AMII, am2.1 Szeregi liczbowe, SZEREGI LICZBOWE


Szeregi liczbowe

Niech 0x01 graphic
będzie dowolnym ciągiem liczb rzeczywistych.

Definicja

Szeregiem liczbowym o wyrazach 0x01 graphic
nazywamy ciąg 0x01 graphic
, zwany ciągiem sum częściowych, gdzie

0x01 graphic
dla 0x01 graphic

Szereg oznaczamy

0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic

Szereg nazywamy zbieżnym, jeżeli ciąg sum częściowych 0x01 graphic
jest zbieżny.

Jeżeli

0x01 graphic
,

to liczbę S nazywamy sumą szeregu, piszemy 0x01 graphic
.

Szereg nazywamy rozbieżnym, jeżeli nie jest zbieżny.

Jeżeli ciąg sum częściowych jest rozbieżny do 0x01 graphic
, to mówimy, że szereg jest rozbieżny do0x01 graphic
i piszemy 0x01 graphic
.

Szereg nazywamy bezwzględnie zbieżnym, jeżeli szereg 0x01 graphic
jest zbieżny.

Szereg zbieżny nazywamy warunkowo zbieżnym, gdy szereg0x01 graphic
jest rozbieżny.

czyli szereg warunkowo zbieżny jest zbieżny, ale nie jest bezwzględnie zbieżny.

Tw. (warunek konieczny zbieżności szeregu)

Jeżeli szereg0x01 graphic
jest zbieżny, to 0x01 graphic
.

Wniosek

Jeżeli 0x01 graphic
, to szereg 0x01 graphic
jest rozbieżny.

Tw. (warunek Cauchy'ego zbieżności szeregu)

Szereg 0x01 graphic
jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy

0x01 graphic

WAŻNE SZEREGI

Szereg geometryczny

0x01 graphic

Szereg geometryczny o ilorazie bezwzględnie mniejszym od 1 jest zbieżny. 0x01 graphic

Szereg harmoniczny

0x01 graphic

Szereg harmoniczny jest rozbieżny, a ciąg jego sum częściowych rośnie do 0x01 graphic
.

Szereg harmoniczny rzędu r , (uogólnony szereg harmoniczny z wykładnikiem r)

0x01 graphic

Szereg 0x01 graphic
jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy 0x01 graphic
.

Dla 0x01 graphic
szereg 0x01 graphic
jest rozbieżny.

Szereg anharmoniczny

0x01 graphic

Szereg anharmoniczny jest zbieżny.

Tw. działania na szeregach

Jeżeli szeregi 0x01 graphic
, 0x01 graphic
są zbieżne, to

a) szeregi 0x01 graphic
są zbieżne oraz

0x01 graphic

b) szereg 0x01 graphic
, 0x01 graphic
jest zbieżny

0x01 graphic

Kryteria zbieżności szeregów

Szeregi o wyrazach nieujemnych

TW .

Jeżeli ciąg sum częściowych szeregu o wyrazach nieujemnych jest ograniczony z góry, to szereg jest zbieżny.

Tw. Kryterium porównawcze zbieżności szeregów

Jeżeli wyrazy szeregów 0x01 graphic
, 0x01 graphic
są nieujemne oraz dla prawie wszystkich liczb naturalnych spełniona jest nierówność0x01 graphic
, to

1) jeżeli szereg 0x01 graphic
jest zbieżny, to szereg 0x01 graphic
jest zbieżny;

2) jeżeli szereg 0x01 graphic
jest rozbieżny, to szereg 0x01 graphic
jest rozbieżny.

Tw. Kryterium ilorazowe (d'Alamberta)

Jeżeli wyrazy szeregu 0x01 graphic
są dodatnie oraz 0x01 graphic
, to

dla 0x01 graphic
szereg jest zbieżny,

dla 0x01 graphic
szereg jest rozbieżny.

Tw. Kryterium pierwiastkowe (Cauchy'ego)

Jeżeli wyrazy szeregu 0x01 graphic
są nieujemne oraz 0x01 graphic
, to

dla 0x01 graphic
szereg jest zbieżny,

dla 0x01 graphic
szereg jest rozbieżny.

Uwaga

Kryterium Cauchy'ego jest silniejsze od kryterium d'Alamberta. Jeśli kryterium ilorazowe rozstrzyga o zbieżności szeregu, to i kryterium pierwiastkowe także rozstrzyga.

Szeregi o wyrazach dowolnych

Szereg postaci 0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
nazywamy szeregiem naprzemiennym.

0x01 graphic

Wyrazy tego szeregu są naprzemian dodatnie i ujemne.

Tw. Kryterium Leibniza

Jeżeli ciąg 0x01 graphic
jest nierosnący oraz 0x01 graphic
, to szereg naprzemienny 0x01 graphic
jest zbieżny

oraz 0x01 graphic
.

Zbieżność bezwzględna i warunkowa

TW:

Jeżeli szereg 0x01 graphic
jest zbieżny, to szereg 0x01 graphic
jest zbieżny.

tzn.

Jeżeli szereg jest zbieżny bezwzględnie, to jest zbieżny.

Twierdzenie odwrotne nie zachodzi.

Uwaga!

Jeżeli szereg jest zbieżny bezwzględnie, to dowolna zmiana kolejności wyrazów lub łączenie wyrazów w grupy - nie narusza zbieżności szeregu ani nie zmienia jego sumy.

Jeżeli szereg jest warunkowo zbieżny, to zmieniając kolejność wyrazów można otrzymywać szeregi o różnych sumach lub szeregi rozbieżne.

Zadania zrobione na wykładzie

Zad.1 Z definicji zbadaj zbieżność szeregu a) 0x01 graphic
, b) 0x01 graphic

Odp.0x01 graphic
, 0x01 graphic

Zad.2 Obliczyć sumę szeregu 0x01 graphic

Zad.3 Wykazać rozbieżność szeregu 0x01 graphic
0x01 graphic

Szereg rozbieżny gdyż nie spełnia warunku koniecznego zbieżności 0x01 graphic

zad.4 Zbadaj zbieżność szeregów z kryterium porównawczego 0x01 graphic
, b) 0x01 graphic

a) szereg rozbieżny, b) szereg zbieżny

zad.5 Zbadaj zbieżność szeregów

0x01 graphic
odp. szereg zbieżny z kryterium ilorazowego.

0x01 graphic
odp. szereg zbieżny z kryterium pierwiastkowego.

Zad.6 Wykazać, że szereg anharmoniczny spełnia kryterium Leibniza.



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
am2 1 Szeregi liczbowe id 58796 Nieznany (2)
AM2 3 Szeregi Fouriera
AM2 2 Szeregi potęgowe
AM2 3 Szeregi Fouriera
AMII, am2.11b, ZAMIANA ZMIENNYCH W CAŁCE POTRÓJNEJ
AMII, am2.13, Zadanie 3
AMII, am2.4, WYKŁAD 4
AMII, am2.7b, POCHODNA FUNKCJI ZŁOŻONEJ
AMII, am2.11a, CAŁKA PODWÓJNA W PROSTOKĄCIE
AMII, am2.11a, CAŁKA PODWÓJNA W PROSTOKĄCIE
AMII, am2.5, Definicja
AMII, am2.3, Konspekt 1
AMII, am2.14
AMII, am2.10
AMII, am2.8
am4 Szeregi liczbowe, Informatyka i Ekonometria SGGW, Semestr 1, Analiza Matematyczna, materialy od

więcej podobnych podstron