1 EE-DI 12.03.2012

Laboratorium z fizyki

Ćw. Nr 21:

„Wyznaczanie pojemności kondensatora i stałej czasowej obwodu z krzywej rozładowania kondensatora”

Mateusz Boruta

L1

1. Zagadnienia wstępne

Pole elektryczne to stan przestrzeni otaczającej ładunki elektryczne lub zmienne pole magnetyczne. Działa na ładunki znajdujące się w jego zasięgu siłą wprost proporcjonalną do wektora natężenia pola i do wartości tych ładunków.

Natężenie pola elektrycznego
jest równe sile działającej na jednostkowy dodatni ładunek próbny, co matematycznie wyraża się jako stosunek siły, z jaką pole elektrostatyczne działa na ładunek elektryczny, do wartości tego ładunku. Jednostką natężenia pola jest
, czyli inaczej
. Natężenie pola elektrycznego obrazuje się, rysując linie sił pola (linie styczne do wektora siły działającej na ładunek dodatni), których gęstość odzwierciedla lokalne natężenie pola. Nośniki ładunku znajdujące się w przewodniku umieszczonym w polu elektrycznym znajdują się w równowadze, jeśli:

- natężenie pola w każdym punkcie jest równe 0,

- natężenie pola w każdym punkcie jest prostopadłe do powierzchni przewodnika.

Potencjał pola elektrycznego
jest skalarnym polem opisującym pole elektryczne. Jest to stosunek pracy wykonanej przez siłę elektryczną przy przenoszeniu ładunku q z tego punktu do nieskończoności, do wartości tego ładunku. Jednostką potencjału jest V (
).

Kondensatorem nazywamy układ dwóch przewodników (zwanych okładkami kondensatora) rozdzielonych dielektrykiem. Jeżeli ładujemy kondensator, tj. zwiększamy ładunek Q zgromadzony na jego okładkach, rośnie również różnica potencjałów (napięcie) U między okładkami kondensatora, przy czym iloraz Q/U pozostaje stały. Iloraz Q/U jest więc wielkością charakterystyczną dla danego kondensatora i nazywamy go pojemnością kondensatora:

.

Pojemność kondensatora zależy od jego rozmiarów geometrycznych oraz od rodzaju wypełniającego go dielektryka. Jednostką pojemności w układzie SI jest farad. Przewodnik ma pojemność 1F, gdy zgromadzony na nim ładunek 1C wytwarza potencjał 1V. W praktyce stosowane są mili-, mikro-, nano- i pikofarady.

Natężenie pola elektrycznego wewnątrz kondensatora wyraża się wzorem
. Dla kondensatora płaskiego
, gdzie d to odległość między okładkami. Z powyższych wzorów można wyprowadzić wzór na pojemność płaskiego kondensatora próżniowego:
. Pojemność próżniowego kondensatora cylindrycznego wynosi
, a kulistego
.

Umieszczenie wewnątrz kondensatora dielektryka powoduje zwiększenie pojemności kondensatora
razy. Współczynnik
jest nazywany względną przenikalnością dielektryka i informuje, ile razy przenikalność elektryczna danej substancji jest większa od przenikalności próżni.

Ładowanie kondensatora w powyższym układzie odbywa się po ustawieniu przełącznika K w pozycji 1. Początkowe napięcie na kondensatorze będzie wynosiło 0, a przepływający prąd spowoduje stopniowe gromadzenie się ładunku na okładkach:

,
.

Napięcie będzie rosło z czasem

I
,
.

Zgodnie z II prawem Kirchhoffa:

,

Z czego po przekształceniach otrzymamy natężenie prądu ładowania:

I napięcie między okładkami kondensatora w trakcie ładowania:

Rozładowanie następuje po przełączeniu klucza K w pozycję 2. W chwili początkowej napięcie na kondensatorze wynosi
. Po upływie czasu t ładunek na kondensatorze maleje i napięcie wyraża się wzorem
, a natężenie wyraża się taką samą zależnością, jak w przypadku ładowania:
.

