LABORATORIUM FIZYCZNE Grupa lab. 4 |
||
Kolejny nr æwiczenia: |
Nazwisko i imiê: |
Wydzia³ |
Symbol æwiczenia: |
Pawe³ Kobylarz |
Elektronika |
Temat: |
Data odrobienia æwiczenia: |
Semestr |
Wyznaczanie czasu |
94-04-18 |
II |
zderzenia kul sprê¿ystych |
Data oddania sprawozdania : |
Grupa st. |
|
|
V |
|
Podpis |
Ocena: |
|
asystenta: |
|
Badane zderzenia nie s¹ zderzeniami doskonale sprê¿ystymi. Zasada zachowania pêdu obowi¹zuje w zupe³noœci, ale zasady zachowania energii nie mo¿na tu odnosiæ tylko do energii kinetycznej, poniewa¿ ta nie jest zachowywana I zmienia siê w inne rodzaje energii: energie ciepln¹, energiê drgañ akustycznych.
Na podstawie obserwacji mo¿na by³o tylko okreœliæ, ¿e kule po odbiciu nie docieraj¹ do wysokoœci, z której by³y wypuszczane przed zderzeniem, co œwiadczy o tym, ¿e czêœæ energii kinetycznej zosta³a rozproszona.
Dok³adniejsze pomiary (których nie mo¿na by³o przeprowadziæ w danych warunkach) wskazuj¹, ¿e wzglêdna prêdkoœæ kul stalowych po zderzeniu zmniejsza siê o 45% w stosunku do prêdkoœci przed zderzeniem. Mimo tego podczas opracowywania wyników pomiarów zderzenia te bêdziemy traktowali jako zderzenia doskonale sprê¿yste.
Uk³ad doœwiadczalny sk³ada siê z ramki, w której znajduj¹ siê dwie kule na dr¹¿kach mog¹ce siê wahaæ w jednej p³aszczyŸnie. Na obu koñcach ramy, w p³aszczyŸnie wahania siê kul znajduj¹ siê elektromagnesy, które umo¿liwiaj¹ jednoczesne wypuszczenie kul po przerwaniu przep³ywu pr¹du w cewkach elektromagnesów. Puszczone kule zderzaj¹ siê, po czym mog¹ byæ powtórnie przyci¹gniête przez elektromagnesy.
Oprócz tego kule s¹ fragmentem innego obwodu elektrycznego, zawieraj¹cego oprócz nich obwód RC. Zderzaj¹c siê, kule powoduj¹ zamkniêcie tego obwodu i czêœciowe roz³adowanie siê kondensatora, tym wiêksze, im d³u¿szy jest czas zderzenia. Spadek napiêcia podczas zderzenia okreœla siê mierz¹c napiêcie przed zderzeniem i po nim. Na tej podstawie oblicza siê czas zderzenia (przyjmuj¹c, ¿e czas zderzenia jest równy czasowi roz³adowywania kondensatora):
T=RC ln(U0/U)
Nale¿y tutaj wspomnieæ, ¿e przyjêcie czasu przep³ywu pr¹du za czas zderzenia nie jest œcis³e (patrz dyskusja b³êdów), co potwierdzaj¹ wyniki II serii pomiarowej.
Przez kule powinien p³yn¹æ pr¹d tylko w momencie zderzenia, tote¿ bardzo wa¿ne jest odizolowanie ich od siebie: elektromagnesy musz¹ mieæ za³o¿on¹ izolacjê w miejscu stykania siê z kulami, a same kule musz¹ byæ zawieszone na ³o¿yskach umieszczonych w rowkach z materia³u izoluj¹cego.
U¿yty woltomierz mia³ bardzo du¿y opór wewnêtrzny i roz³adowywanie kondensatora przez woltomierz by³o pomijalnie ma³e. (Czas, w którym napiêcie spada³o o jedn¹ `podzia³kê' by³ pomijalnie ma³y w stosunku do czasu odczytu tego napiêcia). W zwi¹zku z tym b³¹d wprowadzany przez czas up³ywaj¹cy miêdzy dwoma odczytami mo¿na pomin¹æ.
