Gęstość energii i natężenie fali

Rozpatrzmy element dV w fali podłużnej, opisanej równaniem:

poruszającej się z prędkością fazową v w kierunku osi x. Szerokość elementu dx jest tak mała, że w całym elemencie punkty ośrodka mają te same wartości prędkości i odkształcenia.

Posiada on więc pewną energię kinetyczną, związaną z jego prędkością i pewną energię potencjalną, związaną ze zmianą rozmiarów elementu.

*

Zastanówmy się najpierw nad energią potencjalną tego elementu. Jego rozmiary liniowe wzdłuż osi x w stanie niezaburzonym są dx i w danej chwili wynoszą
. Względne odkształcenie tego elementu wynosi więc
(zmiana symboliki wynika z tego, że
).

Jest to taka sama sytuacja jak w przypadku rozciągania lub ściskania pręta, która jest prostsza obliczeniowo do rozpatrzenia.

Aby wydłużyć pręt o długości własnej l o odcinek x musimy przyłożyć siłę zewnętrzną

F_z = p S

gdzie: p - ciśnieniem, równym co do

wartości naprężeniu wewnętrznemu pręta; S - powierzchnia jego przekroju poprzecznego.

Zgodnie z prawem Hooke'a, w zakresie sprężystych odkształceń obowiązuje wzór

gdzie: E - jest współczynnikiem materiałowym, zwanym modułem Younga.

Stąd

Jeżeli zwiększamy rozmiar pręta o odcinek dx , to musimy wykonać pracę elementarną

dL(x) = F_z(x) dx

Wobec tego praca całkowita L potrzebna do zwiększenia rozmiarów liniowych pręta o
wynosi

Praca ta, zgodnie z definicją, jest równa energii potencjalnej, jaką posiada pręt wydłużony o odcinek
.

Uwzględniając analogię między odkształceniami pręta i elementu, przez który przechodzi płaska fala porzeczna, można zauważyć, że sobie odpowiadają:

E B V dV

Zatem ostatecznie znajdujemy, że energia potencjalna elementu ośrodka fali jest opisana wzorem

*

Energię kinetyczną rozpatrywanego elementu łatwo znajdujemy ze wzoru

a energię potencjalną możemy zapisać

biorąc pod uwagę, że ze wzoru na prędkość fazową fali podłużnej
.

Stąd wartości gęstości energii

kinetycznej

i

potencjalnej

*

Dla fali płaskiej - opisanej równaniem

mamy:

zatem

;

Ponieważ
zatem
i możemy przepisać

co, jak widać oznacza, że w każdej chwili t gęstości energii kinetycznej i potencjalnej są takie same.

Całkowita gęstość energii chwilowej

a uśredniona po czasie t

Zwrócić należy uwagę, że powyższa zależność jest obowiązująca dla każdego rodzaju fal o dowolnej powierzchni fazowej.

*

Ilość energii przenoszona przez falę, przez daną powierzchnię w jednostce czasu, nosi nazwę strumienia energii fali i jest zdefiniowany wzorem

Strumień przepływający przez daną powierzchnię zależy od jej wielkości i od jej orientacji względem kierunku przepływu energii, określonym przez kierunek prędkości fali
.

Dlatego, celem scharakteryzowania przepływu energii w różnych punktach ośrodka, wprowadza się wielkość wektorową zwaną gęstością strumienia energii
- liczbowo jest ona równa strumieniowi energii przez jednostkową powierzchnię w danym punkcie ośrodka, umieszczoną prostopadle do kierunku rozchodzenia się fali:

gdzie:
- jest wektorem jednostkowym prędkości fazowej fali.

W czasie dt (rys.) przez powierzchnię
przepływa energia zawarta w objętości
, tzn.

a stąd mamy

Zwróćmy uwagę, że podobnie jak gęstość energii w , gęstość strumienia
ma charakter wielkości chwilowej.

Uśredniony po czasie wektor
nosi nazwę - natężenie fali - i zwykle oznaczamy
; zatem

Na podstawie definicji
i
otrzymujemy, że średni strumień energii możemy zapisać

Z rysunku obok, łatwo można zauważyć, że element powierzchni
jest rzutem powierzchni
, co oznacza, że pomiędzy wektorami normalnymi do tych powierzchni występuje kąt
, tzn.

gdzie:
jest wektorem normalnym do powierzchni
.

