RUCH POSTĘPOWY PO OKRĘGU

Zadanie 11.1

Samochód osobowy jedzie z szybkością v = 90 km/h. Z jaką prędko­ścią kątową obracają się jego koła, jeżeli ich średnica wynosi d = 75 cm?

Odp. ω = 33,3 1/s

Zadanie 11.2

Punkty położone na obwo­dzie koła zamachowego pewnej maszy­ny parowej poruszają się z szybkością

v₁ = 5 m/s, natomiast punkty położone o Δr = 20 cm bliżej środka koła poru­szają się z szybkością v₂ = 4,5 m/s. Jaki promień r ma koło zamachowe?

Odp. r =2m

Zadanie 11.3

W rowerze stosunek pro­mienia przekładni do promienia koła zębatego przy kole wynosi R₁ : R₂ = n , podobnie jak stosunek promienia tyl­nego koła do promienia przekładni R₃ : R₁ = n (rysunek 11.1.). Jaki jest sto­sunek prędkości kątowej tylnego koła ω₃ do prędkości kątowej przekładni ω₁?

a) ω₃ : ω₁ = 1 b) ω₃ : ω₁ = n

c) ω₃ : ω₁ = n² d) ω₃ : ω₁ = π

Zadanie 11.4

Prędkość liniowa punk­tów położonych na obwodzie koła ma wartość v₁ =4 m/s, natomiast punktów położonych o Δr = 10 cm bliżej środka osi obrotu koła v₂ =3 m/s. Z jaką często­tliwością obraca się koło?

Odp. ω = 10 1/s

Zadanie 11.5

Punkty położone o Δ x = 6 cm bliżej środka wirującego koła niż punkty leżące na jego obwodzie poru­szają się z prędkością liniową o warto­ści n = 2,5 raza mniejszej niż punkty na obwodzie koła. Jaki jest promień koła?

a) 2,5 cm b) 6 cm

c) 8,5 cm d) 10 cm

Zadanie 11.6

Jaką wartość ma prędkość liniowa końca minutowej wskazówki zegara na wieży ratuszowej, jeżeli jej długość wynosi l = 5 m?

Odp. v = 8,7 mm/s

Zadanie 11.7

Wskazówka minutowa w zegarku jest n = 3 razy dłuższa od wskazówki sekundowej. Jaki jest stosunek wartości liniowych prędkości końców wskazówek sekundowej do minutowej?

Odp. k = 20

Zadanie 11.8

Promień korby przy studni jest n = 3 razy większy od promienia drewnianego wałka, na który nawijany jest łańcuch podczas wyciągania wody. Jaka jest prędkość liniowa końca korby, jeżeli w czasie t = 15 s wiadro z wodą zostało uniesione ruchem jednostajnym z dna studni na wysokość h = 10 m?

Odp. v = 2 m/s

Zadanie 11.9

Jaka jest prędkość liniowa punktów położonych na powierzchni wału, którego promień wynosi

r =25 cm, jeżeli wał obraca się z częstotliwością f = 600 obr./min

Odp. v = 15,7 m/s

Zadanie 11.10

Na wałek o promieniu r = 10 cm nawinięto w czasie t = 5 s nitkę o długości l = 6 m. Z jaką częstotliwością obracał się wałek, jeżeli jego ruch był równomierny?

Odp. f = 1,9 Hz

Zadanie 11.11

Kulka zawieszona na nit­ce zatacza poziome kręgi, poruszając się ze stałą prędkością liniową o wartości

v = 1 m/s. W czasie t = 2 s kierunek pręd­kości kulki zmienił się o α = 30°. Jaką wartość ma przyspieszenie dośrodkowe działające na kulkę?

Odp. a = 0,26 m/s²

Zadanie 11.12

Kamień o masie m, uwią­zany na sznurku, wiruje w płaszczyźnie poziomej ze stałą szybkością v. Jak zmieni się pęd kamienia, jeżeli kamień wykona pół obrotu w swojej drodze po okręgu?

a) 0 b) mv

c) mv√2 d) 2 mv

Zadanie 11.13

Oblicz energię kinetycz­ną kuli o masie m = 500 g poruszającej się po okręgu o promieniu R = 50 cm z częstotliwością f = 5 Hz.

