POLITECHNIKA ŚLĄSKA

GLIWICE, 11.04.2000

LABORATORIUM FIZYKI

REZONATOR KWARCOWY

INFORMATYKA

GRUPA VI SEKCJA I

Arkadiusz JESTRATJEW

Tomasz KACZMARZYK

Adrian NOWAK

Wstęp teoretyczny

Podstawową własnością charakteryzującą oscylator jest jego dobroć (współczynnik dobroci). Dobrocią nazywamy zdolność oscylatora do wykonywania drgań niewymuszonych. Jest ona zdefiniowana jako stosunek energii posiadanej przez drgający oscylator do energii traconej w jednym cyklu (okresie drgań). Wynika z tego, że oscylator o dużej dobroci raz pobudzony do drgań będzie oscylował długo, czyli wykona wiele wahnięć zanim się zatrzyma. Taki oscylator nazywamy rezonatorem, gdyż przyjmuje on energię tylko w zjawisku rezonansu.

Jeżeli będziemy pobudzać do drgań oscylator za pomocą okresowo przykładanej małej siły, to w przypadku oscylatora o dużej dobroci trzeba zadbać o to, aby siła była przykładana z okresem dokładnie równym okresowi drgań własnych oscylatora. Względna różnica okresów nie może być dużo większa od odwrotności dobroci Q,

ΔT/T ≈1/Q

Dobroć jest z jednej strony równa ilości wahnięć jaką wykona wahadło zanim amplituda nie zmaleje mniej więcej dwukrotnie, a z drugiej strony jest odwrotnością dopuszczalnych względnych odchyleń okresu drgań, czyli dokładność rezonatora.

Jeżeli ruch ciała o masie m opiszemy równaniem:

to oscylator będzie drgał z amplitudą A, której kwadrat wynosi:

gdzie : ω₀ - częstotliwość drgań własnych oscylatora,

F - amplituda siły wymuszającej drgania,

ω - jej częstość,

Γ - współczynnik tłumienia

Maksymalna amplituda drgań oscylatora wynosi A₀ i odpowiada częstości siły wymuszającej równej jego częstości drgań własnych ω = ω₀. Jeżeli warunek ten jest spełniony, w układzie drgającym występuje zjawisko rezonansu. Szerokość połówkowa Δω równa jest współczynnikowi tłumienia Γ, Γ=Δω. Dobroć oscylatora wynosi:

Q = ω₀/Δω = f₀/Δf

Jeżeli w ogólnym równaniu ruchu oscylatora przyjąć F = 0, to jego rozwiązanie ma postać:

X = A₀exp(-Γt/2)sinω₁t

gdzie: ω₁² ₌ ω₀² - (Γ/2)² ≈ ω₀²

a wzór na zanik amplitudy drgań w funkcji czasu ma postać:

A = A₀exp(-t/τ)

Stanowisko pomiarowe

Badany układ drgający to rezonator kwarcowy o nominalnej częstotliwości 100 kHz. Pobudzany jest on przebiegiem sinusoidalnym z stabilnego generatora LC o częstotliwości regulowanej w wąskim zakresie. Częstotliwość f generatora ustawia się przesuwając rdzeń magnetyczny w cewce. Częstotliwość mierzona jest z dokładnością do 1Hz. Drgania rezonatora obserwowane są na ekranie oscyloskopu. Dwukanałowy oscyloskop uwidacznia jednocześnie przebieg napięcia podawanego z generatora na rezonator i stan drgań rezonatora.

Przebieg ćwiczenia

Za pomocą oscyloskopu wykonaliśmy kilkanaście pomiarów amplitudy obserwowanych drgań, zmieniając częstotliwość generatora wokół częstotliwości rezonansowej w zakresie takim by osiągnąć małe amplitudy z obu stron częstotliwości rezonansowej. W celu zwiększenia dokładności odczytu zamiast amplitudy odczytywaliśmy jej podwojoną wartość (tzw. wartość międzyszczytową drgań). Odczytywaliśmy odległości od maksimum do minimum sinusoidy w działkach ekranu oscyloskopu.

Obliczenia

Na podstawie wyników pomiarów sporządziliśmy wykres zależności kwadratu amplitudy drgań w obwodzie rezonatora od częstotliwości napięcia wymuszającego. Błędy pomiaru częstotliwości przyjęliśmy jako ±0,5 [Hz], błędy kwadratu amplitudy obliczyliśmy za pomocą różniczki

gdzie M to zmierzona wartość międzyszczytowa, a ΔM = ±0,5 [dz] to jej błąd.

Maksymalna amplituda drgań wystąpiła dla częstotliwości 100036 [Hz] zatem częstotliwość rezonansowa

f_r=100036±0,5[Hz]

Do otrzymanego wykresu dopasowaliśmy krzywą rezonansową Lorentza, a właściwie dwie takie krzywe ze względu na widoczną asymetrię otrzymanego wykresu. Jedna krzywa obejmuje obszar do częstotliwości rezonansu, druga powyżej. Otrzymane współczynniki tłumienia wynoszą:

Γ­­₁ = 27,0±1 [1/s] - dla lewej strony wykresu

Γ­­₂ = 35,2±1 [1/s] - dla prawej strony wykresu

Korzystając z wyznaczonych wartości współczynników tłumienia wyznaczyliśmy częstotliwości, dla których energia i moc w układzie maleją do połowy wartości w rezonansie:

Δf­­₁ = 4,2±0,2 [Hz] f­­₁ = 100033,9±0,2 [Hz]

Δf­­₂ = 5,6±0,2 [Hz] f­­₂ = 100038,8±0,2 [Hz]

Szerokość rezonansu przyjęliśmy jako sumę możliwych odchyleń od częstotliwości rezonansowej: ½Δf­­₁+½Δf­­₂

Zatem dobroć badanego rezonatora wynosi:

Q = (20,2±0,84)*10³

Wnioski

Podczas wykonywania ćwiczenia zaobserwowaliśmy, że badany rezonator kwarcowy ma inne właściwości dla częstotliwości powyżej i poniżej częstotliwości rezonansowej. Jest to wynikiem „nieidealności” badanego elementu. Badany oscylator ma stosunkowo niską dobroć - zaledwie 2*10­4, gdy większość rezonatorów kwarcowych ma dobroć rzędu 106. Wynika to z dużych rozmiarów drgającej płytki kwarcu, które powodują spore straty energii. Ponieważ krzywa rezonansowa Lorentza nie da się przedstawić w postaci funkcji liniowej lub wykładniczej to nie można użyć regresji do określania jej współczynnika Γ. Współczynnik ten określiliśmy metodą prób i błędów, tak aby różnica między krzywą Lorentza a punktami pomiarowymi była jak najmniejsza. W efekcie oszacowanie błędu tego współczynnika, a także błędu wyznaczonej dobroci rezonatora jest dość grube.

---