plik


ÿþLista Nr 1 CIGI LICZBOWE Zad.1. Wyznaczy nastpujce wyrazy cigów liczbowych: a3, a5 , a7 , a14 , a21, a100 , an+1, a2n , je|eli îø2 + n+1 ùø n (-1) nÀ a) an = 5 b) an = -n Eïø c) an = n(-1) d) an = sin úø 3 2 ïø úø ðø ûø n nÀ 2 1 n+2 n e) an = 1+ cos f) an = (-1) g) an = n2 +1 h) an = n +1 2 n + 3 (2n)! Uwaga: W przykBadzie b) E(x) oznacza funkcj entier (cz[ caBkowita liczby). Zad.2. Zbada monotoniczno[ nastpujcych cigów o wyrazach ogólnych: 1 + 2 + 3 + ... + n n -1 2 (n +1)! + n! a) an = - b) bn = c) cn = n (n +1)! - n! n2 n + 3 n d) dn = 2n2 + 5 - 2n2 e) an = 7 - 3 f) fn = log4(n + 2) 7n 4n2 +1 n + 3 g) an = h) bn = i) bn = n! 2n + 5 3n2 + 2 Zad.3. Czy podane poni|ej cigi s ograniczone? Z jakim rodzajem ograniczono[ci mamy do czynienia? n 1 1 nÀ ëø1+ öø a) an = 1 - b) an = c) an = sin ìø ÷ø 4n n 2 íø øø n+1 d) an = 2 - n2 e) an = (-1) f) an = n + 4 Zad.4*. Korzystajc z odpowiednich definicji granic cigu, wykaza, |e: n ëø öø 2n +1 1 (-1) ÷ø a) lim = b) limìø2 + = 2 c) lim(10 - n)= -" ìø n’!" n’!" n’!" 4n + 3 2 3n ÷ø íø øø Zad.5. Obliczy granice cigów: 5n2 + 6n + 3 4n2 + 6n5 + 3n -1 n2 - 3n +1 a) lim b) lim c) lim n’!" n’!" n’!" 5 + 4n 3n5 + 4n 7n7 + 3n - 2 n ëø öø 1 ìø 2 1- ìø4÷ø ÷ø (3 - n) íø øø n d) lim e) lim f) lim n’!" n’!" n’!" 5 + 4n 2 + 7n - n2 1 1 2 + 2 - - n n2 öø g) limëø n2 + 4n + 3 - n2 + 2n h) lim nëøn - n2 -1öø i) limëøn 2 - 2n2 - n + 1öø ìø ÷ø ìø ÷ø ìø ÷ø n’!" øø n’!" íø øø n’!" øø íø íø 2n + 5 1 öø 3 j) limëø n + n - n - n k) lim l) lim ìø ÷ø n’!" n’!" n’!" íø øø 7 - 8n n2 + n +1 - n2 + 3 n 1 ëø öø 3 n m) limëø3 n3 + n2 + 1 - n3 - n2 +1öø n) lim 11n + 9n +1+ o) lim(9n - 5n - 3n) ìø ÷ø ìø ÷ø n’!" øø n’!" íø n’!" 3 íø øø 2n+3 + 3n+1 3 n öø p) limëøn3 2 - 2n3 + 5n2 - 3 r) lim 2 Å" 3n + 3Å" 4n+1 + 4 Å" 5n s) lim ìø ÷ø n’!" øø n’!" n’!" íø 2n + 3Å" 3n n n n 1 2 1 5 Å" 2n+1 +13 ëø öø ëø öø ëø öø n n t) lim n9 - 2n5 + 3n +12 u) lim + + w) lim ìø ÷ø ìø ÷ø ìø ÷ø n’!" n’!" n’!" 5 3 2 3Å" 4n + 22n + 3n íø øø íø øø íø øø log2(n +1) n n n n ëø öø x) lim y) lim 1010000 - 10-10001 z) lim en + 3n + À ìø ÷ø n’!" n’!" øø n’!" íø log3(n +1) 1 Zad.6. Obliczy granice cigów o wyrazach ogólnych: 2n + 5n sin2 n + 5n 1+ 2 + 3 + ... + n n a) an = b) bn = c) cn = cos n! 4n + 7 3n + 4n n3 +1 3 12 + 22 + 32 + ... + n2 27log n 1 4 d) cn = e) an = f) bn = cos n4 - 2n 16n + 3 n3 e4ln n 3 öø lnëø1 + ìø ÷ø n 5n2 - 2sin2(2n + 3) íø øø g) dn = n(ln(n + 1)- ln n) h) cn = i) an = 1 (4n + 7)(3n + n) n n n n ëø öø ëø öø ëø öø 1 1 1 ìø ÷ø ìø j) en = + + k) wn = (2n + 3)[ln(n + 3)- ln(n + 4)] l) cn = 4n + 2n - 4n +1 ìø1 ÷ø ìø2÷ø ìø ÷ø n n2 ÷ø n3 ìø3 ÷ø íø øø íø øø íø øø n 1+ a + a2 + ... + an 1 ëø3 öø m) cn = n) bn = o) dn = n n3 + n - n ìø ÷ø " 3 1 1 1 íø øø k =1 n6 + k 1+ + + ... + 4 16 4n n10 2n (2n)! p)* an = r)* an = s)* pn = n! 2n n2n 1+ 5 + 9 +...+ (4n -1) 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - ... + (2n -1)- 2n n + 2 cos3 (n + 5) t) hn = u) bn = w) an = 2 1+ 2 + 3 +...+ n (n + 1) (n + 3) n2 +1 n(n +1)(2n +1) Uwaga: W przykBadzie d) wykorzysta równo[:12 + 22 + 32 + ... + n2 = , 6 Zad.7. Obliczy granice cigów wykorzystujc liczb e 2n+3 n2 +5 3n+7 9n-1 n + 5 ëø öø ëø1- 1 n 5n + 3 öø ëø - 2 öø ëø öø a) lim b) lim c) lim d) lim ìø ÷ø ìø ÷ø ìø ÷ø ìø ÷ø n’!" n’!" n’!" n’!" n n + 5 5n + 8 n4 íø øø íø øø íø øø íø øø n ëø öø 3n+1 -2n+11 n+3 íø øø ëø öø ëø öøìø 2 ÷ø 5 n2 + 3n + 2 n2 + 1 n + 5 ëø1+ öø ëø öø ìø ÷ø ìø ÷ø e) lim f) lim g) an = h) lim ìø ÷ø ìø ÷ø ìø ÷ø ìø ÷ø n’!" n’!" n’!" n 7n - 4 n2 + 2n n2 íø øø íø øø íø øø íø øø n ëø öø 3n2 +2 6n-3 1-n íø øø ëø öøìø 2 ÷ø ëø öø 4n2 + 6n - 4 8n + 5 2n + 5 n2 + 9 ëø öø ëø öø ìø ÷ø ìø ÷ø i) lim j) lim k) lim l) limìø ÷ø ìø ÷ø ìø ÷ø ìø ÷ø n’!" n’!" n’!" n’!" 8n - 7 n 4n2 + 5n + 3 n2 + 2 íø øø íø øø íø øø íø øø 3n2 +3n n2 +3 3-7n 5-2n ëø öø ëø öø n2 + 6n - 4 2n2 + n + 4 7n + 2 n + 4 ìø ÷ø ìø ÷ø m) limìø n) limìø o) limëø öø p) limëø öø ìø ÷ø ìø ÷ø ÷ø ÷ø n’!" n’!" n’!" n’!" 4n + 5 n -1 n2 + 5n íø øø íø øø íø10 + n2 + 5n øø íø øø 1+ n 2-n îø n ëø öø îø ùø n2 + n + 2 (n ïøìø ÷ø - 3)ùø ìø2÷ø úø ïø úø ñø üø 1 ùø 2 r) limïø úø s) limïøíø øø úø t) limòø(12 - n)îøln(7 + n)+ lnëø öø ýø ìø ÷øúø ïø ïø n’!" n’!" úø n’!" n ëø öø n +10 ïø1+ 2 + 3 +... + núø íø øø ðø ûø óø þø ìø ÷ø ïø 3ìø ÷ø úø ïø úø ðø ûø ïø úø íø3 øø ðø ûø n + 2 ëø öø an 2 Zad.8. Dane s cigi (an ) i (bn ), gdzie an = ìø ÷ø lim ìøn +1 ÷ø , bn = 2 + 4 + ... + 2n . Obliczy n’!" bn íø øø 2n 3 2n + 3n n2 + 2n -1 + n + 3 3 öø Zad.9. Niech g1 = lim , g2 = lim , g3 = limëø1+ . ìø ÷ø n’!" n’!" 2n +1øø 4n + 5n n’!" 7 + 5 + 9 +10 íø n6 n8 Czy prawd jest, |e: a) g1 = g2 i g3 `" 0 b) g2 = +" c) g3 < e an2 -1 Zad.10. Dany jest cig o wyrazie ogólnym bn = . Wyznaczy warto[ parametru a tak, aby lim bn = 2 . n’!" (a -1)n2 + n Czy dla znalezionej warto[ci parametru a dany cig jest rosncy? 2

Wyszukiwarka