[s] (dla pierścienia)
doświadczenie byłoby mniej monotonne, gdyby w zestawie do ćwiczenia znalazł się przyrząd do zliczania okresów wahadła (np.; fotokomórka)
5