Przy obliczaniu maksymalnej dzia³aj¹cej si³y mo¿na skorzystaæ z przybli¿enia I za³o¿yæ, ¿e podczas zderzenia kule poruszaj¹ siê ruchem jednostajnie opóŸnionym. Otrzymujemy wówczas wyra¿enia na maksymalne wgniecenie I na sta³¹ dzia³aj¹c¹ si³ê:
Prêdkoœæ kuli przed zderzeniem mo¿na obliczyæ ze wzoru:
Niestety, nie dysponowaliœmy mo¿liwoœci¹ bezpoœredniego mierzenia k¹ta, pod jakim by³y odchylone kule. K¹t obliczaliœmy na podstawie pomiarów odleg³oœci kul od osi obrotu, odleg³oœci miêdzy swobodnie zwisaj¹cymi kulami oraz odleg³oœci miêdzy kulami przyczepionymi do elektromagnesów. Z dwóch ostatnich pomiarów uzyskiwaliœmy wzglêdne przesuniêcie kul w poziomie, a nastêpnie mogliœmy obliczyæ k¹t korzystaj¹c z faktu, ¿e wzglêdne przesuniêcie w poziomie I odleg³oœæ kuli od osi obrotu stanowi¹ dwa boki trójk¹ta prostok¹tnego:
Pomiary:
Uwaga! Wszystkie napiêcia s¹ mierzone z dok³adnoœci¹ 0,075V
Pomiar czasu zderzeñ: Ró¿nice napiêæ przed i po zderzeniach. Po ka¿dym zderzeniu kondensator by³ ³adowany:
nr pomiaru |
napiêcie przed zderzeniem |
napiêcie po zderzeniu |
|
|||
1 |
10,2 |
7,5 |
0,74 |
|||
2 |
10,2 |
7,5 |
0,74 |
|||
3 |
10,05 |
7,5 |
0,746 |
|||
4 |
10,2 |
7,5 |
0,74 |
|||
5 |
10,2 |
7,425 |
0,7279 |
|||
6 |
10,05 |
7,35 |
0,7313 |
|||
7 |
10,05 |
7,425 |
0,73881 |
|||
8 |
10,2 |
7,65 |
0,75 |
|||
9 |
10,2 |
7,575 |
0,7426 |
|||
10 |
10,2 |
7,65 |
0,75 |
|||
11 |
10,2 |
7,575 |
0,7426 |
|||
12 |
10,2 |
7,575 |
0,7426 |
|||
13 |
9,9 |
7,5 |
0,76 |
|||
14 |
10,2 |
7,725 |
0,7574 |
|||
15 |
10,2 |
7,65 |
0,75 |
|||
16 |
10,35 |
7,65 |
0,7391 |
|||
17 |
10,2 |
8,25 |
0,809 |
|||
18 |
10,95 |
8,4 |
0,767 |
|||
19 |
10,35 |
7,95 |
0,7681 |
|||
20 |
10,35 |
7,95 |
0,7681 |
|||
Œredni spadek napiêcia po zderzeniu do |
|
|
0,75053 U0 |
|||
Czas zderzenia tych kul mo¿na obliczyæ korzystaj¹c ze wzoru
T=RC ln (U0/U)=8W*10-4F*ln(0,75)=2,3*10-4s
Obliczanie prêdkoœci kul przed zderzeniem:
odleg³oœæ œrodka ciê¿koœci od osi: 28,75 cm
odleg³oœæ miêdzy rozwartymi kulami 26 cm
odleg³oœæ po zetkniêciu kul: 10 cm
st¹d
Maksymalny parametr odkszta³cenia:
Maksymalna dzia³aj¹ca si³a:
II Seria pomiarowa:
Pomiar czasu zderzeñ dwóch kul: dwie kule stalowe po 4 kg ka¿da. Kondensator by³ na³adowany tylko raz, potem roz³adowywa³ siê podczas ka¿dego zderzenia:
|
U [V] |
Un/Un+1 |
Stan pocz¹tkowy |
10.35 |
------ |
po 1-szym zderzeniu |
7.725 |
0.746 |
po 2-gim |
5.925 |
0.767 |
po 3-cim |
4.575 |
0.772 |
po 4-tym |
3.6 |
0.787 |
po 5-tym |
2.775 |
0.771 |