Odp. E = 61,7 J

Zadanie 11.14

Kula porusza się po okrę­gu o promieniu R = 0,4 m ze stałą szyb­kością taką, że jej energia kinetyczna wynosi E_K = 8 J. Jaką wartość ma siła dośrodkowa F działająca na kulę?

Odp. F = 40 N

Zadanie 11.15

Kolarz jedzie ze stałą prędkością v po równym, prostolinio­wym odcinku drogi. Jaką wartość ma chwilowa prędkość punktów A, B, i C, położonych na kole roweru (rysunek 11.2.)?

Zadanie 11.16

Koło zamachowe obraca się z częstotliwością f = 4 obr./s. Po wy­łączeniu silnika napędzającego koło obracało się do chwili zatrzymania przez czas t = 0,5 min. Ile obrotów wykonało to koło od chwili odłączenia napędu do chwili zatrzymania się? Należy przyjąć, że prędkość koła malała liniowo.

Odp. n = 60 obr.

Zadanie 11.17

Kamień uwiązany na sznurku o długości l = 1 m został wpra­wiony w ruch obrotowy w płaszczyźnie pionowej tak, że zakreślał koło o pro­mieniu równym długości sznurka. Kiedy częstotliwość obrotów ustabilizowała się na poziomie f = 180 obr./min, kamień zerwał się ze sznurka, gdy kierunek jego prędkości liniowej tworzył kąt α = 30° z kierunkiem poziomym, jak pokazano na rysunku 11.3. Na jaką wysokość wzniesie się ten kamień w stosunku do punktu, w którym się urwał?

Odp. h = 4,53 m

Zadanie 11.19

Dwa jednakowe ciężarki powieszono na dwu bloczkach nieru­chomych, jak pokazano na rysunku 11.5. Ciężarki znajdują się w równowadze. W pewnym momencie jeden z ciężar­ków został odchylony o pewien kąt α, a następnie puszczony tak, że zaczął się wahać. Co można powiedzieć o stanie równowagi ciężarków?

a) stan równowagi ciężarków pozo­stanie bez zmian

b) nieruchomy ciężarek zacznie się opuszczać, a huśtający podnosić

c) nieruchomy ciężarek zacznie się podnosić, a huśtający opuszczać

d) ciężarki będą na przemian pod­nosić się i opuszczać

Zadanie 11.20

Dziecinne wiaderko, uwiązane na sznurku o długości l = 1 m, napełniono wodą i wprawiono w ruch obrotowy w płaszczyźnie pionowej. Przy jakiej najmniejszej częstotliwości obrotów f woda nie wyleje się z wia­derka, jeżeli będzie ono w położeniu do góry dnem?

Odp. f = 0,5 Hz

Zadanie 11.21

Jak długo powinna trwać doba na Ziemi, aby człowiek stojący na równiku był w stanie nieważkości? Pro­mień Ziemi R = 6,38 • 10⁶ m. Wskazów­ka: porównaj ciężar i siłę dośrodkowa.

Odp. T = 1h24min

Zadanie 11.22

O ile procent ciężar na równiku jest mniejszy od ciężaru na biegunie w wyniku wirowania Ziemi wokół własnej osi, jeżeli założy się, że Ziemia jest kulą? Promień Ziemi R = 6,38 • 10⁶ m.

a) 0% b) 0,34%

c) 0,92% d) 2,48%

Zadanie 11.23

Ciężarek o masie m = 500 g, uwiązany na sznurku, wiruje w płaszczyźnie pionowej. Jaka jest róż­nica napięcia sznurka w górnym i dol­nym położeniu ciężarka?

Odp. ΔN = 4,9 N

Zadanie 11.24

Wewnątrz napompowa­nej opony koła samochodowego znaj­duje się niewielki kamyk. Jaką co naj­mniej wartość v musi mieć prędkość samochodu, aby kamyk wirował razem z kołem? Zewnętrzny promień opony wynosi R = 40 cm.

Odp. v = 2 m/s

Zadanie 11.25

Kulka uwiązana na nici została wprawiona w ruch obrotowy w płaszczyźnie pionowej. Jaką masę ma kulka, jeżeli różnica między maksymal­nym i minimalnym naprężeniem nici wynosi Δ F = 5 N?

