Oznaczenia

R(t) − funkcja niezawodności,

F(t) − funkcja zawodności,

ET − oczekiwany czas zdatności,

r(t) − pozostały oczekiwany czas zdatności,

f(t) − gęstość prawdopodobieństwa uszkodzenia,

λ(t) − intensywność uszkodzeń,

μ(t) − intensywność odnowy.

Wzory ogólne

,
,

Rozkład wykładniczy czasu zdatności elementu

λ − intensywność uszkodzeń elementu

Dla elementu:
,
,
,

− dla rozkładu wykładniczego intensywność uszkodzeń elementu jest stała

− oczekiwany czas zdatności elementu,

− oczekiwany czas zdatności urządzenia,

− pozostały oczekiwany czas zdatności urządzenia,

Rozkład jednostajny czasu zdatności elementu

k − kres górny czasu zdatności elementu

Dla elementu:
,

−

,

− oczekiwany czas zdatności elementu,

− oczekiwany czas zdatności urządzenia,

− pozostały oczekiwany czas zdatności urządzenia,

Struktury niezawodnościowe

− szeregowa

Funkcja niezawodności takiej struktury jest iloczynem funkcji niezawodności poszczególnych elementów:

Intensywność uszkodzeń takiej struktury jest równa sumie intensywności uszkodzeń poszczególnych elementów:

− równoległa

Funkcja zawodności takiej struktury jest iloczynem funkcji zawodności poszczególnych elementów:

Rezerwa nieobciążona

Oczekiwany czas zdatności takiego układu jest równy sumie oczekiwanych czasów zdatności poszczególnych elementów:

Rezerwa obciążona (zwykłe równoległe połączenie)

Tu oczekiwany czas zdatności urządzenia liczymy wg wzoru całkowego. Pozostałe parametry [f_u(t), λ_u(t)] liczymy z podstawowych wzorów.

Używane w zadaniach całki i pochodne

,
,
,

Zadanie 1

Urządzenia składa się z dwóch elementów. Uszkodzenie jednego z elementów powoduje uszkodzenie urządzenia. Intensywności uszkodzeń elementów nie zależą od czasu, a ich wartości nie są znane. Intensywność uszkodzeń pierwszego elementu jest dwa razy większa od intensywności uszkodzeń elementu drugiego. Oczekiwany czas zdatności urządzenia jest znany, a jego wartość jest równa 66 [h] 40 [min]. Obliczyć oczekiwane czasy zdatności elementów.

λ_u = λ₁ + λ₂, λ₁ = 2λ₂ → λ_u = 3λ₂

→
→
→
,

λ₁ = 2λ₂ →
,

Odp. ET₁ = 100 [h], ET₂ = 200 [h].

Zadanie 2

Urządzenia składa się z trzech elementów. Uszkodzenie jednego z elementów powoduje uszkodzenie urządzenia. Intensywności uszkodzeń elementów nie zależą od czasu. Intensywność uszkodzeń drugiego elementu jest trzy razy większa od intensywności uszkodzeń elementu pierwszego, a intensywność uszkodzeń elementu trzeciego jest dwa razy większa od intensywności uszkodzeń elementu drugiego. Oczekiwany czas zdatności urządzenia jest równy 10 [h]. Obliczyć oczekiwane czasy zdatności elementów.

λ_u = λ₁ + λ₂ + λ₃, λ₂ = 3λ₁, λ₃ = 2λ₂ → λ₃ = 6λ₁ → λ_u = λ₁ + 3λ₁ + 6λ₁ = 10λ₁

→
→
→
,

λ₂ = 3λ₁ →
,

λ₃ = 6λ₁ →
,

Odp. ET₁ = 100 [h], ET₂ = 33 [h] 20 [min.], ET₃ = 16 [h] 40 [min.].

Zadanie 3

Urządzenie o strukturze szeregowej składa się z jednakowych elementów, których intensywności uszkodzeń nie zależą od czasu. Z ilu elementów składa się to urządzenie, jeżeli oczekiwany czas zdatności elementu jest równy 500 [h], a intensywność uszkodzeń urządzenia jest równa 0,02 [1/h].

Rozkład czasu zdatności elementu − wykładniczy

Dane: λ_u = 0,02 [1/h], ET_e = 500 [h]

Szukane: n = ? (ilość elementów, z których składa się dana struktura niezawodnościowa)

λ_u = λ_e + λ_e + … + λ_e = n⋅λ_e

→
→
→ n = λ_u⋅ET_e = 10

Odp. Urządzenie składa się z 10 elementów.