Mamy więc

i zgodnie z definicją iloczynu skalarnego, możemy ostatecznie zapisać

dla strumienia elementarnego.

W ogólnym przypadku, strumień fali znajdujemy ze wzoru

.

Dyspersja fal

Doświadczenie pokazuje, że prędkość fazowa v_f rozchodzenia się fali w ośrodku materialnym na ogół zależy od jej częstości (długości fali). Ten efekt nosi nazwę dyspersji fal.

Za miarę dyspersji przyjmuje się szybkość zmian prędkości fazowej, liczoną na jednostkowy przedział długości fali
, czyli

Wielkość ta nosi nazwę współczynnika dyspersji, jest też nazywana często po prostu dyspersją. Może ona mieć różne wartości i jeśli:

dyspersja normalna

brak dyspersji

dyspersja anomalna.

Ośrodek może w różnych zakresach fal wykazywać różną dyspersję, czego przykładem jest, pokazany obok, przebieg współczynnika dyspersji dla fal na wodzie.

Rozpatrzmy zaburzenie falowe w postaci skończonego w czasie i przestrzeni ciągu falowego, jak na rys. poniżej.

Takie zaburzenie nosi nazwę paczki falowej lub inaczej grupy fal. Nazwa ta wynika stąd, że tego rodzaju zaburzenie falowe otrzymuje się w wyniku złożenia (superpozycji) grupy fal sinusoidalnych, których długości fali zmieniają się w sposób

ciągły i wypełniają wąskie pasmo
wokół średniej długości
.

Zwróćmy uwagę, że ze względu na dyspersję - fale o różnej długości poruszają się z różnymi prędkościami fazowymi, co powoduje, że paczka falowa z biegiem czasu ulega poszerzeniu i rozmywa się.

***

Z pojęciem dyspersji i paczki falowej wiąże się wielkość zwana prędkością grupową.

Rozpatrzmy najprostszy model paczki falowej - superpozycję dwóch fal sinusoidalnych o zbliżonych częstościach (liczbach falowych).

Zapiszmy fale składowe w postaci:

Oznaczając

;

otrzymujemy

i ostatecznie

Przebieg tej zależności jest pokazany na rys. poniżej.

Jak widać, jest to fala o wartościach średnich częstości i liczby falowej i amplitudzie zmodulowanej i powtarzających się segmentach. Pojedynczy taki segment (wyróżniony na rys.) ma cechy grupy fal.

Należy zauważyć, że wyrażenie w {....} w ostatnim wzorze także opisuje falę - o amplitudzie 2A i odpowiednio częstości i liczbie falowej
. Oznacza to, że ta amplituda przemieszcza się z prędkością

która nosi nazwę prędkości grupowej, gdyż opisuje z jaką prędkością przemieszcza się grupa (paczka) falowa.

Dokładniej rzecz biorąc, w ogólnym przypadku, prędkość grupowa jest zdefiniowana wzorem

***

Może ona być równa prędkości (średniej) fazowej składowych fal harmonicznych, ale może być także od niej mniejsza lub większa - zależy to od współczynnika dyspersji ośrodka.

Z wyżej zapisanego wzoru definicyjnego mamy:

ale

,

zatem, po podstawieniu ostatniego wyrażenia i uwzględnieniu, że
jest współczynnikiem dyspersji, otrzymujemy związek

pomiędzy prędkością grupową i prędkością fazową paczki falowej.

Jeśli więc występuje:

dyspersja normalna
v_g < v_f

brak dyspersji
v_g = v_f

dyspersja anomalna
v_g > v_f

W pierwszym i trzecim przypadku oznacza to, że paczka jako całość porusza się odpowiednio wolniej lub szybciej niż składowe jej fale harmoniczne, przy tym zachodzi zmiana jej kształtu; w przypadku braku dyspersji paczka falowa zachowuje swój kształt pierwotny.

Gęstość energii i natężenie fali; dyspersja fal

- 1 -

dS

v dt

---