po 6-tym |
2.175 |
0.784 |
po 7-mym |
1.65 |
0.758 |
œredni stosunek napiêæ przed i po zderzeniu |
0,769 |
|
Po ka¿dym zderzeniu wartoœæ napiêcia maleje wyk³adniczo (wykres). Jak widaæ, stosunkowy spadek napiêcia na kulach po ka¿dym zderzeniu jest w miarê sta³y (rozpiêtoœæ zaledwie 5%, co mo¿na uwa¿aæ za b³¹d pomiarowy). Jednak¿e œredni spadek napiêcia w tym przypadku ró¿ni siê dosyæ znacznie od obliczonego dla sta³ego napiêcia ³adowania kondensatora. Œredni czas zderzenia obliczony na podstawie tego pomiaru wynosi
T=2,1*10-4s
Daje to ró¿nicê czasów ok. 10%, mimo ¿e czas zderzenia w rzeczywistoœci nie uleg³ zmianie. Jedynym czynnikiem zmieniaj¹cym siê w tej serii pomiarowej jest napiêcie i to w³aœnie ró¿nica napiêæ jest powodem ró¿nych stosunków Un/Un-1. Patrz¹c na wyniki zamieszczone w powy¿szej tabeli wyraŸnie widaæ, ¿e im ni¿sze napiêcie, tym mniejszy stosunkowy spadek napiêcia (pojawiaj¹ce siê fluktuacje s¹ zapewne spowodowane b³êdami pomiarowymi). W pewnej mierze winê za to ponosi zjawisko przebicia dielektryka (patrz dyskusja b³êdów).
Obliczanie maksymalnego wgniecenia I maksymalnej dzia³aj¹cej si³y:
Pocz¹tkowe parametry zderzenia s¹ takie same, a wiêc prêdkoœci kul s¹ równie¿ takie same:
v0=0,47 m/s
Maksymalny parametr odkszta³cenia:
Maksymalna dzia³aj¹ca si³a:
III seria pomiarowa:
Zderzenie dwóch kul stalowych o ró¿nych masach: 4 kg i 2,3kg
nr pomiaru |
napiêcie przed zderzeniem [V] |
napiêcie po zderzeniu [ V ] |
U/U0 |
|||
1 |
10,2 |
7,5 |
0,74 |
|||
2 |
10,2 |
7,65 |
0,75 |
|||
3 |
10,35 |
7,65 |
0,7391 |
|||
4 |
10,2 |
7,8 |
0,76 |
|||
5 |
10,35 |
7,95 |
0,7681 |
|||
Œredni spadek napiêcia do |
|
|
0,7514 U0 |
|||
Czas zderzenia oblicza siê tak samo jak wy¿ej:
T = 2,28 s-4
Wynik ten bardzo niewiele ró¿ni siê od wyniku uzyskanego dla dwóch kul stalowych po 4 kg ka¿da
Obliczanie prêdkoœci kul przed zderzeniem:
odleg³oœæ œrodka ciê¿koœci od osi: 28,75 cm
odleg³oœæ miêdzy rozwartymi kulami 27 cm
odleg³oœæ po zetkniêciu kul: 9,5 cm
st¹d
Maksymalny parametr odkszta³cenia:
IV seria pomiarowa:
Badanie czasu zderzenia dwóch kul stalowych o masach 2,43 kg ka¿da
nr pomiaru |
napiêcie przed zderzeniem [V] |
napiêcie po zderzeniu [ V ] |
U/U0 |
||
1 |
10,35 |
8,55 |
0,8261 |
||
2 |
10,2 |
8,55 |
0,838 |
||
3 |
10,35 |
8,55 |
0,8261 |
||
4 |
10,2 |
8,55 |
0,838 |
||
Œredni spadek napiêcia do |
|
|
0,8321 U0 |
||
Czas zderzenia obliczamy jak wy¿ej. Otrzymujemy
T=1,47 s-4
Ten wynik ju¿ znacznie ró¿ni siê od poprzednich.