Zadanie 4

Urządzenie składa się z dwóch jednakowych elementów, elementu podstawowego i elementu rezerwowego będącego rezerwą obciążoną. Czas zdatności elementu ma rozkład jednostajny o kresie dolnym równym 0. Oczekiwany czas zdatności elementu jest równy
120 [h]. Wyznaczyć przedział czasu, w którym gęstość prawdopodobieństwa uszkodzeń urządzenia jest większa od gęstości prawdopodobieństwa uszkodzeń elementu.

,
, k = ?, R_u(t) = ?

→
→ k = 240 [h]

,
,
→

,
→

→
→

Odp. t ∈ (120h, 240h>

Zadanie 5

Urządzenie o strukturze szeregowej składa się z dwóch jednakowych elementów. Czas zdatności elementu ma rozkład jednostajny o kresie dolnym równym zero. Oczekiwany czas zdatności elementu jest równy 120 [h]. Wyznaczyć przedział czasu, w którym gęstość prawdopodobieństwa uszkodzeń urządzenia jest większa od gęstości prawdopodobieństwa uszkodzeń elementu.

,
, k = ?, R_u(t) = ?

→
→ k = 240 [h]

,
→

→

f_u(t) > f_e(t) →
→
→
→

Odp. t ∈ <0, 120h).

Zadanie 6

Urządzenie składa się z trzech jednakowych elementów, elementu podstawowego i dwóch elementów rezerwowych będących rezerwą obciążoną. Czas zdatności elementu ma rozkład jednostajny o kresie dolnym równym 0. Oczekiwany czas zdatności elementu jest równy 100 [h]. Wyznaczyć gęstość prawdopodobieństwa uszkodzeń tego urządzenia.

, R_u(t) = ?

,
,
→

→
→

→
→ k = 200 [h] →

Odp.

Zadanie 7

O ile różnią się oczekiwane czasy zdatności dwóch urządzeń zbudowanych z dwóch jednakowych elementów. Pierwsze ma równoległą, a drugie szeregową strukturę. Czas zdatności elementu ma rozkład wykładniczy. Oczekiwany czas zdatności elementu jest równy 120 [h].

Dla struktury równoległej:
, R_u1(t) = ?

,
,

→

→
→
→ ET_u1 = 180 [h]

Dla struktury szeregowej:
, λ_u2 = λ + λ = 2λ →

→ ET_u2 = 60 [h], czyli ET_u1 = 3ET_u2

Odp. Oczekiwany czas zdatności dla struktury równoległej jest 3 razy większy.

Zadanie 8

O ile różnią się oczekiwane czasy zdatności dwóch urządzeń zbudowanych z dwóch jednakowych elementów. Pierwsze ma równoległą, a drugie szeregową strukturę. Czas zdatności elementu ma rozkład jednostajny o kresie dolnym równym 0. Oczekiwany czas zdatności elementu jest równy 120 [h].

Dla struktury równoległej:
, R_u1(t) = ?

,
,
→
→

→
→ k = 240 [h] → ET_u1 = 160 [h]

Dla struktury szeregowej:
, R_u2(t) = ?

,
→

k = 240 [h] → ET_u2 = 80 [h], czyli ET_u1 = 2ET_u2

Odp. Oczekiwany czas zdatności dla struktury równoległej jest 2 razy większy.

Zadanie 9

Urządzenie o strukturze równoległej składa się z dwóch jednakowych elementów. Który rozkład czasu zdatności, jednostajny czy wykładniczy, będzie korzystniejszy z punktu widzenia niezawodności rozpatrywanego urządzenia. Oczekiwany czas zdatności elementu jest równy 60 [h].

Dla rozkładu jednostajnego:
, R_u(t) = ?

,
,
→
→

, k = ?

→
→ k = 120 [h] → ET_u = 80 [h]

Dla rozkładu wykładniczego:
, R_u (t) = ?

,
,

→

,
→
→ ET_u = 90 [h]

Jak powyżej wykazano oczekiwany czas zdatności dla rozkładu wykładniczego jest większy, wobec tego ten rozkład czasu zdatności jest korzystniejszy z punktu widzenia niezawodności urządzenia.

Zadanie 10

Urządzenia o strukturze niezawodnościowej jak na rysunku składa się z czterech jednakowych elementów. Czas zdatności elementu ma rozkład jednostajny o kresie dolnym równym 0. Oczekiwany czas zdatności elementu jest równy 100 [h]. Obliczyć intensywność uszkodzeń tego urządzenia.

λ_u(t) = λ_A(t) + λ_A(t) = 2λ_A(t),
, R_A(t) = ?

,
,
→

,
,
→

→
→ k = 200 [h] →

Odp.
.

Zadanie 11

Urządzenie o strukturze niezawodnościowej jak na rysunku składa się z czterech jednakowych elementów. Czas zdatności elementu ma rozkład jednostajny o kresie dolnym równym zero. Obliczyć stosunek oczekiwanego czasu zdatności elementu do oczekiwanego czasu zdatności urządzenia.

