F i z y k a p o l i m e r w
w y k Ba d I I I
S p i s t r e [c i
" S t a t y s t y k a k o n f o r m a c y j n a i d e a l n e g o Ba Dc u c h a p o l i m e r u
" G a u s s o w s k i r o z k Ba d s t a t y s t y c z n y w e k t o r w k o n i e c - k o n i e c
i d e a l n e g o Ba Dc u c h a
2
S t a t y s t y k a k o n f o r m a c y j n a i d e a l n e g o Ba Dc u c h a p o l i m e r u
" M o d e l s w o b o d n i e p o Bc z o n y c h s e g m e n t w ( f r e e l y j o i n t e d c h a i n m o d e l )
" r z e c z y w i s t y Ba Dc u c h o p a r a m e t r a c h ( n , l , < R 2 > ) z a s t p u j e s i
w p r o w a d z o n y m p r z e z K u h n a Ba Dc u c h e m s t a t y s t y c z n y m s k Ba d a j c y m s i z
N s w o b o d n i e p o Bc z o n y c h s e g m e n t w s t a t y s t y c z n y c h ( s e g m e n t w K u h n a )
o d Bu g o [c i b
"
!
" p r z y j m u j s i , |e n i e m a o d d z i a l y w a D p o m i d z y r |n y m i w e k t o r a m i , c z y l i
r r
c z y l i d l a
< c o s i j > = 0
< r i " r j > = 0 i `" j
" z a k Ba d a s i , |e Ba Dc u c h m o d e l o w y ( s t a t y s t y c z n y ) m a t a k s a m d Bu g o [
k o n t u r o w
L = R m a x = n l c o s = N b
2
" i t a k s a m [r e d n i k w a d r a t o w o d l e g Bo [c i k o Dc w Ba Dc u c h a , j a k
Ba Dc u c h r z e c z y w i s t y :
< R 2 > ( n , l , , U ( ) ) = < R 2 > s w o b ( N , b , U = 0 )
3
" s t a y s t y k a k o n f o r m a c y j n a t a k i e g o Ba Dc u c h a o p i s u j e s i s t a t y s t y k
b Bd z e n i a p r z y p a d k o w e g o z u s t a l o n y m k r o k i e m o d Bu g o [c i b
" z t e o r i i p r o c e s w b Bd z e n i a p r z y p a d k o w e g o w y n i k a
G a u s s o w s k i r o z k Ba d p r a w d o p o d o b i e Ds t w a d l a
i d e a l n e g o Ba Dc u c h a s w o b o d n i e p o Bc z o n y c h s e g m e n t w :
3
2
# - 3 R 2 #
#
3
# #
#
P ( R , N ) = e x p #
# #
2 N b 2 2 N b 2 #
# #
# #
" r o z k Ba d j e s t k u l i s t y n i e z a l e |y o d k i e r u n k u w e k t o r a R
" j e s t u z a s a d n i o n y w p r z y p a d k u n i e s k o Dc z e n i e d u |e j l i c z b y
s e g m e n t w
N ! "
" [r e d n i a k w a d r a t o w a o d l e g Bo [c i k o Dc w Ba Dc u c h a :
3
< R 2 > s w o b = R 2 P ( R ) d R = N b 2 = b R m a x
+"
" J a k o t r z y m u j e s i G a u s s o w s k i r o z k Ba d p r a w d o p o d o b i e Ds t w a
w e k t o r a k o n i e c - k o n i e c i d e a l n e g o Ba Dc u c h a ?
