60585

Zestaw 4

1. W zbiorze R₊ liczb rzeczywistych dodatnich określamy działania:

Vx.y€R+ xoy = xy, Vo€ RVx€R+ a*x = x°.

Sprawdzić, czy struktura (R₊.R,o.*) jest przestrzenią wektorową (liniową).

2.    Zbadać, który z podanych zbiorów U, W jest podprzestrżenią wektorową przestrzeni liniowej V = R²(R):

U = {(x, y) : 9x2 + 12xy + 4y² = 0} , W = {(x,y): 3x² + 5xy - 2y² = 0} .

3.    Niech X = {(xi,x₂,x₃) € R³ : Xj + x₂ +x₃ = 0}.

(a)    Wykazać, że X (R) jest pod przest rzenią wektorową przestrzeni liniowej R³(R).

(b)    Wyznaczyć dowolną bazę tej podprzestr/eni oraz znaleźć dini A'.

4.    Wykazać, że podzbiór wektorów liniowo niezależnych jest również zbiorem wektorów liniowo niezależnych.

5.    Sprawdzić, czy podane zbiory wektorów Di są bazami w przestrzeni wektorowej R³(R):

(a) Bi = {(1,0,1),(1,2,2)},    (b) 0₂ = {(1,0,1),(1,2,2),(0,1,1)},

(c) 0₃ = {(1,0,1),(1,2,2),(2,2,3)},    (d) 0₄ = {(1,0,1),(1,2,2),(0,1,1),(2,3.4)}.

6. Zbadać, czy zbiór 0 = {x + 1, x² + 1, x² + 2x + 2} stanowi bazę przestrzeni woktorowyj R₂[x], tzn. przestrzeni wektorowej wielomianów zmiennej rzeczywistej stopnia mniejszego lub rówmego dwa.

7. Wykazać, że wfktory x =

gdy det

x\

x₂

= xiy2 - x₂yi =0.

przestrzeni wektorowej R²(R) są liniowo zależne wtedy i tylko wtedy,

8. Znaleźć taką wartość parametru o, by woktory tą = (1,2,3). t<2 = (3,2.1), v₃ = (4,a.5) stanowiły bazę przestrzeni R³(R).

9. W przcst rzeni wektorowej V (R) rozważmy trzy wektory a, b, c. Niech u = b + c, v = c + a,

w = a + b. Wykazać, że wektory u, v, w są liniowo niezależne wtedy i tyko wtedy, gdy o, 6, c są liniowo niezależne.

10. Znaleźć wymiar i wyznaczyć bazę przestrzeni wektorowej rozwiązali jednorodnego układu równali liniowych:

{x    —    y    +    2;    -    ł    =    0

2x    —    y    +    z    +    3<    =    0

11. Rozważmy przekształcenie L : R³ 5 (xi,X2,x₃) —» (2x> +x₂ — x₃, X| + x₂ +2x₃) € R². Wykazać, że L jest prze-kształcenkuu liniowym oraz jx>dać dim KerL.