Iloczyn RC ma wymiar czasu i jest nazywany stałą czasową równania:
. Dla
prąd ładowania maleje e-krotnie:
.

Natężenie prądu rozładowania można też przedstawić w postaci:

, gdzie
jest nazywane częstotliwością relaksacji.

2. Wykonanie ćwiczenia

1. łączę obwód według podanego schematu,
   

2. ustawiam przełącznik K w pozycji 1 w celu naładowania kondensatora i ustawiam taką wartość oporu R, aby natężenie prądu osiągnęło maksymalną możliwą do odczytu wartość przy pomocy zastosowanego amperomierza,

3. przestawiam przełącznik K w pozycję 2 i jednocześnie włączam sekundomierz. Mierzę czasy, po których natężenie spada o wartość podaną przez prowadzącego (
   ),

4. zapisuję wyniki w tabeli pomiarowej

3. Obliczenia

1. Sporządzić wykresy zależności prądu rozładowania od czasu
   oraz
   .

2. Wartość ładunku zgromadzonego na okładkach kondensatora obliczyć wyznaczając wartość pola powierzchni zawartego między osią czasu a krzywą
   .

3. Wyznaczyć pojemność kondensatora z zależności
   .

4. Obliczyć stałą czasową obwodu:

1. Na podstawie wykresu
   korzystając z definicji stałej czasowej

2. Z zależności
   

3. Korzystając z wykresu
   poprzez wyznaczenie współczynnika kierunkowego tej prostej. Przedyskutować otrzymane wyniki.

5. Na wykresie
   zaznaczyć niepewności pomiarowe. Niepewność pomiaru natężenia prądu obliczyć na podstawie klasy przyrządu pomiarowego i niepewności odczytu. Uwzględnić również fakt, że
   gdy
   . Pomiary są przeprowadzone w skończonym czasie, w którym natężenie prądu nie spada do zera - wpływa to na niepewność wyznaczenia ładunku. Niepewność wyznaczenia pojemności kondensatora obliczyć metodą różniczki zupełnej.

6. Przy wyznaczaniu stałej czasowej obwodu z zależności
   dopasować, korzystając z metody najmniejszych kwadratów, do uzyskanych wyników prostą. Na podstawie nachylenia prostej wyznaczyć stałą czasową obwodu. Wyznaczyć odchylenia standardowe
   ,
   parametrów prostej.

4. Tabela pomiarowa

U	R		t	I

Ładunek zgromadzony na okładkach kondensatora wyznaczamy licząc pole powierzchni pod krzywą I = f(t) jako sumę pól trapezów wyznaczonych przez punkty pomiarowe.

Pojemność badanego kondensatora wynosi:

Stałą czasową obliczamy na trzy sposoby

1. stała czasowa obwodu to czas, dla którego prąd ładowania maleje e-krotnie. Zatem na podstawie wykresu I=f(t) można odczytać, że stała czasowa wynosi:

2. z zależności
   

3. obliczając współczynnik kierunkowy prostej lnI=f(t)

Niepewność pomiaru natężenia prądu wynosi:

Niepewność pomiaru napięcia:

Niepewność pomiaru czasu to czas reakcji człowieka (błąd zegara można pominąć, gdyż jest stosunkowo mały):

Niepewność wyznaczania ładunku obliczamy metodą różniczki zupełnej:

Niepewność obliczenia pojemności kondensatora obliczamy metodą różniczki zupełnej:

Wnioski:

Pojemność badanego kondensatora C = 463,7 115,3 F, stała czasowa ≈16s.

Obliczenia są obarczone dużymi błędami z kilku powodów. Pierwszym z nich jest spora niedokładność pomiaru czasu, błąd względny dla pierwszego pomiaru wynosi ok. 14%. Drugim powodem jest niedokładność miernika analogowego połączona z czasem reakcji człowieka, skutkująca niemożliwością dokonania dokładnego odczytu danych w krótkim czasie, w jakim wskazówka mija szukaną wartość prądu. Dodatkowym utrudnieniem jest fakt, że w obwodzie rozładowania kondensatora prąd maleje asymptotycznie do 0. Teoretycznie prąd nigdy nie osiągnie wartości 0 (w nieskończoności), w praktyce nastąpi to po kilku stałych czasowych.