,
, R_u(t) = ?

,
,

,
,
→
→

Odp.
.

Zadanie 12

Urządzenie o strukturze niezawodnościowej jak na rysunku składa się z jednakowych elementów. Czas zdatności elementu ma rozkład jednostajny o kresie dolnym równym zero. Oczekiwany czas zdatności urządzenia jest równy 700 [h]. Obliczyć oczekiwany czas zdatności elementu.

, k = ?

, R_u(t) = ?

,

,
,
,

,
→

→ k = 1200 [h] → ET_e = 600 [h]

Odp. ET_e = 600 [h].

Zadanie 13

Urządzenie o strukturze niezawodnościowej jak na rysunku składa się z trzech elementów, których intensywności uszkodzeń nie zależą od czasu, a ich wartości nie są znane. Intensywność uszkodzeń pierwszego elementu jest dwa razy większa od intensywności uszkodzeń elementu drugiego. Oczekiwany czas zdatności urządzenia jest równy 700 [h]. Obliczyć oczekiwane czasy zdatności elementów 1 i 2.

, R_u(t) = ?

,

,
,

→

, λ₁ = 2λ₂ →

→
,
,
,

Odp. ET₁ = 750 [h], ET₂ = 1500 [h].

Zadanie 14

Urządzenie składa się z trzech jednakowych elementów, elementu podstawowego i dwóch elementów rezerwowych będących rezerwą nieobciążoną. Czas zdatności elementu ma rozkład jednostajny o kresie dolnym równym 0. Gęstość prawdopodobieństwa uszkodzeń elementu jest równa 0,001 [1/h]. Wyznaczyć oczekiwany czas zdatności urządzenia.

ET_u = ET_e + ET_e + ET_e = 3ET_e, ET_e = ?

→
, k = ?,
→
→ k = 1000 [h] →

Odp. ET_u = 1500 [h].

Zadanie 15

Urządzenie składa się z trzech jednakowych elementów, elementu podstawowego i dwóch elementów rezerwowych będących rezerwą nieobciążoną. Czas zdatności elementu ma rozkład jednostajny o kresie dolnym równym 0. Oczekiwany czas zdatności urządzenia jest równy 1500 [h]. Wyznaczyć gęstość prawdopodobieństwa uszkodzeń elementu.

, k = ?

ET_u = ET_e + ET_e + ET_e = 3ET_e,
→

→ k = 1000 [h] →

Odp.
.

Zadanie 16

Urządzenie składa się z trzech jednakowych elementów, elementu podstawowego i dwóch elementów rezerwowych będących rezerwą nieobciążoną. Czas zdatności elementu ma rozkład wykładniczy z parametrem λ równym 0,005 [1/h]. Wyznaczyć oczekiwany czas zdatności urządzenia.

ET_u = ET_e + ET_e + ET_e = 3ET_e, ET_e = ?

→

Odp. ET_u = 600 [h].

Zadanie 17

Urządzenie o strukturze niezawodnościowej jak na rysunku składa się z jednakowych elementów. Czas zdatności elementu ma rozkład jednostajny o kresie dolnym równym 0. Oczekiwany czas zdatności elementu jest równy 120 [h]. Obliczyć oczekiwany czas zdatności urządzenia.

ET_u = ET_A + ET_B,
,
, R_A(t) = ?

,
,

→
→ k = 240 [h] → ET_A = 80 [h] → ET_u = 200 [h]

Odp. ET_u = 200 [h].

Zadanie 18

Urządzenie o strukturze niezawodnościowej jak na rysunku składa się z jednakowych elementów. Oczekiwany czas zdatności elementu jest równy 120 [h]. Obliczyć oczekiwany czas zdatności urządzenia, jeżeli intensywność uszkodzeń elementu jest stała.

ET_u = ET_A + ET_A = 2ET_A, ET_A = ?

, λ_A = λ + λ + λ = 3λ →
, λ = ?

→
→ ET_A = 40 [h] → ET_u = 2ET_A = 80 [h]

Odp. ET_u = 80 [h].

Zadanie 19

Urządzenie o strukturze niezawodnościowej jak na rysunku składa się z jednakowych elementów. Gęstość prawdopodobieństwa uszkodzenia elementu jest równa 1/300 [1/h]. Obliczyć oczekiwany czas zdatności urządzenia.

ET_u = ET_A + ET_A = 2ET_A, ET_A = ?,
, R_A(t) = ?

,
,
→
→

, k = ?,
→
→ k = 300 [h] →

Odp. ET_u = 400 [h].