4
G a u s s o w s k i r o z k Ba d s t a t y s t y c z n y w e k t o r w k o n i e c -
k o n i e c i d e a l n e g o Ba Dc u c h a
" k a |d a m o |l i w a k o n f o r m a c j a i d e a l n e g o Ba Dc u c h a p o l i m e r u m o |e b y
p r z e d s t a w i o n a p o p r z e z p r o c e s s t o c h a s t y c z n y z w a n y b Bd z e n i e m
p r z y p a d k o w y m ( r a n d o m w a l k )
" c z s t k a , k t r a r o b i p r z y p a d k o w e k r o k i - w y z n a c z a b Bd z e n i e p r z y p a d k o w e
" k i e d y d Bu g o [ k a |d e g o k r o k u j e s t s t a Ba i k i e r u n e k k a |d e g o k r o k u j e s t
n i e z a l e |n y o d w s z y s t k i c h p o p r z e d n i c h k r o k w , t r a j e k t o r i t a k i e g o
b Bd z e n i a p r z y p a d k o w e g o o p i s u j e s i p o p r z e z s t a t y s t y k k o n f o r m a c y j n
m o d e l u s w o b o d n i e p o Bc z o n y c h s e g m e n t w
" c z y l i s t a t y s t y k a r a n d o m w a l k i s t a t y s t y k a i d e a l n e g o Ba Dc u c h a s p o d o b n e
5
" r o z p a t r z m y p e w n e b Bd z e n i e p r z y p a d k o w e n a k r a t c e , k i e d y k a |d y k r o k m a
n i e z a l e |n e w s p Br z d n e k a r t e z j a Ds k e + 1 i - 1
" r z u t 3 d b Bd z e n i a p r z y p a d k o w e g o n a k a |d z k a r t e z j a Ds k i c h o s i j e s t
n i e z a l e |n y m j e d n o w y m i a r w y m b Bd z e n i e m p r z y p a d k o w y m z p o j e d y n c z y m
k r o k i e m
" b Bd z e n i e p r z y p a d k o w e j a k o f u n k c j a l i c z b y z r o b i o n y c h k r o k w
"
W ( N , x ) - l i c z b a r zn y c h m o |l i w y c h t r a j e k t o r i i
"
" |e b y d o t r z e d o p o Bo |e n i a x p o p r z e z N k r o k w
"
" p o p i e r w s z y m k r o k u : x = + 1 a l b o x = - 1 i
W ( 1 , 1 ) = W ( 1 , - 1 ) = 1
6
" l i c z b a r |n y c h m o |l i w y c h t r a j e k t o r i i W ( N , x ) d l a p i e r w s z y c h 4 k r o k w
" o g l n e w y r a |e n i e d l a W ( N , x ) - ?
N = N + + N -
" s u m a r y c z n a l i c z b a z r o b i o n y c h k r o k w :
" f i n a l n a p o z y c j a p o N k r o k a c h : x = N + - N -
7
N +
W ( N , x )
" s u m a r y c z n a l i c z b a t r a j e k t o r i i r w n a s i k o m b i n a c j i k r o k w
N - k r o k w w d B d l a t e g o , |e b y d o t r z e d o p o z y c j i x p o p r z e z
w g r i
w y k o n a n i e k r o k w :
N
( N + + N - ) !
N !
W ( N , x ) = =
N + ! N - ! [ ( N + x ) / 2 ] ! [ ( N - x ) / 2 ] !
" l i c z b a w s z y s t k i c h m o |l i w y c h p r z e j [ z N k r o k w - 2 N , b o n a k a |d y k r o k s
2 m o |l i w o [c i , k t r e s n i e z a l e |n e o d p o p r z e d n i c h k r o k w
" w s z y s t k i e t e 2 N b Bd z e D s r w n o p r a w d o p o d o b n e
" p r a w d o p o d o b i e Ds t w o z n a l e z i e n i a o b i e k t u w p o z y c j i x p o N k r o k a c h :
W ( N , x ) 1 N !
=
2 N 2 N [ ( N + x ) / 2 ] ! [ ( N - x ) / 2 ] !
- d o k Ba d n e p r a w d o p o d o b i e Ds t w o r o z k Ba d u d l a j e d n o w y m i a r o w e g o
b Bd z e n i a p r z y p a d k o w e g o
8
" G a u s s o w s k i r o z k Ba d p r a w d o p o d o b i e Ds t w a
# #
W ( N , x ) 2 x 2
#
H" e x p #- #
#
2 N N 2 N
# #
" W ( N , x ) j e s t o d m i e n n e o d z e r a t y l k o d l a p a r z y s t y c h a l b o n i e p a r z y s t y c h x w
z a l e |n o [c i o d t e g o c z y N j e s t p a r z y s t e c z y n i e p a r z y s t e
" f u n k c j a r o z k Ba d u p r a w d o p o d o b i e Ds t w a
# #
1 x 2 #
#
P 1 d ( n , x ) = e x p #-
#
2 N
2 N
# #
" [r e d n i a k w a d r a t o w a o d l e g l o [c i x u [r e d n i o n a p o w s z y s t k i c h m o |l i w y c h