Wartość stałej czasowej we wszystkich trzech przypadkach wahała się w okolicach 16 sekund. Niemożliwe jest uzyskanie trzech identycznych wyników ze względu na różne błędy, którymi obarczony jest każdy sposób obliczeń. Jak na tak duże błędy pomiarowe i tak różniące się metody liczenia, wynik 16±1[s] uważam za zadowalający.

Warto zaznaczyć, że z nieznanych powodów w czasie mierzenia czasu dla natężenia dążącego do 20A nastąpił lekki przeskok wskazówki amperomierza, który powtórzył się też w czasie kolejnych pomiarów i spowodował widoczne odchylenie od docelowego wyniku doświadczenia.

Aneks nr 1

Poprawa błędów obliczeniowych

Ładunek zgromadzony na okładkach kondensatora wyznaczamy licząc pole powierzchni pod krzywą I = f(t) jako sumę pól trapezów wyznaczonych przez punkty pomiarowe.

Pojemność badanego kondensatora wynosi:

Stałą czasową obliczamy na trzy sposoby:

1. stała czasowa obwodu to czas, dla którego prąd rozładowania maleje e-krotnie:

zatem na podstawie wykresu I=f(t) można odczytać, że stała czasowa wynosi:

2. z zależności
   

3. obliczając współczynnik kierunkowy prostej lnI=f(t):

Niepewność pomiaru natężenia prądu wynosi:

Niepewność pomiaru napięcia:

Niepewność wyznaczania ładunku:

Niepewność obliczenia pojemności kondensatora:

Pojemność badanego kondensatora C = 507,20 0,02 F, stała czasowa ≈17s.

Obliczenia są obarczone dużymi błędami z kilku powodów. Pierwszym z nich jest spora niedokładność pomiaru czasu, błąd względny dla pierwszego pomiaru wynosi ok. 14%. Drugim powodem jest niedokładność miernika analogowego połączona z czasem reakcji człowieka, skutkująca niemożliwością dokonania dokładnego odczytu danych w krótkim czasie, w jakim wskazówka mija szukaną wartość prądu. Dodatkowym utrudnieniem jest fakt, że w obwodzie rozładowania kondensatora prąd maleje asymptotycznie do 0. Teoretycznie prąd nigdy nie osiągnie wartości 0 (w nieskończoności), w praktyce nastąpi to po kilku stałych czasowych.

Wartość stałej czasowej we wszystkich trzech przypadkach wahała się w okolicach 17 sekund. Niemożliwe jest uzyskanie trzech identycznych wyników ze względu na różne błędy, którymi obarczony jest każdy sposób obliczeń.

Warto zaznaczyć, że z nieznanych powodów w czasie mierzenia czasu dla natężenia dążącego do 20A nastąpił lekki przeskok wskazówki amperomierza, który powtórzył się też w czasie kolejnych pomiarów i spowodował widoczne odchylenie od docelowego wyniku doświadczenia.

Aneks nr 2

Poprawa błędów obliczeniowych

Obliczanie stałej czasowej ze współczynnika kierunkowego prostej lnI=f(t) (odwrotnością współczynnika a prostej dopasowanej jest wartość stałej czasowej obwodu):

Niepewność wyznaczania ładunku:

Niepewność obliczenia pojemności kondensatora:

Aneks nr 2

Poprawa błędów obliczeniowych

Obliczanie stałej czasowej ze współczynnika kierunkowego prostej lnI=f(t) (odwrotnością współczynnika a prostej dopasowanej jest wartość stałej czasowej obwodu):

Niepewność wyznaczania ładunku:

Niepewność obliczenia pojemności kondensatora:

19

---