Zadanie 20

Urządzenie o strukturze niezawodnościowej jak na rysunku składa się z jednakowych elementów. Oczekiwany czas zdatności urządzenia jest równy 450 [h]. Obliczyć oczekiwany czas zdatności elementu, jeżeli intensywność uszkodzeń elementu jest stała.

ET_u = ET_A + ET_A + ET_A = 3ET_A, ET_A = ?,
, R_A(t) = ?

,
,

→

,
→
→

Odp.
.

Zadanie 21

Urządzenie o strukturze niezawodnościowej jak na rysunku składa się z czterech jednakowych elementów. Czas zdatności elementu ma rozkład wykładniczy o wartości oczekiwanej 1/λ. Wyznaczyć gęstość prawdopodobieństwa uszkodzenia rozpatrywanego urządzenia.

, R_u(t) = ?

,

Skorzystamy w tym momencie z wyniku zadania 37, w którym wyliczono funkcję zawodności [F_A(t)] struktury A (rezerwa nieobciążona):

→
→

Odp.

Zadanie 22

Urządzenie o strukturze niezawodnościowej jak na rysunku składa się z czterech elementów, których intensywności uszkodzeń nie zależą od czasu, a ich wartości nie są znane. Oczekiwany czas zdatności urządzenia jest równy 500 [h]. Obliczyć oczekiwane czasy zdatności elementów wiedząc, że intensywność uszkodzeń pierwszego elementu jest dwa razy większa od intensywności uszkodzeń elementu drugiego.

, R_u(t) = ?

,

,
,
,

λ₁ = 2λ₂ →
→

,

→
,
,
,

Odp. ET₁ = 500 [h], ET₂ = 1000 [h].

Zadanie 23

Czas zdatności pewnego obiektu ma rozkład jednostajny o kresie dolnym równym 0, a kres górny nie jest znany. Wiadomo, że oczekiwany czas zdatności obiektu jest równy 5 lat. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że rozpatrywany obiekt:

a) uszkodzi się w czwartym roku użytkowania,

b) bezawaryjnie przepracował trzy lata, uszkodzi się w czwartym roku pracy.

→
→ k = 10 lat − kres górny czasu zdatności obiektu

T − zmienna losowa czasu pracy obiektu do chwili powstania uszkodzenia

a)
,
,

,
→

b)
,

,
(policzone w punkcie a)

.

Odp.
,

Zadanie 24

Urządzenie składa się z dwóch jednakowych elementów, elementu podstawowego i elementu rezerwowego będącego rezerwą obciążoną. Intensywności uszkodzeń elementów są stałe i równe 0,01 [1/h]. Intensywności odnowy również są stałe i równe 0,1 [1/h]. Obliczyć stacjonarne prawdopodobieństwo tego, że rozpatrywane urządzenie jest niezdatne. Pomijamy tzw. uszkodzenie o wspólnej przyczynie oraz zakładamy, że nie ma żadnych ograniczeń, co do liczby elementów, które mogą być odnawiane w tym samym czasie.

Rozpatrywane stany urządzenia:

0 - wszystkie elementy zdatne

1 - jeden element niezdatny

2 - dwa elementy niezdatne

P_o, P₁, P₂ − stacjonarne prawdopodobieństwa, że urządzenie znajduje się odpowiednio w stanie 0, 1, 2, szukamy P₂

Z drugiego równania możemy zrezygnować (mamy 4 równania i 3 niewiadome)

Z pierwszego równania:

Z trzeciego równania:
, czyli:
i podstawiamy do ostatniego równania

→
→

Podstawiając dane liczbowe:
,
otrzymujemy:

Odp. Stacjonarne prawdopodobieństwo tego, że rozpatrywane urządzenie jest niezdatne jest równe
.

Zadanie 25

Urządzenie składa się z dwóch jednakowych elementów, elementu podstawowego i elementu rezerwowego. Element rezerwowy jest rezerwą obciążoną. Intensywność uszkodzeń elementu jest równa 0,001 [1/h]. Po wystąpieniu uszkodzenia dowolnego elementu urządzenie jest nadal zdatne, ale intensywność uszkodzeń działającego elementu wzrasta o 1,5. Do odnowy uszkodzonych elementów przystępuje się, gdy urządzenie jako całość przechodzi w stan niezdatności. Intensywność odnowy całego urządzenia jest równa 0,1 [1/h]. W trakcie odnowy usuwa się wszystkie uszkodzenia. Uszkodzenia o wspólnej przyczynie pomijamy. Obliczyć stacjonarne prawdopodobieństwo tego, że rozpatrywane urządzenie jest niezdatne.