Obliczanie prêdkoœci kul przed zderzeniem:
odleg³oœæ œrodka ciê¿koœci kuli od osi: 28,75 cm
odleg³oœæ miêdzy rozwartymi kulami 28 cm
odleg³oœæ po zetkniêciu kul: 9 cm
st¹d
Maksymalny parametr odkszta³cenia:
Maksymalna dzia³aj¹ca si³a:
V Seria pomiarowa:
Badanie czasu zderzenia dwóch kul mosiê¿nych po 1,57 kg ka¿da
nr pomiaru |
napiêcie przed zderzeniem [V] |
napiêcie po zderzeniu [ V ] |
U/U0 |
||
1 |
10,35 |
8,25 |
0,7971 |
||
2 |
10,35 |
8,4 |
0,812 |
||
3 |
10,35 |
8,4 |
0,812 |
||
4 |
10,35 |
8,4 |
0,812 |
||
Œredni spadek napiêcia do |
|
|
0,8083 U0 |
||
Czas zderzenia obliczamy jak w poprzednich pomiarach. Otrzymujemy
T=1.7 s-4
Obliczanie prêdkoœci kul przed zderzeniem:
odleg³oœæ œrodka ciê¿koœci od osi: 28,75 cm
odleg³oœæ miêdzy rozwartymi kulami 29 cm
odleg³oœæ po zetkniêciu kul: 9 cm
st¹d
Maksymalny parametr odkszta³cenia:
Maksymalna dzia³aj¹ca si³a:
Dyskusja b³êdów:
Obliczanie b³êdu pojedyñczego pomiaru:
B³¹d pojedyñczego pomiaru jest sum¹ b³êdu wynikaj¹cego z klasy przyrz¹du (1,5) oraz b³êdu odczytu (0,075 V).
Mo¿na zauwa¿yæ, ¿e b³¹d ten jest stosunkowo du¿y w stosunku do b³êdu powodowanego samorzutnym roz³adowywaniem siê kondensatora. Podczas prób napiêcie na kondensatorze spada³o o najmniejsz¹ rozró¿nialn¹ podzia³kê (0,075 V) w czasie rzêdu sekund, czyli w czasie wystarczaj¹cym do odczytania wyników. W dodatku czas miêdzy puszczeniem kul a odczytem by³ w przybli¿eniu taki sam (odczyt zaraz po ustabilizowaniu siê wskazówki). Dlatego te¿ mo¿na ten b³¹d pomin¹æ.
Maksymalny b³¹d pojedyñczego pomiaru czasu:
B³¹d ten mo¿na obliczyæ metod¹ ró¿niczki zupe³nej:
Jest to b³¹d stosunkowo du¿y, siêgaj¹cy 25%. Uzyskane w pomiarach wyniki s¹ jednak znacznie dok³adniejsze dziêki wielokrotnemu powtarzaniu pomiarów.
B³¹d pope³niany przy opracowywaniu wyników wielokrotnych pomiarów mo¿na obliczyæ ze wzoru na b³¹d œredni kwadratowy:
Obliczenia s¹ dosyæ ¿mudne, wiêc do obliczeñ wykorzystaliœmy komputer:
Sumowanie danych:
U0 [V] U [V]
0.00 + 10.20 = 10.20 0.00 + 7.50 = 7.50
10.20 + 10.20 = 20.40 7.50 + 7.50 = 15.00
20.40 + 10.05 = 30.45 15.00 + 7.50 = 22.50
30.45 + 10.20 = 40.65 22.50 + 7.50 = 30.00
40.65 + 10.20 = 50.85 30.00 + 7.43 = 37.43
50.85 + 10.05 = 60.90 37.43 + 7.35 = 44.77
60.90 + 10.05 = 70.95 44.77 + 7.43 = 52.20
70.95 + 10.20 = 81.15 52.20 + 7.65 = 59.85
81.15 + 10.20 = 91.35 59.85 + 7.57 = 67.42
91.35 + 10.20 = 101.55 67.42 + 7.65 = 75.07
101.55 + 10.20 = 111.75 75.07 + 7.57 = 82.65
111.75 + 10.20 = 121.95 82.65 + 7.57 = 90.22
121.95 + 9.90 = 131.85 90.22 + 7.50 = 97.72
131.85 + 10.20 = 142.05 97.72 + 7.72 = 105.45
142.05 + 10.20 = 152.25 105.45 + 7.65 = 113.10