Odp. m = 250 g

Zadanie 11.26

Kamień uwiązany na sznurku o długości l = 50 cm wiruje w płaszczyźnie pionowej ruchem jedno­stajnym po okręgu. Przy jakiej częstotli­wości wirowania f sznurek się zerwie, jeżeli wiadomo, że wytrzymuje siłę o wartości równej dziesięciokrotnemu (n = 10) ciężarowi kamienia?

Odp. f = 2,1 Hz

Zadanie 11.27

Ciężarek przywiązany jest do nitki o długości l =50 cm i wiru­je w płaszczyźnie poziomej, zakreślając okrąg o promieniu R = 20 cm (rysu­nek 11.6.). Z jaką częstotliwością wiru­je ciężarek?

Odp. f = 0,74 Hz

Zadanie 11.28

Ciężarek o masie m = 100 g uwiązany na nici wiruje w płasz­czyźnie poziomej po okręgu o promie­niu

R = 60 cm z prędkością kątową ω = 2 rad/s (rysunek 11.6,). Jaką siłą napi­nana jest nić?

Odp. F = 1,01 N

Zadanie 11.29

Zawieszony na nici ka­mień o masie m = 250 g odchylono w bok na wyprostowanej nici o kąt α = 90° tak, że znalazł się na wysokości punktu zawieszenia, a następnie pusz­czono. Jaką siłą T będzie napinana nić w momencie, gdy kamień znajdzie się w najniższym punkcie?

Odp. T = 2,45 N

Zadanie 11.30

Samochód jadący po po­ziomej drodze zaczął poruszać się po łuku o promieniu r = 16 m. Z jaką największą szybkością v może jechać ten samo­chód, aby nie wpaść w poślizg? Współ­czynnik tarcia kół o drogę wynosi f = 0,4.

Odp. v = 28,5 km/h

Zadanie 11.31

Z jaką szybkością v po­winien jechać samochód w najwyższym punkcie wypukłego mostu, którego pro­mień krzywizny R = 40 m, aby pasaże­rowie przez chwilę byli w stanie nie­ważkości?

Odp. v = 71,3 km/h

Zadanie 11.32

Samochód osobowy wje­chał z szybkością v =25 m/s na wypukły most o stałym promieniu krzywizny R. Jaką wartość ma R, jeżeli na szczycie mostu nacisk samochodu na most zmniejszył się dwukrotnie w stosunku do nacisku samochodu na prostej drodze?

Odp. R = 127 m

Zadanie 11.33

Samolot zakreślił w po­wietrzu koło o promieniu R = 500 m w płaszczyźnie pionowej. Przy jakiej prędkości samolotu przyspieszenie dzia­łające na pilota osiągnie wartość a = n • g. Oblicz tę prędkość dla n = 5.

Odp. v = 504 km/h

Zadanie 11.34

Niewielki ciężarek może przemieścić się po łuku okręgu z punktu A do punktu B lub z punktu A₁ do B₁ (rysunek 11.7.). Na obydwu odcinkach współczynnik tarcia jest jednakowy i nie zależy od prędkości ciężarka. Po której drodze ciężarek zsunie się w krótszym czasie? Uzasadnij odpowiedź.

Zadanie 11.35

Na wirującym z częstotli­wością f = 0,5 obr./s wokół własnej osi krążku, w odległości x = 25 cm od środ­ka krążka, znajduje się niewielki ciężarek. Jaką co najmniej wartość musi mieć współczynnik tarcia ciężarka o krążek, aby ciężarek nie zsuwał się z krążka?

Odp. f = 0,25

Zadanie 11.36

Kierowca samochodu ja­dącego z szybkością v po wyasfaltowa­nej płycie lotniska w kierunku bramy znajdującej się w okalającym teren mu­rze zauważył w odległości s od tej bra­my, że jest ona zamknięta. Ma w tej sy­tuacji dwie możliwości: albo hamować, albo zawrócić po łuku o promieniu R = s, nie zmieniając szybkości. Który z tych wariantów jest bezpieczniejszy w związ­ku z ryzykiem wpadnięcia w poślizg? Współczynnik tarcia kół o asfalt równy jest f. Wskazówka: oblicz najkrótszą dro­gę hamowania oraz najmniejszy promień łuku, po którym można zakręcać.