Rozpatrywane stany urządzenia:

0 - wszystkie elementy zdatne

1 - jeden element niezdatny

2 - dwa elementy niezdatne

P_o, P₁, P₂ − stacjonarne prawdopodobieństwa, że urządzenie znajduje się odpowiednio w stanie 0, 1, 2, szukamy P₂.

z jednego równania możemy zrezygnować (mamy 4 równania i 3 niewiadome)

z pierwszego równania:
, z trzeciego równania:

i podstawiamy do ostatniego równania otrzymując:

po przekształceniach otrzymujemy:

podstawiając dane liczbowe:
,
otrzymujemy:
.

Odp. Stacjonarne prawdopodobieństwo tego, że rozpatrywane urządzenie jest niezdatne jest równe
.

Zadania z ćwiczeń

Zadanie 26

Czas zdatności obiektu ma rozkład jednostajny , którego kres dolny jest równy zero, kres górny jest równy 10 lat. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że rozpatrywany obiekt:

a) uszkodzi się w trzecim lub czwartym roku użytkowania,

b) uszkodzi się w dziesiątym roku użytkowania, jeśli wiadomo, że bezawaryjnie przepracował dziewięć lat.

k = 10 lat − kres górny czasu zdatności obiektu

T − zmienna losowa czasu pracy obiektu do chwili powstania uszkodzenia

a)
,
,

,
→

b)
,

,
,
→

.

Zadanie 27

Czas zdatności obiektu ma rozkład wykładniczy z parametrem λ. Wiadomo, że obiekt przepracował bezawaryjnie s jednostek czasu. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że nie przepracuje następnych x jednostek czasu.

T − zmienna losowa czasu pracy obiektu do chwili powstania uszkodzenia

,
,
,

,
,

.Zadanie 28

Urządzenie o strukturze niezawodnościowej jak na rysunku składa się z czterech jednakowych elementów. Czasy zdatności elementów mają rozkłady wykładnicze o znanym parametrze λ. Obliczyć oczekiwany czas zdatności rozpatrywanego urządzenia.

, R_u(t) = ?

, R_A(t) = ?, R_B(t) = ?

,
,

→

,
→

Odp.
.

Zadanie 29

Urządzenie o strukturze niezawodnościowej jak na rysunku składa się z elementów, których czasy zdatności mają rozkłady wykładnicze o znanych parametrach wynoszących odpowiednio λ₁, λ₂, λ₃. Obliczyć intensywność uszkodzeń rozpatrywanego urządzenia.

,
,
, R_A(t) = ?, R_C(t) = ?

,
,

→

,

→

Odp.
.

Zadanie 30

Urządzenie o strukturze niezawodnościowej jak na rysunku składa się z 4 jednakowych elementów. Czasy zdatności elementów mają rozkład jednostajny o kresie dolnym równym 0. Oczekiwany czas zdatności urządzenia jest równy 800 [h]. Obliczyć gęstość prawdopodobieństwa uszkodzenia elementu rozpatrywanego urządzenia.

, k = ?

, R_u(t) = ?

, R_A(t) = ?

,
,
→

→

→ k = 1500 [h] →

Odp.
.

Zadanie 31

Urządzenie o strukturze niezawodnościowej jak na rysunku składa się z elementów, których czasy zdatności mają rozkłady wykładnicze o znanych parametrach odpowiednio równych λ₁ i λ₂. Obliczyć oczekiwany czas zdatności oraz intensywność uszkodzeń rozpatrywanego urządzenia.

,
, R_u(t) = ?

,
,
,

,
,
,

Odp.
,
.

Zadanie 32

Urządzenie o strukturze niezawodnościowej jak na rysunku składa się z 4 jednakowych elementów. Czasy zdatności elementów mają rozkład jednostajny o kresie dolnym równym 0. Oczekiwany czas zdatności elementu jest znany i równy 300 [h]. Obliczyć oczekiwany czas zdatności oraz intensywność uszkodzeń rozpatrywanego urządzenia dla czasu równego oczekiwanego czasowi zdatności elementu.

, R_u(t) = ?

,
,

,
,
,

,
,

,

→
→
→

,
→

Odp.
,
.

Zadanie 33

Urządzenie o równoległej strukturze niezawodnościowej ma zostać zbudowane z jednakowych elementów. Czas zdatności elementu ma rozkład jednostajny o kresie dolnym równym zero. Oczekiwany czas zdatności urządzenia ma być dwa razy większy od oczekiwanego czasu zdatności elementu. Z ilu elementów należy zbudować rozpatrywane urządzenie?

→
,
, R_u(t) = ?,

,
→
→

→
→ 1 ≠ 0

Opisana w zadaniu sytuacja jest w praktyce niemożliwa do zrealizowania. Teoretycznie można ją zrealizować przy użyciu nieskończonej liczby elementów (n → ∞).

