Katedra Geodezji Wyższej i Astronomii Geodezyjnej
Ćwiczenie nr 1
Łukasz Makowski Semestr VII grupa A Rok akademicki 2007/08	Data wydania:10-03-2008 Data zwrotu:07-04-2008

Zadanie 1:

Wyprowadzić wzór na potencjał grawitacyjny i siłę przyciągania kuli jednorodnej o promieniu R i gęstości μ w przestrzeni wewnętrznej i zewnętrznej, jednorodnej warstwy kulistej o promieniach r i R.. Następnie zbadać zachowanie się następujących parametrów:

-potencjału

-pierwszych pochodnych i drugich pochodnych względem promienia.

Odległość punktu P od powierzchni kuli możemy otrzymać ze wzoru Carnota

r²=R² + ρ ²-2*R* ρ*cosφ

Wycinek kuli o masie dm można zapisać

Potencjał kuli jednorodnej o promieniu R i gęstości μ na zewnątrz kuli

Potencjał kuli jednorodnej o promieniu R i gęstości μ wewnątrz kuli

We wzorze na V_WEW należało zsumować potencjał jaki wytwarza część wewnętrzna względem punktu P^' (V=GM/ρ) oraz część zewnętrzna czyli warstwa kulista o promieniu R-ρ

Potencjał warstwy kulistej o promieniach R i r i gęstości μ na zewnątrz i siła przyciągania

Należy scałkować wzór
względem R w granicach od R do r, gęstość powierzchniową należy zastąpić gęstością objętościową

bo
to masa warstwy kulistej

Potencjał warstwy kulistej o promieniach R i r i gęstości μ wewnątrz i siła przyciągania

Badanie ciągłości potencjału

Potencjał przy przechodzeniu przez powierzchnie zachowuje ciągłość

Badanie ciągłości pierwszych pochodnych

Pierwsze pochodne są ciągłe

Badanie ciągłości drugich pochodnych

Drugie pochodne nie są ciągłe

Zadanie 2:

Powierzchnia ekwipotencjalna sferoidy wytwarza wirujący układ 10 maskonów rozmieszczony na osiach współrzędnych w odległościach symetrycznych względem początku układu współrzędnych. Spłaszczenie zewnętrznej powierzchni ekwipotencjalnej α=1/30 a jej promień równikowy a=4d. Wyznaczyć spłaszczenie grawimetryczne na tej sferoidzie; zachować dokładność do wyrazu α².

1. główny moment bezwładności osi x

2. główny moment bezwładności osi y

3. główny moment bezwładności osi z

A=B - gdy jest symetryczne

, gdzie: m-masa, r - odległość od środka układu

, gdzie: n - liczba maskonów,

po rozwiązaniu równania kwadratowego otrzymujemy 2 rozwiązania q=-0,076 oraz q=0,737

po podstawieniu odpowiednich wartości otrzymujemy następujące rozwiązania

oraz

Prawidłowym rozwiązaniem jest
ponieważ spłaszczenie nie może być ujemne.

Zadanie 3:

W zestawieniu podano stałe fundamentalne systemu danych geodezyjnych. Skonstruować prawo rozkładu przyspieszenia normalnego na powierzchni elipsoidy ziemskiej. Podać błąd średni przyśpieszenia normalnego na równiku tego modelu

IAG 1983(Hamburg)

Wynik końcowy-wzór na przyśpieszenie normalne

Rachunek został przeprowadzony w arkuszu kalkulacyjnym Excel wyniki podane zostały z dokładnością do 9 cyfr znaczących, ponieważ przyśpieszenie podaje się z dokładnością do 1 μGal.

Obliczone parametry:

OBLICZENIA
q	0,00346143
γe	9,7803278
Uo	62636862,166
Ro	6363671,954
α	0,00335282
e^2	0,00669439
β	0,00530255
J4	-0,00000237
β4	0,00000585

W celu sprawdzenia poprawności wyników została również przeprowadzona kontrola:

KONTROLA
Wielkość	Kontrola	Obliczone	Residua
2α-α^2	6,69440E-03	6,69439E-03	1,23279E-08
Ro	6,36367E+06	6,36367E+06	-4,89864E-02
α+β	8,65537E-03	8,65537E-03	0,00000E+00
J4	-2,37091E-06	-2,36761E-06	-3,29826E-09
β1	5,84980E-06	5,85073E-06	-9,25886E-10
GM	3,98600E+14	3,98600E+14	-4,56195E+06

Końcowy wzór przedstawia się następująco:

określenie błędu średniego przyspieszenia na równiku, znając wartości błędów względnych

Zadanie 4:

W zestawieniu przyśpieszenie siły ciężkości zaobserwowane na powierzchni Ziemi. Opracować wzór na przyśpieszenie normalne w myśl koncepcji Helmerta. Dane obejmują wyznaczenia na punktach sieci IGSN'71

Lp	B	H[m]	h[m]	mGal
1	38^o43'	76	0	980089,6
2	1^o15'	1636	0	977540,0
3	64^o37'	0	5011	982267,2
4	40^o01'	0	245	980264,2
5	42^o34'	92	100	980320,5
6	43^o54'	823	21	980293,3

Zadanie polegało na wyprowadzeniu wzoru przyśpieszenie normalne najlepiej dopasowane do wartości siły ciężkości w tej sieci światowej.

Dla każdego z sześciu punktów wyznaczyłem redukcje wolnopowietrzną (a właściwie ich odwrotności, gdyż przenosimy γ z powierzchni elipsoidy poziomej do punktów pomiarowych). Dla niektórych punktów należało również wyznaczyć redukcje `odwrotne'(tj. z przeciwnym znakiem) do redukcji Bougera, stosując odpowiednie współczynniki
σ (gęstość).

Dla każdego z równań ułożyłem równanie według wzoru:

za x podstawiłam
, w celu uzyskania większej dokładności

za y podstawiłam

Otrzymałem następujące wyniki:

Ostatecznie otrzymałem:

---