Zadanie 11.37

Na kamień umocowany na sznurku o długości l₁ = 2 m i wirują­cy w płaszczyźnie poziomej działa siła o wartości n = 8 razy większej niż na kamień o k= 5 razy mniejszej masie wi­rujący na sznurku o długości /₂ = 20 cm, także w płaszczyźnie poziomej, jaki jest stosunek szybkości v₁ : v₂?

Zadanie 11.38

Dwa ciężarki o jednako­wych masach uwiązano na lince o dłu­gości l tak, że jeden znajdował się na końcu tej linki, a drugi w odległości ⅔ l od pierwszego ciężarka. Wolny koniec linki umocowano i wprawiono wraz z cię­żarkami w ruch obrotowy w płaszczyź­nie poziomej, jak pokazano na rysunku 11.8. Na ciężarek m₁ umieszczony na końcu linki działa siła o wartości F₁, która jest większa o ΔF = 150 N od wartości siły F₂ działającej na ciężarek o masie m₂ Jaką wartość ma maksymalna siła rozciągająca linkę?

a) 100 N b) 150 N

c) 200 N d) 250 N

Zadanie 11.39

Na końcach nieważkiej listewki umieszczono dwa ciężarki o ma­sach m₁ i m_2. Następnie listewkę wpra­wiono w ruch obrotowy o częstotliwo­ści f, w płaszczyźnie poziomej wokół osi, która podzieliła listewkę na dwie nie­równe części. Masa m₁ była odległa od osi obrotu o l₁, natomiast masa m₂ była odległa o /₂. Oblicz wartość poziomej siły działającej na oś obrotu.

Zadanie 11.40

Do końca gumowego sznura o długości / = 50 cm przymoco­wano ciężarek o masie m = 2 kg. Po umocowaniu drugiego końca sznura wprawiono go wraz z ciężarkiem w ruch obrotowy w płaszczyźnie poziomej z częstotliwością f = 120 obr./min. O ile wy­dłuży się sznur, jeżeli jego współczyn­nik sprężystości wynosi k = 950 N/m, a masę sznura można zaniedbać? Przy jakiej częstotliwości obrotów guma się zerwie?

Odp. x = 25 cm; f₁ = 208 obr./min

Zadanie 11.41

Metalowa kula o masie m = 250 g porusza się po okręgu o pro­mieniu R = 50 cm w płaszczyźnie poziomej, z częstotliwością f₁ = 6 obr./s. Jaką pracę należy wykonać, aby zwięk­szyć częstotliwość obrotów kuli do f₂ = 10 obr./s ?

Odp. W = 80 J

Zadanie 11.42

Niewielka kulka przy­wiązana do nitki o długości l = 61 cm została wprawiona w ruch obrotowy w płaszczyźnie pionowej. Jaki może być największy okres obrotu T kulki, aby jej ruch był jeszcze ruchem jednostajnym po okręgu?

Odp. T = 1,57 s

Zadanie 11.43

Metalowa kulka o masie m umocowana jest na nitce o długości l. Kulkę na wyprostowanej nici odchylono o pewien kąt tak, że została uniesiona na wysokość h w stosunku do położe­nia równowagi, jak pokazano na rysunku 11.9. Kulkę puszczono swobodnie. Na jaką wysokość h₁ uniesie się kulka, jeżeli nitka w czasie ruchu napotka wbi­ty gwóźdź, który staje się nowym punk­tem obrotu? Spełniony jest warunek AB < - h : 2 .

a) 0,5 • h b) 1 h

c) 1,5 • h d) l

Zadanie 11.44

Kulka o masie m powie­szona na nici o długości / została od­chylona o kąt α = 90°, a następnie swo­bodnie puszczona. W punkcie A poło­żonym w odległości h = ⅔ l od punktu zaczepienia nici, pionowo pod nim, znajduje się bolec, o który zaczepia nić, co powoduje zmianę promienia okręgu, po którym porusza się kulka (rysunek 11.10.). Jakie będzie naprężenie nici w chwili, gdy kulka znajdzie się w poło­żeniu B takim, że odcinek nici między bolcem a kulką będzie poziomy?