Zadanie 34

Czas zdatności obiektu ma rozkład jednostajny, którego kres dolny jest równy 0. Obiekt bezawaryjnie przepracował 1200 [h]. Oczekiwany pozostały czas zdatności tego obiektu jest równy 400 [h]. Obliczyć gęstość prawdopodobieństwa uszkodzeń rozpatrywanego obiektu.

, k = ?

,
,

→
→ k = 2000 [h] →

Odp.
.Zadanie 35

Urządzenie o strukturze niezawodnościowej jak na rysunku składa się z dwóch jednakowych elementów. Czas zdatności elementu ma rozkład wykładniczy o znanym parametrze λ. Wyznaczyć oczekiwany pozostały czas zdatności [r_u(t)] tego urządzenia oraz obliczyć granicę, do jakiej dąży jego wartość, gdy czas dąży do nieskończoności.

, R_u(t) = ?

,
,
→

,

Odp.
,
.

Zadanie 36

Urządzenie o strukturze szeregowej składa się z dwóch jednakowych elementów. Czas zdatności elementu ma rozkład jednostajny o kresie dolnym równym 0 i kresie górnym równym k. Obliczyć pozostały oczekiwany czas zdatności tego urządzenia.

, R_u(t) = ?

,
→
,

Odp.
dla t ∈ (0, k >.

Zadanie 37

Urządzenie o strukturze niezawodnościowej jak na rysunku składa się z czterech jednakowych elementów. Czas zdatności elementu ma rozkład wykładniczy o znanym parametrze λ. Elementy rezerwowe stanowią rezerwę nieobciążoną. Wyznaczyć funkcję niezawodności oraz intensywność uszkodzeń rozpatrywanego urządzenia.

Funkcja zawodności struktury A (rezerwa nieobciążona) urządzenia może być potraktowana jako dystrybuanta sumy niezależnych zmiennych losowych i wyrażona wzorem (indeks „1” jest przypisany dla elementu podstawowego, zaś „2” dla elementu rezerwowego):

,
→
→

Wzór ten korzystając z oznaczeń na poniższym rysunku można interpretować jak niżej:

Iloczyn f₁(τ)dτ przedstawia prawdopodobieństwo tego, że element podstawowy uszkodził się w bezpośrednim sąsiedztwie „chwili” τ (w bardzo małym przedziale czasu, którego środkiem jest τ). F₂(t − τ) jest to prawdopodobieństwo tego, że element rezerwowy przepracował mniej niż (t − τ) jednostek czasu. Należy rozpatrzyć wszystkie możliwości tego, że element pierwszy uszkodził się w chwili τ, a element drugi nie przetrwał w stanie zdatności czasu (t − τ), co przedstawia powyższa całka oznaczona obliczana w granicach od 0 do t.

Elementy są jednakowe, zatem funkcja zawodności i gęstość prawdopodobieństwa uszkodzeń każdego z nich są odpowiednio równe:

Funkcja zawodności struktury A urządzenia zatem jest równa:

Funkcja niezawodności struktury A może być obliczona ze wzoru:

→

Intensywność uszkodzeń urządzenia obliczamy ze wzoru:

λ_u(t) = λ_A(t) + λ_A(t) = 2λ_A(t),

→
→

Odp.
,
.

Zadanie 38

Urządzenie o szeregowej strukturze niezawodnościowej składa się z pięciu jednakowych elementów. Intensywność uszkodzeń elementu jest równa λ, a intensywność odnowy jest równa μ. Obliczyć stacjonarny współczynnik gotowości tego urządzenia, zakładając, że element może ulec zniszczeniu wtedy, gdy urządzenie działa oraz, że nie rozpatrujemy tzw. uszkodzenia o wspólnej przyczynie.

Rozpatrywane stany urządzenia:

0 - urządzenie zdatne,

1 - urządzenie niezdatne

P_o, P₁ − stacjonarne prawdopodobieństwa, że urządzenie znajduje się odpowiednio w stanie 0, 1

Współczynnik gotowości − k_g = P_o

,
→

Odp.
.

Zadanie 39

Urządzenie o szeregowej strukturze niezawodnościowej składa się z trzech jednakowych elementów. Intensywność uszkodzeń elementu jest równa λ, a intensywność odnowy jest równa μ. W przypadku wystąpienia uszkodzenia o wspólnej przyczynie uszkodzenie urządzenia następuje z intensywnością λ_w. Odnowienie tak uszkodzonego urządzenia następuje z intensywnością odnowy μ_w. Obliczyć stacjonarny współczynnik gotowości tego urządzenia.

Rozpatrywane stany urządzenia:

0 - wszystkie elementy zdatne,

1 - jeden element niezdatny,

3 - trzy elementy niezdatne

P_o, P₁, P₃ − stacjonarne prawdopodobieństwa, że urządzenie znajduje się odpowiednio w stanie 0, 1, 3

Z pierwszego równania możemy zrezygnować (mamy 4 równania i 3 niewiadome)

Współczynnik gotowości − k_g = P_o

Z drugiego równania:
, z trzeciego równania:

→

Odp.
.