152.25 + 10.35 = 162.60 113.10 + 7.65 = 120.75
162.60 + 10.20 = 172.80 120.75 + 8.25 = 129.00
172.80 + 10.95 = 183.75 129.00 + 8.40 = 137.40
183.75 + 10.35 = 194.10 137.40 + 7.95 = 145.35
194.10 + 10.35 = 204.45 145.35 + 7.95 = 153.30
Wartosci srednie napiec:
U0 = 10.222 V U = 7.665 V
Sumowanie kwadratow odchylen:
(U0-U0i)2 [V2] (U-Ui)2 [V2]
+ 0.00051 = 0.0005 + 0.02722 = 0.0272
+ 0.00051 = 0.0010 + 0.02722 = 0.0544
+ 0.02976 = 0.0308 + 0.02722 = 0.0817
+ 0.00051 = 0.0313 + 0.02722 = 0.1089
+ 0.00051 = 0.0318 + 0.05760 = 0.1665
+ 0.02976 = 0.0615 + 0.09922 = 0.2657
+ 0.02976 = 0.0913 + 0.05760 = 0.3233
+ 0.00051 = 0.0918 + 0.00022 = 0.3235
+ 0.00051 = 0.0923 + 0.00810 = 0.3316
+ 0.00051 = 0.0928 + 0.00022 = 0.3319
+ 0.00051 = 0.0933 + 0.00810 = 0.3400
+ 0.00051 = 0.0938 + 0.00810 = 0.3481
+ 0.10401 = 0.1978 + 0.02722 = 0.3753
+ 0.00051 = 0.1983 + 0.00360 = 0.3789
+ 0.00051 = 0.1988 + 0.00022 = 0.3791
+ 0.01626 = 0.2151 + 0.00022 = 0.3793
+ 0.00051 = 0.2156 + 0.34223 = 0.7216
+ 0.52926 = 0.7449 + 0.54023 = 1.2618
+ 0.01626 = 0.7611 + 0.08123 = 1.3430
+ 0.01626 = 0.7774 + 0.08123 = 1.4242
Obliczanie DU0 i DU :
DU0 = 0.045 [V] DU = 0.061 [V]
Obliczanie DT :
DT = 5.3196920750E-06 [s]
DT = 5.32*10-6 s
Zgodnie z oczekiwaniami b³¹d pope³niany przy wielokrotnych pomiarach jest znacznie mniejszy. Mimo to powinien byæ jeszcze mniejszy.
Przy szacowaniu b³êdów braliœmy pod uwagê ró¿nicê miêdzy kolejnymi pomiarami a wartoœci¹ œredni¹. Zawy¿y³o to znacznie obliczony b³¹d, poniewa¿ na wynik pomiaru maj¹ wp³yw nie tyle bezwzglêdne wartoœci mierzonych napiêæ, co ich stosunek. Natomiast podczas pomiarów zdarza³o siê, ¿e kondensator ³adowa³ siê pocz¹tkowo do ró¿nych napiêæ (niestabilne Ÿród³o zasilania ?) , natomiast napiêcie koñcowe powtarza³o proporcjonalnie wszystkie fluktuacje. Przyjrzawszy siê tabeli z wynikami I serii pomiarowej mo¿emy stwierdziæ, ¿e stosunek napiêæ (a wiêc tak¿e wynik pomiaru) cechuje siê znacznie wiêksz¹ stabilnoœci¹ I zapewne mniejszymi odchyleniami kwadratowymi ni¿ bezwzglêdne wartoœci napiêæ.
W I serii pomiarowej mo¿na jeszcze przyj¹æ taki sposób obliczania, ale w II spowodowa³by on katastrofalne skutki: Napiêcie zmienia siê znacznie dla ka¿dego pomiaru, natomiast stosunek napiêæ waha siê wokó³ wartoœci œredniej w granicach 3% jej wartoœci.
B³êdy systematyczne:
B³¹d wprowadzony przez zjawisko przebicia dielektryka:
Zjawisko przebicia dielektryka polega na utracie zdolnoœci izolacyjnych dielektryka po przekroczeniu pewnego natê¿enia pola elektrycznego. Dielektryk zachowuje siê wówczas jak przewodnik. Zjawisko to wystêpuje w powietrzu po przekroczeniu natê¿enia pola równego 3*106 V/m.
