Zadanie 1

Pewna gra polega na 6-krotnym rzucaniu symetryczną monetą. Wygrywa ta osoba, która uzyska w rzutach najwięcej orłów. Jakie jest prawdopodobieństwo pojawienia się w sześciu rzutach samych reszek (zero orłów), 1, 2, 3, 4, 5, 6 orłów? (X - zmienna losowa - określająca liczbę orłów (liczbę sukcesów) w sześciu rzutach symetryczną monetą).

a) Wyznaczyć rozkład prawdopodobieństwa;

b) Wykreślić wykresy rozkładu prawdopodobieństwa i dystrybuanty rozważanej zmiennej losowej X;

c) Obliczyć prawdopodobieństwa otrzymania w sześciu rzutach:

1) co najmniej jednego orła,

2) dokładnie pięciu orłów,

3) nie mniej niż 2 orły i nie więcej niż 4 orły,

4) więcej niż 3 orły;

d) obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej X.

Zadanie 2

Przemysłowe urządzenie elektryczne na skutek przeciążenia sieci zasilającej wymaga ponownego uruchomienia średnio 2 razy w ciągu doby, a rozkład liczby ponownych uruchomień może być opisany za pomocą rozkładu (Poissona).

Wyznaczyć prawdopodobieństwo, że:

a) w ciągu doby nie będzie żadnych ponownych uruchomień,

b) będą co najmniej 3 ponowne uruchomienia urządzenia,

c) będzie dokładnie 5 ponownych uruchomień.

d) Wykreślić wykresy rozkładu prawdopodobieństwa i dystrybuanty rozważanej zmiennej losowej X.

Zadanie 3

Zaobserwowano, że 20% sztuk w określonej partii towaru posiada wady. Z partii o liczebności 50 sztuk pobieramy zależnie (losując bez zwracania) próbę 3 sztuk. Niech zmienną losową X będzie liczba sztuk wadliwych.

a) podać funkcję prawdopodobieństwa zmiennej losowej X i wyznaczyć jej dystrybuantę (a także sporządzić odpowiednie wykresy),

b) obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej X (liczby sztuk wadliwych),

c) określić prawdopodobieństwo, że w badanej próbce:

1) nie będzie wadliwych sztuk,

2) co najwyżej jedna sztuka będzie wadliwa

---