Zadanie 40

Urządzenie o równoległej strukturze niezawodnościowej składa się z dwóch jednakowych elementów. Intensywność uszkodzeń elementu jest równa λ. Intensywność odnowy elementu może przyjmować jedną z dwóch wartości. Jest ona równa μ₁, gdy odnawiany jest jeden element. Jeśli w tym samym czasie „równolegle” są poddawane odnowie obydwa elementy intensywność odnowy elementu spada, przyjmując wartość μ₂. W rozpatrywanym przypadku nie ma żadnych ograniczeń, co do liczby elementów, które mogą być odnawiane w tym samym czasie. Wyznaczyć stacjonarny współczynnik gotowości tego urządzenia, pomijając tzw. uszkodzenie o wspólnej przyczynie.

Rozpatrywane stany urządzenia:

0 - wszystkie elementy zdatne,

1 - jeden element niezdatny,

2 - dwa elementy niezdatne

Ponieważ nie uwzględniamy uszkodzeń o wspólnej przyczynie, przejścia oznaczonego linią przerywaną nie bierzemy dalej pod uwagę.

P_o, P₁, P₂ − stacjonarne prawdopodobieństwa, że urządzenie znajduje się odpowiednio w stanie 0, 1, 2

Ostatnie równanie tworzymy korzystając z warunku normującego.

Urządzenie ma strukturę równoległą, gdy co najmniej jeden element jest zdatny to urządzenie jest zdatne. Prawdopodobieństwo stacjonarne takiej sytuacji jest tzw. stacjonarnym współczynnikiem gotowości − k_g, co można zapisać jak niżej:

, czyli należy wyznaczyć P₂.

z równania (1) wyznaczamy P_o:

z równania (2) wyznaczamy P₁:
, i podstawiając do równania (1):

podstawiamy wyliczone wartości P_o i P₁ do równania (3):

→

Odp.
.

Zadanie 41

Urządzenie składa się z elementu podstawowego i jednego elementu rezerwowego. Element rezerwowy jest rezerwą nieobciążoną. Intensywność uszkodzeń elementu jest równa λ, zaś intensywność odnowy jest równa μ. Jeżeli przed zakończeniem odnowy uszkodzeniu ulegnie również drugi element, to urządzenie ulegnie zniszczeniu − nie można go odnowić. Pomijając uszkodzenie o wspólnej przyczynie, obliczyć stacjonarny współczynnik gotowości tego urządzenia.

Rozpatrywane stany urządzenia:

0 - wszystkie elementy zdatne

1 - jeden element niezdatny

2 - dwa elementy niezdatne

P_o, P₁, P₂ − stacjonarne prawdopodobieństwa, że urządzenie znajduje się odpowiednio w stanie 0, 1, 2

z równania (2) P₁ = 0, czyli z równania (1) P_o = 0, stąd P₂ = 1 i k_g = 0.

Zadanie 42 (zadanie ze skryptu mgra inż. T. Rutkowskiego)

Urządzenie składa się z elementu podstawowego i jednego elementu rezerwowego. Intensywność uszkodzeń elementu jest równa λ₁, w gdy element pracuje i λ₂ gdy jest w rezerwie. Uszkodzone elementy są odnawiane kolejno, a intensywność odnowy elementu jest równa μ. Pomijając uszkodzenie o wspólnej przyczynie obliczyć stacjonarny współczynnik gotowości tego urządzenia, gdy element rezerwowy będzie rezerwą:

a) częściowo obciążoną

b) obciążoną

c) nieobciążoną

Rozpatrywane stany urządzenia:

0 - wszystkie elementy zdatne

1 - jeden element niezdatny

2 - dwa elementy niezdatne

a)

P_o, P₁, P₂ − stacjonarne prawdopodobieństwa, że urządzenie znajduje się odpowiednio w stanie 0, 1, 2

Podstawiając do ostatniego równania wyliczone wartości P_o i P₂ otrzymujemy:

→

→

b) w tym przypadku λ₂ = λ₁

P_o, P₁, P₂ − stacjonarne prawdopodobieństwa, że urządzenie znajduje się odpowiednio w stanie 0, 1, 2

Podstawiając do ostatniego równania wyliczone wartości P_o i P₂ otrzymujemy:

→
,

c) w tym przypadku λ₂ = 0

P_o, P₁, P₂ − stacjonarne prawdopodobieństwa, że urządzenie znajduje się odpowiednio w stanie 0, 1, 2

Podstawiając do ostatniego równania wyliczone wartości P_o i P₂ otrzymujemy:

,
→
.