b Bd z e n i a c h :
+ " + "
# #
1 x 2
#
< x 2 > = x 2 P i d ( N , x ) d x = x 2 e x p #- #
+" +" #d x = N
2 N
2 N
# #
- " - "
" f u n k c j a r o z k Ba d u p r a w d o p o d o b i e Ds t w a m o |e b y z a p i s a n a w p o s t a c i :
# #
1 x 2 #
#
P 1 d ( n , x ) = e x p #-
#
2 < x 2 >
2 < x 2 > # #
9
" f u n k c j a r o z k Ba d u p r a w d o p o d o b i e Ds t w a m a m a k s i m u m p r z y x = 0 i
s z y b k o z a n i k a d l a o d l e g Bo [c i
x > < x 2 >
" f u n k c j a r o z k Ba d u p r a w d o p o d o b i e Ds t w a w e k t o r a k o n i e c - k o n i e c d l a
d o w o l n e j s k o Dc z o n e j l i c z b y N k r o k w o s t a Be j d Bu g o [c i b w z a k r e s i e
o d R d o R + d R w y r a |a s i w z o r e m
3
3
d R = d R x d R y d R z
" g d z i e
P 3 d ( N , R ) d R ,
1 0
" 3 d f u n k c j a r o z k Ba d u p r a w d o p o d o b i e Ds t w a :
P 3 d ( N , R ) d R x d R y d R z = P i d ( N , R x ) d R x P i d ( N , R y ) d R y P i d ( N , R z ) d R z
" [r e d n i a k w a d r a t o w a o d l e g Bo [c i b Bd z e n i a p r z y p a d k o w e g o r w n a s i
[r e d n i e j k w a d r a t o w e j o d l e g Bo [c i k o Dc w Ba Dc u c h a s w o b o d n i e
p o Bc z o n y c h s e g m e n t w z l i c z b y N m e r w r w n y c h l i c z b i e k r o k w
b Bd z e n i a p r z y p a d k o w e g o
< R 2 > = N b 2
" p r z y c z y m d Bu g o [ m e r u b r w n a s i r o z m i a r o w i k r o k u
2 2 2
" t a k j a k
< R 2 > = < R x > + < R y > + < R z >
" i o s i e k a r t e z i a Ds k i e s e k w i w a l e n t n e , t o
N b 2
2 2 2
< R x > = < R y > = < R z > =
3
1 1
" 1 d f u n k c j a r o z k Ba d u p r a w d o p o d o b i e Ds t w a m o |e b y z a p i s a n a w p o s t a c i :
2 2
# # # #
R x # 3 R x #
1 3
# #
P 1 d ( N , R x ) = e x p #- = e x p #-
2
#
2
2 < R x > 2 N b 2 # 2 N b 2 #
2 < R x >
# # #
" 3 d f u n k c j a r o z k Ba d u p r a w d o p o d o b i e Ds t w a w e k t o r a k o n i e c - k o n i e c R
i d e a l n e g o Ba Dc u c h a N m e r w j e s t i l o c z y n e m t r z e c h n i e z a l e |n y c h f u n k c j i
r o z k Ba d u
3 3
2 2 2
2 2
# #
3 ( R x + R y + R z )
# #
3 3 3 R 2 #
# # # #
#
#
P 3 d ( N , R ) = e x p #- = e x p #-
# # # #
# #
2 N b 2 2 N b 2 2 N b 2 2 N b 2 #
# # # #
# #
# #
"
" G a u s s o w s k a f u n k c j a r o z k Ba d u m o g e b y
s t o s o w a n a d l a
| R | < < R m a x = N b
p o n i e w a | n i e z a n i k a w z a k r e s i e | R | > N b
r o z k Ba d G a u s s a w y k a z u j e n i e f i z y c z n e
z a c h o w a n i e w z a k r e s i e o d l e g Bo [c i k o Dc w
p r z e k r a c z a j c y c h d Bu g o [ k o n t u r o w Ba Dc u c h a
1 2
4 R 2 P 3 d ( N , R )
" p o r w n a n i e f u n k c j i r o z k Ba d u o d l e g Bo [c i k o Dc w
o t r z y m a n y c h d l a d o k Ba d n e g o r o z k Ba d u w e k t o r a k o n i e c - k o n i e c Ba Dc u c h a i
r o z k Ba d u G a u s s a
" p o r w n a n i e p r z y b l i |o n e g o r o z k Ba d u G a u s s a z d o k Ba d n y m r o z k Ba d e m
" w z r R a y l e i g h a o p i s u j e s t a t y s t y k b Bd z e n i a p r z y p a d k o w e g o i o k r e s l a
f u n k c j r o z k Ba d u p r a w d o p o d o b i e Ds t w a w e k t o r a k o n i e c - k o n i e c d l a
d o w o l n e j , s k o Dc z o n e j l i c z b y N k r o k w o s t a Be j d Bu g o [c i b :
N
"
# #
1 s i n ( q b )
P ( R ) =
#
2 +"q s i n ( q R ) # q b # d q
2 R
!
# d o k Ba d n y r o z k Ba d T r e l o a r a :
0
N - 2
r
N ( N - 1 ) ( - 1 ) s N - R / b
#
P ( R ) = - s #
# #
"
8 R b 2 s = 0 s ! ( N - s ) ! # 2
#
1 3
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