W doœwiadczeniu mierzymy czas zderzenia kul obliczaj¹c czas, przez który p³ynie pr¹d. Jednak czas zderzenia kul i czas, przez który p³ynie pr¹d nie s¹ równe: pr¹d zaczyna p³yn¹æ ju¿ zanim kulki siê zetkn¹, a przestaje p³yn¹æ po pewnym czasie od chwili rozdzielenia siê kul.
Dla przyk³adu obliczmy wprowadzany b³¹d dla najczêœciej wystêpuj¹cych danych (dane mocno zaokr¹glone):
napiêcie przed zderzeniem 10V
napiêcie po zderzeniu 8V
prêdkoœæ wzglêdna przed zderzeniem 0,95m/s
prêdkoœæ wzglêdna po zderzeniu 0,5m/s
(Prêdkoœæ wzglêdna po zderzeniu jest s³uszna dla stali. Wspó³czynnik restytucji dla stali, czyli stosunek wzglêdnych prêdkoœci po i przed zderzeniem wynosi 0,55)
Natê¿enie pola powoduj¹ce przebicie wynosi 3*106 V, a wiêc odleg³oœæ miêdzy kulkami, poni¿ej której zaczyna p³yn¹æ pr¹d, wynosi 3,3*10-6m dla napiêcia 10V I 2,7*10-6m dla napiêcia 8V. Zatem przed zderzeniem pr¹d bêdzie p³yn¹³ przez czas 3,5*10-6s, a po zderzeniu przez 2,7*10-6s, co w sumie daje 8,8*10-6s, czyli b³¹d ok 4%.
Taki b³¹d tylko czêœciowo mo¿e t³umaczyæ du¿e rozbie¿noœci miêdzy pomiarami dla ró¿nych napiêæ pocz¹tkowych. Byæ mo¿e wchodz¹ tu w grê jeszcze inne zjawiska zachodz¹ce na krawêdzi zderzenia, np drgania.
B³êdy wprowadzane przez przyjêty model:
B³êdy te nie dotycz¹ pomiarów czasu zderzenia, a jedynie oszacowañ maksymalnego wgniecenia I maksymalnej dzia³aj¹cej si³y. Przyjêliœmy model, w którym ruch zderzaj¹cych siê kul jest jednostajnie opóŸniony, a wiêc si³a dzia³aj¹ca miêdzy kulami jest sta³a. W rzeczywistoœci dzia³aj¹ca si³a wyra¿a siê wzorem
Gdzie n jest parametrem bardzo nieznacznie zmieniaj¹cym siê wraz z odkszta³ceniem.
Zmianê pêdu mo¿na wyraziæ jako ca³kê si³y po czasie. Aby w takim samym czasie zmieniæ pêd o tak¹ sam¹ wartoœæ, si³a ta musi mieæ naturalnie wiêksz¹ wartoœæ maksymaln¹ od sta³ej si³y. Analiza numeryczna (ca³kowanie metod¹ prostok¹tów) da³a zdumiewaj¹cy wynik: Rzeczywista si³a maksymalna powinna byæ 1,8 raza wiêksza od si³y modelowanej (patrz rysunek).
Podobnie ma siê rzecz z maksymalnym wgnieceniem, chocia¿ w tym przypadku trudno o jakieœ proste kryterium, pokazuj¹ce, ile razy oszacowanie jest zawy¿one czy zani¿one.
Wed³ug przyjêtego modelu zderzaj¹ce siê kule poruszaj¹ siê ruchem jednostajnie opóŸnionym. W rzeczywistoœci na pocz¹tku I na koñcu zderzenia kule doznaj¹ minimalnego przyœpieszenia, natomiast w chwili, gdy osi¹gaj¹ maksymalne odkszta³cenie, doznaj¹ równie¿ maksymalnego przyœpieszenia. Pozwala im to przebyæ d³u¿sz¹ drogê w tym samym czasie, a wiêc w rzeczywistoœci maksymalne wgniecenie jest wiêksze ni¿ obliczone na podstawie modelu.