Rezerwa nieobciążona

Rozkład czasu zdatności elementu − wykładniczy z parametrem λ

Dane: λ = 0,005 [1/h]

Szukane: ET_u = ?

Rezerwa nieobciążona

Rozkład czasu zdatności elementu − jednostajny

Dane: ET_u = 1500 [h]

Szukane: f_e(t) = ?

Rezerwa nieobciążona

Rozkład czasu zdatności elementu − jednostajny

Dane:

Szukane: ET_u = ?

Rozkład czasu zdatności elementu − wykładniczy

Dane: λ₁ = 2λ₂, ET_u = 700 [h]

Szukane: ET₁ = ?, ET₂ = ?

Rozkład czasu zdatności elementu − jednostajny

Dane: ET_e = 100 [h]

Szukane: λ_u(t) = ?

Rezerwa obciążona

Rozkład czasu zdatności elementu − jednostajny

Dane: ET_e = 100 [h]

Szukane: f_u(t) = ?

Rezerwa obciążona

Rozkład czasu zdatności elementu − jednostajny

Dane: ET_e = 120 [h]

Szukane: przedział czasu, dla którego f_u(t) > f_e(t)

Rozkład czasu zdatności elementu − wykładniczy

Dane: λ₁ = 2λ₂, ET_u = 66 [h] 40 [min.]

Szukane: ET₁ = ?, ET₂ = ?

Rezerwa nieobciążona

Rozkład czasu zdatności − jednostajny

Dane:

Szukane: ET_u = ?

Rezerwa nieobciążona

Rozkład czasu zdatności − wykładniczy

Dane: ET_u = 450 [h]

Szukane: ET_e = ?

Rozkład czasu zdatności elementu − wykładniczy

Dane: λ₁ = 2λ₂, ET_u = 500 [h]

Szukane: ET₁ = ?, ET₂ = ?

Rozkład czasu zdatności elementu − wykładniczy

Dane: λ

Szukane: ET_u = ?

Rozkład czasu zdatności elementu −

wykładniczy

Dane: λ₁, λ₂, λ₃

Szukane: λ_u(t) = ?

Rozkład czasu zdatności elementu − jednostajny

Dane: ET_u = 800 [h]

Szukane: f_e(t) = ?

Rozkład czasu zdatności elementu − wykładniczy

Dane: λ₁, λ₂

Szukane: ET_u = ?, λ_u(t) = ?

Rozkład czasu zdatności elementu − jednostajny

Dane: ET_e = 300 h

Szukane: ET_u = ?, λ_u(t = ET_e) = ?

Rozkład czasu zdatności elementu − wykładniczy

Dane: λ

Szukane:
,

Rozkład czasu zdatności elementu − wykładniczy

Dane: λ

Szukane: R_u(t) = ?, λ_u(t) = ?

Rezerwa nieobciążona

Rozkład czasu zdatności elementu − jednostajny

Dane: ET_e = 120 [h]

Szukane: ET_u = ?

Rozkład czasu zdatności elementu − jednostajny

Szukane:

Rozkład czasu zdatności elementu − jednostajny

Dane: ET_e = 120 [h]

Porównać oczekiwane czasy zdatności obu struktur

Rozkład czasu zdatności elementu − wykładniczy z parametrem λ

Dane: ET_e = 120 [h]

Porównać oczekiwane czasy zdatności obu struktur

Dane: ET_e = 60 [h]

Porównać oczekiwane czasy zdatności urządzenia dla rozkładu jednostajnego i wykładniczego

dla rozkładu jednostajnego gęstość prawdopodobieństwa uszkodzenia elementu jest stała

Rozkład czasu zdatności elementu − jednostajny

Szukane:

Rozkład czasu zdatności elementu − jednostajny

Dane: ET_u = 2ET_e

Szukane: n − ilość elementów

Rozkład czasu zdatności elementu − jednostajny

Dane: ET_u = 700 [h]

Szukane: ET_e = ?

Rezerwa nieobciążona

Rozkład czasu zdatności elementu −

wykładniczy

Dane: ET_e = 120 [h]

Szukane: ET_u = ?

Rozkład czasu zdatności elementu − wykładniczy

Dane: λ₂ = 3λ₁, λ₃ = 2λ₂, ET_u = 10 [h]

Szukane: ET₁ = ?, ET₂ = ?, ET₃ = ?

Układ mieszany: rezerwa nieobciążona i obciążona

Rozkład czasu zdatności − wykładniczy

Dane:

Szukane: f_u(t) = ?

Rozkład czasu zdatności elementu − jednostajny

Dane: ET_e = 120 [h]

Szukane: przedział czasu, dla którego f_u(t) > f_e(t)

---