Odp. F = 4 mg

Zadanie 11.45

Cienka listewka o pomijalnej masie może obracać się swobod­nie bez tarcia wokół punktu O, w któ­rym jest umocowana na przegubie. Do listewki przymocowano w odległości l od punktu podparcia pierwszy ciężarek o masie m i drugi identyczny ciężarek w odległości 0,5 l od punktu O. Po prze­ciwnej stronie, w odległości 0,5 / od punktu podparcia, umieszczono na li­stewce trzeci ciężarek o masie 2 m, jak pokazano na rysunku 11.11. Układ utrzy­mano nieruchomo w położeniu pozio­mym, a następnie odblokowano tak, że mógł swobodnie obracać się wokół osi O. Jaką szybkość v będzie miał drugi cięża­rek w momencie, kiedy listewka obróci się o kąt 90° i będzie dalej się poruszała?

Zadanie 11.46

Akrobata o masie m = 75 kg huśta się w cyrku na trapezie, któ­ry zawieszony jest na linkach długości / = 5 m każda. Jaką siłą naciągane są poszczególne linki trapezu, jeżeli pręd­kość akrobaty w chwili przechodzenia przez punkt równowagi ma wartość v = 6 m/s?

Odp. F = 638 N

Zadanie 11.47

Kulka o masie m zawie­szona jest na nici, która wytrzymuje ob­ciążenie T=2mg. O jaki kąt a można od­chylić kulkę z nitką, aby po jej puszczeniu nitka nie urwała się w chwili przecho­dzenia kulki przez punkt równowagi?

Zadanie 11.48

Na poziomej listewce o pomijalnej masie, która może swobod­nie obracać się wokół pionowej osi, znajdują się dwa ciężarki o masach m₁ i m₂ związane nicią o długości l (rysu­nek 11.12). Ciężarki mogą swobodnie przesuwać się po listewce bez tarcia. Układ listewka-ciężarki wiruje wokół osi obrotu, W jakiej odległości od osi obro­tu znajduje się każdy z ciężarków, jeśli są one w stanie równowagi?

Zadanie 11.49

Na obręcz o promieniu R nałożony jest niewielki pierścionek, któ­ry może przesuwać się po obręczy bez tarcia. Obręcz wprawiono w ruch obro­towy wokół pionowej osi, jak pokazano na rysunku 11.13 Jaka jest prędkość ką­towa ω obręczy, jeżeli pierścionek uniósł się na wysokość h?

Zadanie 11.50

Niewielki metalowy pro­stopadłościan zsuwa się po równi pochy­łej bez tarcia i wpada do wnętrza cylin­dra o promieniu R, w którym także może poruszać się bez tarcia (rysunek 11.14.}. Z jakiej co najmniej wysokości h powi­nien zsunąć się prostopadłościan, aby mógł wykonać pełny obrót wewnątrz cy­lindra, nie odrywając się od jego ścianki?

Odp. h = 2,5 R

Zadanie 11.51

Na poziomym pręcie znajduje się ciężarek o masie m, który może przesuwać się po nim bez tarcia. Ciężarek utrzymywany jest w środku pręta za pomocą dwu jednakowych sprężyn o takim samym współczynniku sprężystości k (rysunek 11.15.). Pręt za­czyna obracać się wokół osi O-O'. Przy jakiej prędkości kątowej cd położenie ciężarka w dowolnym miejscu na pręcie będzie zawsze położeniem równowagi trwałej?

Zadanie 11.52

Na łuku drogi o promie­niu R, nachylonym pod kątem a do po­ziomu w stronę środka krzywizny, jedzie motocyklista. Z jaką szybkością on je­dzie, jeżeli wiadomo, że płaszczyzna kół motocykla jest prostopadła do po­wierzchni drogi? Tarcie można pominąć.

Zadanie 11.53

W szklanej bańce o ma­sie M, wiszącej na nici o długości L, znaj­duje się niewielka ilość eteru (rysu­nek 11.16.). Bańka z jednej strony na wysokości swojego środka ma niewielki otwór zatkany koreczkiem o masie m. Podgrzewając bańkę, spowodowano wzrost ciśnienia par eteru i wyrzucenie korka. Jaką co najmniej szybkość u po­winien mieć korek, aby bańka wykona­ła pełny obieg po okręgu wokół punktu zaczepienia nici?

---